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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 2.1数列的概念与简单表示法(二)课时作业 新人教A版必修5

§2.1 数列的概念与简单表示法(二) 课时目标 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 3.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列. 1. 如果数列{an}的第 1 项或前几项已知, 并且数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. * 2.数列可以看作是一个定义域为正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数, 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值. 3.一般地,一个数列{an},如果从第 2 项起,每一项都大于它的前一项,即 an+1>an, 那么这个数列叫做递增数列.如果从第 2 项起,每一项都小于它的前一项,即 an+1<an,那 么这个数列叫做递减数列.如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫做常数列. 一、选择题 1.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数项 D.不能确定 答案 A 2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是( ) * A.an+1=an+n,n∈N * B.an=an-1+n,n∈N ,n≥2 * C.an+1=an+(n+1),n∈N ,n≥2 * D.an=an-1+(n-1),n∈N ,n≥2 答案 B 1 1 3.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足 an+1= an+ n,则此数列第 4 项是( ) 2 2 1 3 5 A.1 B. C. D. 2 4 8 答案 B 2 4.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1·a2·a3…an=n ,则:a3+a5 等于( 25 25 A. B. 9 16 61 31 C. D. 16 15 答案 C 2 2 解析 a1a2a3=3 ,a1a2=2 , 2 a1a2a3a4a5=5 ,a1a2a3a4=42, 2 2 3 9 5 25 则 a3= 2= ,a5= 2= . 2 4 4 16 61 故 a3+a5= . 16 ) 1 5. 已知数列{an}满足 an+1 ? ?2a =? ? ?2a -1 n n ?0≤an<1?, ? 2? ? ? ?1≤an<1?. ?2 ? ? ? 1 D. 7 6 若 a1= , 则 a2 010 的值为( 7 ) A. 6 7 答案 解析 5 B. 7 C 3 C. 7 5 3 6 计算得 a2= ,a3= ,a4= ,故数列{an}是以 3 为周期的周期数列, 7 7 7 3 又知 2 010 除以 3 能整除,所以 a2 010=a3= . 7 6.已知 an= A.a1,a30 C.a10,a9 答案 C 解析 = n- 98 ,则这个数列的前 30 项中最大项和最小项分别是( n- 99 B.a1,a9 D.a10,a30 n- 99+? 99- 98? n- 99 ) ∵an= 99- 98 +1 n- 99 99- 98 ∴点(n,an)在函数 y= x- 99 +1 的图象上, +1 的图象, 在直角坐标系中作出函数 y= 99- 98 x- 99 由图象易知 当 x∈(0, 99)时,函数单调递减. ∴a9<a8<a7<…<a1<1, 当 x∈( 99,+∞)时,函数单调递减, ∴a10>a11>…>a30>1. 所以,数列{an}的前 30 项中最大的项是 a10,最小的项是 a9. 二、填空题 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有 a1=3,4Sn=6an-an-1+4Sn-1,则 an=________. 1-n 答案 3·2 * 8.已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2=an+1+an,(n∈N ),则使 an>100 的 n 的最小值 是________. 答案 12 an+1 n+2 * 9.若数列{an}满足:a1=1,且 = (n∈N ),则当 n≥2 时,an=________. an n 答案 解析 n?n+1? 2 ∵a1=1,且 an+1 n+2 * = (n∈N ). an n 2 a2 a3 a4 an-1 an · a1 a2 a3 an-2 an-1 3 4 5 n n+1 = · · ·… · , 1 2 3 n-2 n-1 n?n+1? 即 an= . ∴ · · … 2 2 * 10.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n +λ n,n∈N ,则实数 λ 的最小值是________. 答案 -3 2 2 解析 an≤an+1?n +λ n≤(n+1) +λ (n+1) * ?λ ≥-(2n+1),n∈N ?λ ≥-3. 三、解答题 1 1 * 11.在数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2,n∈N ). 2 an-1 (1)求证:an+3=an; (2)求 a2 011. 1 1 (1)证明 an+3=1- =1- an+2 1 1- an+1 =1- 1 1- 1 1- 1 an 1 1 1 =1- =1- =1- an an-1-an -1 1- an-1 an-1 an-1 =1-(1-an)=an. ∴an+3=an. (2)解 由(1)知数列{an}的周期 T=3, 1 a1= ,a2=-1,a3=2. 2 1 1 又∵a2 011=a3×670+1=a1= ,∴a2 011= . 2 2 n 9 ?n+1? * 12.已知 an= (n∈N ),试问数列{an}中有没有最大项?如果有,求出这个 n 10 最大项;如果没有,说明理由. ? 9 ?n+1 ? 9 ?n 解 因为 an+1-an=? ? ·(n+2)-? ? ·(n+1) ?10? ?10? 9 10 ? ?n+1 ? ? ? 9 ?n+1 8-n,则 =? ? ·??n+2

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