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2018-2019学年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式名师课件北师大版选修_图文

§2 排序不等式 1.理解顺序和、乱序和、逆序和等有关概念. 2.了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式证明一些简单 不等式问题和实际应用问题. 1.定理1 设a,b和c,d都是实数,如果a≥b,c≥d,那么ac+bd ≥ad+bc,此式当 且仅当a=b(或c=d)时取“=”号. 【做一做1】 若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数 式中最大的是( ) A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 1 C.a1b2+a2b1 D. 2 解析:∵a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1, a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0, ∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1, 且 a1b1+a2b2> > 12 + 21. 2 1 又 ∵1=a1+a2≥2 1 2 , ∴ 12 ≤ . 1 4 ∵0<a1<a2,∴a1a 2< 4. 1 同理 b1b2< , 4 1 ∴a1a2+b1b2< 4 + 4 = 2, ∴a1b1+a2b2> 2 > 12 + 12, ∴a1b1+a2b2 最大. 答案:A 1 1 1 1 a11 +a22 +…+an 【做一做 2】 设 a1,a2,…,an 是 n 个互不相等的正整数,求 1 1 1 3 证:1+ + + ? + ≤a1+ 2 + + ? + . 2 2 2 2 3 2 3 分析:利用排序不等式来证明. 证明 :设 b1,b2,… ,bn 为 a1,a2,… ,an 的一个排列 ,且 b1<b2<… <bn. ∵b1,b2,… ,bn 是 n 个互不相等的正整数, ∴b1≥1,b2≥ 2,… ,bn≥n. 1 1 1 又 ∵1> 2 > 2 > ? > 2 , 2 3 由排序不等式 ,得 a1+ 2 2 2 ≥1×1+2× 1 1 22 1 + ?+n× 1 1 + 2 3 3 +?+ 2 1 2 3 ≥b1+ 2 1 2 22 + ?+ ∴1+ 2 + 3 + ? + ≤a1+ 22 + 32 + ? + . 2 2 = 1 + + ?+ , 2 题型一 题型二 题型一 所含字母大小顺序已确定的不等式的证明 【例1】 已知a,b,c为正数,a≥b≥c,求证: (1) (2) 1 5 3 ≥ 1 ≥ 5 1 ; 5 3 + 3 3 + 3 ≥ + + . 3 1 1 1 1 1 分析:由于题目条件中已明确a≥b≥c,故可以直接构造两个数组. 证明:(1)∵a≥b>0,∴ 1 ≤ . 1 1 又 ∵c>0,∴ > 0. 从而 又 ∵a>0,∴ 于是得 从而 1 1 1 1 ≥ 1 1 . 同理,∵b≥c>0,于是 ≤ , > 0. 1 ≥ . 1 ≥ ≥ . 题型一 题型二 (2)由(1)已证的 ≥ ≥ , 和顺序和 ≥乱序和, 得 5 5 5 5 5 5 2 2 2 + + ≥ + + = + + . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 2 2 1 又∵a ≥b ≥c , 3 ≥ 3 ≥ 3 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ∴ 3+ 3+ 3≥ 3+ 3+ 3= + + . 综上所述, 原不等式成立. 反思要利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且 要排列出大小顺序,因此比较出数组中的数的大小关系是解题的关 键和基础. 1 1 1 题型一 题型二 【变式训练1】 已知a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn, 求证:a1b1+a2b2+…+anbn≥ (1 + 2 + ? + )(1 + 2 + ? + ). 证明 :令 S=a1b1+a2b2+… +anbn,则有 S≥a1b2+a2b3+… +anb1, S≥a1b3+a2b4+… +anb2, …… S≥a1bn+a2b1+… +anbn-1, 将以上 n 个式子相加并按列求和可得 nS≥a1(b1+b2+… +bn)+a2(b1+b2+… +bn)+… +an(b1+b2+… +bn) =(a1+a2+…+an)(b1+b2+… +bn), 1 故 S≥ (1 + 2 + ?+an)(b1+b2+… +bn), 1 即 a1b1+a2b2+… +anbn≥ (1 + 2 + ?+an)(b1+b2+… +bn). 1 题型一 题型二 题型二 所含字母大小不确定的不等式的证明 + 【例 2】 设 a,b,c 为正数,求证: + + + + ≥ . 2 3 分析:题目中没有给出a,b,c的大小关系,且a,b,c在不等式中的地位 是对等的,要先设出a,b,c的大小顺序,再利用排序不等式加以证明. 题型一 题型二 证明 :设 a≥b≥c>0,则 a+b≥c+a≥c+b>0. 1 1 1 ∴ ≥ ≥ . + + + 由排序不等式 :顺序和 ≥乱序和 ,得 + + ≥ + + , + + + + + + + + ≥ + + . + + + + + + 将上面两个不等式相加再除以 2,得 3 + + ≥ . + + + 2 当且仅当 a=b=c 时取 “=”号 . 反思当假设了a≥b≥c后,所用的两个数组可以完全确定了,但必 须注意成立的前提是a,b,c三者的地位是对等的. 题型一 题型二 【变式训练2】 设a1,a2,…,an为1,2,…,n的一个排列, 求证: +

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