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连云港市2013-2014学年高一下学期期末试卷 数学

连云港市 2013—2014 学年度第一学期高一期末考试 数学试题
注意事项: 本试题共两大题,共 20 小题,共 160 分,考试时间 120 分钟。 一 题号 1—14 得分 15 16 17 18 19 20 二 总分

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请直接在试题上作答. 1 , 2, 3, 4,5? ,B ? ?? 1,0, 1 , 6? ,则 A ? B ? 1.设集合 A ? ?0, .
x ? ?2 ? 1, x ? 0 2.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?2)) = 2 ? ?x , x ? 0

. . . . . (用“<”连接)

3.函数 y ? log2 (3x ? 4) 的定义域为
2

4.已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3, x ?[0,2] ,则函数 f ( x) 的值域为 5.若过两点 A(?a,3), B(5,?a) 的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为 6.已知 a ? 0.3 , b ? log2 0.3, c ? 2 , 则 a , b, c 之间的大小关系是 为 .
2 0.3

7 . 已 知 两 条 直 线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m, l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 , 若 l1 // l2 , 则 实 数 m
1), B(3, 4), C (4, ? 1), 8.已知 ?ABC 的三个顶点坐标为 A(1, 则 ?ABC 的面积为



9.已知直线 a , b 与平面 ? , ? , ? ,有下列四个命题: ①若 a // b, a //? ,则 b // ? ; ③若 ? // ? , a ? ? ,则 a ? ? ; 其中,命题正确的是 ②若 a // b, a ? ? ,则 b ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; . (请把正确的序号填在横线上) .

10.用半径为 2 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的体积为 数 m 的取值范围是 .

11.若方程 7 x2 ? (m ? 13) x ? m ? 2 ? 0 的一个根在区间 (0,1) 上,另一个根在区间 (1,2) 上,则实 12.若函数 f ( x) ? x ? ( x ? 2) 在区间 (a,1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 . 1 13.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0,??) 上单调递减,且 f ( ) ? 0 ,则满足 f (log1 x) ? 0 的集 2 4 合为 . 14.一张坐标纸对折一次后,点 A(0,2) 与点 B (?4,0) 重叠,若点 C (?3,4) 与点 D( x, y ) 重叠, 则x? y = .

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
? 1 ? 已知集合 A ? ? x ? 2 x ? 8? ,函数 y ? lg(x ? a ? 1) 的定义域为集合 B . ? 4 ? (1)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围;

(2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

16.(本题满分 14 分)

x . 2x ? 1 1 (1)判断函数 f ( x) 在 (? , ? ?) 上的单调性,并给予证明; 2 (2)当 x ? [0,3] 时,不等式 t ? f ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围.
已知函数 f ( x) =

17.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC , E 为 PB 的中点. (1)求证: PD // 平面 AEC ; (2)求证:平面 AEC ? 平面 PDB .

P E
2

D A B

C

第(17)题图

18.(本题满分 16 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上, AD ? C1D . (1)求证: AD ? 平面 BCC1B1 ; (2)如果点 E 是 B1C1 的中点,求证: A1E // 平面 ADC1 ; (3)若 ?ABC 的边长为 2,侧棱 AA 1 ? 3 ,求三棱锥 C ? AC1D 的体积.

A1 B1 E

C1

A B D

C

3

19.(本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的方程为 2 x ? (k ? 3) y ? 2k ? 6 ? 0 , k ? R. (1)若直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和为 1,求坐标原点 O 到直线 l 的距离; (2)当 k 取任意实数时,直线必过定点 P ,求出点 P 的坐标; (3) 若直线 l 与直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 和 l2 : x ? y ? 3 ? 0 分别相交于 A ,B 两点, 点 P(0, 2) 恰是 AB 的中点,求 k 的值.

20.(本题满分 16 分) 某工厂现有 200 人,人均年收入为 4 万元.为了提高工人的收入,工厂将进行技术改 造.若改造后,有 x ( 100 ? x ? 150 )人继续留用,他们的人均年收入为 4 a ( a ? N ? )万 元;剩下的人从事其它服务行业,这些人的人均年收入有望提高 (2 x)% . (1)设技术改造后这 200 人的人均年收入为 y 万元,求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x 为多少时,能使这 200 人的人均年收入达到最大,并求出最大值.

4

2013-2014 学年度高一第二学期期末考试

数学试题答案
一、填空题 1.

1 2

2. ?

4 5

3.5

4.

1 2

5.215

6. ? ,1? 2

?1 ? ? ?

7.7

8.8 12. ?

9.

? 4

10. ?k? ?
2

? ?

?
3

, k? ?

5? ? (k ? Z ) 6 ? ?
1 2

11.10 二、解答题

3 2

13. x 2 ? ? y ? 1? ? 4

14.

