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3.3.1两条直线的交点坐标


问题提出
在平面几何中,我们只能对直线作 定性的研究,如平行、相交、垂直等. 在平面直角坐标系中,我们用二元一次 方程表示了直线,从而可以对直线进行 定量分析,如确定直线的斜率、截距等. 而在同一平面内,两条直线之间存在平 行、相交、重合等位置关系,这些位置 关系的基本特征与两条直线公共点的个 数有关. 因此,如何将两直线的交点进 行量化,便成为一个新的课题.

思考:
我们知道,平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应,即直线上的点的坐标是这个方程的解, 反之亦成立.那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系,如果有, 是什么关系? 设两条直线方程为:

L1: A1x+B1y+C1=0

L2: A2x+B2y+C2=0

如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直 线上,交点的坐标一定是这个方程组的公共解;反之, 如果这两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这 个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交点.

若方程组没有公共解呢,两直线应是什么 位置关系?

据此,我们有
A1x+B1y+C1=0 的解 A2x+B2y+C2=0 零个 一组 无数组 无解

方程组

两条直线L1,L2的公共点

一个

无数个

直线L1,L2间的位置关系

相交

重合

平行

例1

分别判断下列直线是否相交,若相交, 求出它们的交点.

(1)l1 : 2 x ? y ? 7, l2 : 3x ? 2 y ? 7 ? 0 (2)l1 : 2 x ? 6 y ? 4 ? 0, l2 : 4 x ? 12 y ? 8 ? 0 (3)l1 : 4 x ? 2 y ? 4 ? 0, l2 : y ? ?2 x ? 3

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点
的直线方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. x - 2y+2=0 解:解方程组 得 2x-y-2=0

x= 2 y=2

∴l1与l2的交点是(2,2)

设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为

x-y=0

例3:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点,
且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。 解:解方程组
x+2y-1=0, 2x-y-7=0


x=3 y= -1

∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)

又∵直线x+2y-5=0的斜率是-1/3
∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0

当?变化时, 方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?
? =0时,方程为3x+4y-2=0 ? =1时,方程为5x+5y=0
y l1 l3 l2

? =-1时,方程为x+3y-4=0

P

0

x

上面黄色区域方程可化为:(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0 发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0 交点的直线束(直线集合)

发散思维:
已知直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交,那么方程 ( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ?( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( ? 为任意实数)表示的直线有什么特点?

结论:此方程表示经过直线 l1 和 l2 交点 的直线系方程.(除去直线 l2 )

回顾例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点 的直线方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解:设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0, 因为直线过原点(0,0),将其代入上式可得: λ=1

将λ=1 代入 x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得:
3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。

能力提升:
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上,则m 的值是 (A)0 (B)-24 (C)±6 (D)以上都不对 ②若直线x-y+1=0和x-ky = 0相交,且交点在第二象 限,则k的取值范围是 (A)(-∞,0) (B)(0,1] (C)(0,1) (D)(1,+∞) ③两直线x-y-1=0,3x+y-2=0与y轴所围成的三角形的面积 为 (A)9/4 (B)9/8 (C)3/4 (D)3/8

④已知不论m取何实数值,直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过 一定点,则这点的坐标为?

(-2,3)
⑤当k为何值时,直线 y=kx+3过直线 2x-y+1=0与y= x+5 的交点?


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