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2018高考复习数学第一轮 第31讲 三角函数的最值(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

三角函数的最值(2018 年 5 月) 一、 知识要点 1、 三角函数最值的典型题型及其解法 (1) 形如 y ? Asin ??x ? ? ? ? x ? R? 的三角函数,利用三角函数的有界性,最值为 ? | A | ;当 x 有范围限制时,可结合函数图像或单调性求最值. (2) 形如 y ? a ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c 的三角函数,通过换元,令 t ? f ? x ? ,把函数 2 变换为关于 t 的二次函数,用配方法在确定的范围内求最值. (3) 形如 y ? a sin x ? b cos x ? c 的三角函数,去分母后利用辅助角公式化为某一 d sin x ? e cos x ? f 复角三角比(如 sin ? x ? ? ? 或 cos ? x ? ? ? )的形式,利用其有界性或特定条件 下的取值范围转化为解不等式求 y 的范围,从而得出其最值. (4) 若所给三角函数中出现和或积为定值时,可利用基本不等式求最值,但必须遵 循“一正” 、 “二定” 、 “三相等”的原则. (5) 某些三角函数寻找其几何意义,运用数形结合是一种不错的选择. 2、 解含参数的三角函数最值问题,应注意参数的作用与影响,在必要时应对参数的取 值范围进行合理的分类讨论. 二、 例题精讲 例 1、求 y ? 1 ? 3sin x 的最值,并求出相应的 x 的值. 3 ? sin x 答案: x ? 2k? ? ? 2 , ymax ? 1; x ? 2k? ? ? 2 , ymin ? ?1 , k ? Z 例 2、求函数 y ? 2 cos4 x ? sin 4 x cos x ? sin x 3 3 ? ? 的最值,并求出相应的 x 值. ? 2 时, 答 案 : x ? 2 k? 或 x ? 2 k ? ? ? 2 时 , ym a x ? 2 ; x ? 2k? ? ? 或 x ? 2k? ? ym i n ? ?2 , k ? Z 1 例 3、已知函数 f ? x ? ? 2cos x ?sin x ? cos x ? ?1, x ? R , (1) 求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2) 求函数 f ? x ? 在区间 ? ? ? 3? ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ? 答案: (1) ? ; (2)最大值是 2 ,最小值为 ?1 . 例 4、若函数 f ? x ? ? 1 ? cos 2 x ?? ? ? sin x ? a 2 sin ? x ? ? 的最大值为 2 ? 3 ,试确 4? ?? ? ? 2sin ? ? x ? ?2 ? 定常数 a 的值. 答案: a ? ? 3 . 例 5、 设函数 f ? x ? ? 3 cos2 ? x ? sin ? x cos ? x ? a (其中 ? ? 0 ,a ? R ) , 且 f ? x? 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 (1) 求 ? 的值; (2) 如果 f ? x ? 在区间 ? ? ? . 6 ? ? 5? ? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. ? 3 6 ? 答案: (1) 1 3 ?1 ; (2) . 2 2 2 例 6、 若函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? , A ? 0, ? ? 0,| ? |? 经过点 0, 3 和 ? ? 2 的最小值为 ?2 , 且它的图像 ? ? ? 5? ? ,0? . ? 6 ? (1) 写出一个满足条件的函数解析式 f ? x ? ; (2) 若函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? ? 上单调递增,求此函数所有可能的解析式; ? 8? (3) 若函数 f ? x ? 在 0, 2 上恰有一个最大值和最小值,求 ? 的值. 答案: (1) f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 中? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? (答案不唯一,满足: f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? 且其 3? 3? ? 6k ? 2 , k ? Z 即可) ; 5 (2) f ? x ? ? 2sin ? (3) ? ? 2 . ?? ?4 x ? ?; 3? ?5 * 例 7 、已知函数 f ? x? ? 2 m sin2 x ? 2 3m sin x cosx? n的定义域为 ? 0, ? ?? ? ,值域 ? 2? ??5, 4? ,试求函数 g ? x? ? msin x ? 2n cos x ? x ? R? 的最小正周期和最值. 答案: T ? 2? ;最大值为 13 ,最小值 ? 13 . 3 *例 8、 已知 ?ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 , 且A BB ? C (1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 6 ,AB 与 BC 的夹角为 ? . ?? ? ? sin2 ? ? 2sin? cos? ? 3cos2 ? 的最小值. 答案: (1) ? ?? ? ? ; (2) 3 . , ?6 4? ? 三、 课堂练习 1、要使函数 y ?| sin x | cos x ? 1 取得最大值,则 x ? . 答案: 2 k? ? ? 4 ,k ?Z 2、若函数 y ? 2sin x ? a cos x ? 4 的最小值为 1,则 a ? . 答案:5 3、函数 f ? x ? ? cos x ? 答案: 1 cos 2 x ? x ? R ? 的最大值等于. 2 3 4 sin x cos x 的值域是. sin x ? cos x ? 1 4、函数 y ? 答案: ? ? ? ? ? ? 2 ?1 2 ? 1? , ?1? ?? ?1, ? ? ? 2

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