15. (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白,共有 4 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结果只 有 1 种,所以 P(A)=

1 . 4
??????????????????5 分

(2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:(红,红)、(红,黄)、(红,蓝)、(红,白)、(黄,红)、(黄, 黄)、(黄,蓝)、(黄,白)、(蓝,红)、(蓝,黄)、(蓝,蓝)、(蓝,白)、(白,红)、(白,黄)、 (白,蓝)、(白,白),共有 16 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“至少有 7 一次是红球”(记为事件 B)的结果只有 7 种,所以 P(B)= 16 . ????????????????????14 分

16. (1)由 c // a ,得: 2(m ? 1) ? 3m ? 0 ,则

m?

(2)由 a ? 2b ? 2a ? b ,得: a ? 2b ? 2a ? b ? 0

?

? ?
5 2

?

?

??

?

2 5

??????5 分 ???????????7 分

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0 , 10 ? 3a ? b ?
则a ?b ? ?

2

2

5 ? 0, 2

??????????????????????????10 分

5

5 5 5 | a || b | cos ? ? ? , 5 ? cos? ? ? , cos ? ? ?1 2 2 2
向量 a 与 b 的夹角为 ? . ??????????????????14 分

17. (1) CB ? a ? b , BD ?

3b , 则 AD ? a ? 3b ,

??????4 分

CD ? a ? ( 3 ? 1)b
2

? ? ? ? ? ? ? ? ??????8 分

(2) AD ? AB ? (a ? 3 b) ? a ? a ? 3 a ?b ? 2 ? 3 .

??????14 分

1 3 cos ? x) ? k ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x cos ? x ? k 18. (1) f ( x) ? 2sin ? x( sin ? x ? 2 2

=

3 1 ? cos 2?x sin 2?x ? ?k 2 2

= sin( 2?x ? 由题意知

?
6

)?k ?

1 2

??????????????????6 分 ????????????8 分

T ? ? ,得 ? 的取值范围为 0 ? ? ? 1 2 2

(2)若 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,得 ? =1

??????????????9 分

f ( x) = sin( 2 x ?

?

1 ? ? ?? )?k ? , 有 f ( x ) 在区间 ?? , ? 上为增函数, 所以 f ( x ) 的最 6 2 ? 6 6?

1 1 ,则 k ? ? , ?? ??????????11 分 6 2 2 ? 3 ? 4 所以 f (? ) = sin( 2? ? ) ? ,所以 cos( 2? ? ) ? ? ???????12 分 6 5 6 5 ? ? ? ? f ( ? ? ) ? sin( 2? ? ) ? sin( 2? ? ? ) 2 6 6 3
大值为 f ( ) ? 1 ? k ? =

?

1 ? 3 ? sin( 2? ? ) + cos(2? ? ) 2 6 2 6
?????????????????16 分

=

3? 4 3 3?4 3 或 10 10

19.(1)由题知,令 ?CNA ? ? , ?BND ? ? , 则 tan ?CNA ?

1 2 , tan ?BND ? , ??????????????????4 分 x 4? x

6

所以 tan?CND ? tan( ? ? ? ? ? ) ? ? tan( ? ? ?) ? ?

tan? ? tan ? ???????8 分 1 ? tan? tan ?
??????12 分

=

4? x ( 0 ? x ? 4,且 x ? 2 ? 2, x ?2 ? 2 ) x ? 4x ? 2 (2)假设存在,由 ?CND ? ?CNA , 4? x 2 即 2 = , ??????14 分 x ? 4 x ? 2 4- x
2

解之得 x1 ?

4 ? 47 4 ? 47 ? 4 满足题意。 , x2 ? ? 0 (舍) 3 3
????????????????????16 分

所以 x ?

4 ? 47 . 3

20. (1)由题知圆与 x 轴交于 (?5,0) 和 (3,0) ,所以,圆心可设为 (?1, a) ,又半径为 2 5 , 则 (3 ? 1) 2 ? b 2 ? 20 ,得 b ? 2(?2舍) , 所以,圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 20.????????????????4 分 (2)由题知,点 A(1,6)在圆上,所以 (1 ? 1) x ? (6 ? 2)( y ? 2) ? 20 , 所以圆的过 A 点的切线方程为: x ? 2 y ? 13 .?????????????????8 分 (3)由题知, P , B, O1 ,C 四点共圆, 设点 P 坐标为 ( a, b) ,则 P , B, O1 ,C 四点所在圆的方程为

( x ? 1)(x ? a) ? ( y ? 2)( y ? b) ? 0 ,???????????????????10 分
与 圆

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 20 联 立 , 得 直 线

BC









(1 ? a) x ? (b ? 2) y ? a ? 2b ? 15 ? 0 ,????????????????????12 分
又直线 AM 的方程为 x ? 1 ,联立两直线方程, H 点 (1,

14 ? 2b ? 2a ), b?2

所以 k PO1 ? k HO1

14 ? 2b ? 2a ?2 b?2 9?a b ? 2 ,又 k PN ? , ? ? a?9 2 b?2

所以 k PO1 ? k PN ? ?1. ????????????????????????????16 分

7

8


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