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12三角函数(1)


1

龙文教育数学学科导学案(第
教师: 课 题 学生:

12 次课)

年级: 高三 日期: 2014/3/26 星期: 三 时段: 13--15
三角函数

学情分析

需要先复习初中的相关知识 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值 利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围 掌握任意角的三角函数的定义 已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值 记住三角函数的定义域、值域,诱导公式 同角三角函数的基本关系式 掌握任意角的三角函数的定义 已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值 记住三角函数的定义域、值域,诱导公式 同角三角函数的基本关系式 讲练结合,习题。

教学目标与 考点分析

教学重点 教学方法

学习内容与过程
教学过程 1.1.1 任意角 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: 始边 B 终边 ③角的分类: O A 顶点 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下, “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ; ⑵零角的终边与始边重合,如果α 是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α 、β 、γ 各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就

2

说这个角是第几象限角. 例 1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? y y B1 45° O ⑴ x 60o B3 O ⑵ 30° x B2

例 2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为 1、2、3、4、1、2 象限角. 3.终边相同的角的表示: 所有与角α 终边相同的角,连同α 在内,可构成一个集合 S={ β | β = α + k·360 °,k∈Z},即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整个周角的和. 注意:⑴ k∈Z, ⑵ α 是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; 但相等的角终边一定相同. ⑷ 角α + k·720 °与角α 终边相同,但不能表示与角α 终边相同的所有角. 例 3.在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12' . 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例 4.写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0°到 360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 1.1.2 弧度制(一) 1.定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角; 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制. 在弧度制下, 1 弧度记做 1rad.在实际运算中,常常将 rad 单位省略. 2.弧度制的性质:

?r

①半圆所对的圆心角为 r ③正角的弧度数是一个正数. ⑤零角的弧度数是零. 4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度:

? ?;

2?r ? 2? . ②整圆所对的圆心角为 r

④负角的弧度数是一个负数.

l . r ⑥角α 的弧度数的绝对值|α |=

360 ? ? 2? ; 180 ? ? ? ;
②将弧度化为角度:

1? ?

?
180

? 0.01745 rad


n? ?

n? rad 180 .

3

5.常规写法: 6.特殊角的弧度 角 度 弧 度

① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 0 ° 0 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135 ° 150 ° 180 ° 270 ° 360 °

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3 ( 2) ?

3? 4

5? 6

?

3? 2

2?

例.将下列各角化成 2kπ + α (k∈Z,0≤α <2π )的形式,并确定其所在的象限.

19? 3 ; 19? 7? ? 2? ? , 6 解: (1) 3 7? 而 6 是第三象限的角, 19p \ 3 是第三象限角. (1)

31? 6 .

?(2)

31p 5p 31p = - 6p + ,\ 6 6 6 是第二象限角.

1.2.1 任意角的三角函数(三) 1.有向线段:带有方向的线段。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延 长线交与点 T .

y P

T
P

y

o

M

A

x

M

o

A

x

T y

T
A

y
M A

M

o

x

o

x

P

P T

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x y MP AT ? ? y ? MP cos ? ? ? ? x ? OM tan ? ? ? ? ? AT r 1 r 1 x OM OA , ,

4

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明:三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的为负值。

1 例4.在[0,2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是 ( 2

)

? ?? A. ?0, ? ? 6?
1 (1) sin x ? ? ; 2

?? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ?
1 . 2

? ? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

? 5? ? D. ? ,? ? ?6 ?

例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.

( 2) cos x ?

7? 11? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z 6 6 答案: (1) 6 ; (2) 6 ;
四、小 结: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 4-1.2.1 任意角的三角函数(1) 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α 是一个任意角, α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, y ) ,它与原点的距离为

r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0)

,那么

y y sin ? ? r ; (1)比值 r 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 x x cos ? ? r; (2)比值 r 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即

y y tan ? ? x; (3)比值 x 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即

x x cot ? ? y; (4)比值 y 叫做α 的余切,记作 cot ? ,即 说明:① α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与
α 的终边相同的角所在的位置; ② 根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,四个比值不以点 P ( x, y ) 在α 的终边上的位置的改变而改变大小;

y 2 ③ 当 时,α 的终边在 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ,所以 x cot? ? y 无意义; 意义;同理当 ? ? k? (k ? Z ) 时,

??

?

? k? (k ? Z )

tan ? ?

y x无

x y x y ④ 除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值 r 、 r 、 x 、 y 分别是一个确定的实数,

5

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ?
y ? cos ?

R R

[?1,1] [?1,1]
R

y ? tan ?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合.? (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. 例.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的四个三角函数值。 解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | ,

x ? a, y ? 2a

a ? 0时, sin ? ?


y 2a 2a 2 5 ? ? ? r 5 5|a| 5a

x a 5a ? ? r 5 ; 5a 1 5 tan ? ? 2;cot ? ? ;sec ? ? 5;csc ? ? 2; 2 y 2a 2a 2 5 a ? 0时, sin ? ? ? ? ?? r 5 ; 5 | a | ? 5a 当 cos ? ? x a 5a ? ?? r ? 5a 5 ; 1 5 tan ? ? 2;cot ? ? ;sec? ? ? 5;csc ? ? ? 2. 2 例.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的四个函数值。 cos? ?

4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y ① 正弦值 r 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ;

6

x ② 余弦值 r 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ; y ③ 正切值 x 对于第一、三象限为正( x , y 同号) ,对于第二、四象限为负( x , y 异号) .
说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 练习: 确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250 ;
?

sin( ? ) 4 ; (2)

?

(3) tan(?672 ) ;
?

tan
(4)

11? 3 .

5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
cos 9? 11? tan( ? ) 4 , (2) 6 ,

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题. 例 5.求下列三角函数的值: (1)

四、小结: 1.任意角的三角函数的定义; 2.三角函数的定义域、值域; 3.三角函数的符号及诱导公式。 4-1.2.2 同角三角函数的基本关系 (一)同角三角函数的基本关系式: 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:

tan ? ?
(1)商数关系: 说明:

sin ? con ?

(2)平方关系: sin ? ? con ? ? 1
2 2

① 注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 等;
2 2

② 注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如

tan ? ? cot ? ? 1(? ?

k? ,k ? Z) 2 ;
sin ? tan ? 等。

③ 对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos? ? ? 1 ? sin ? , sin ? ? 1 ? cos ? ,
2
2 2

cos ? ?

2.例题分析: 一、求值问题

7

sin ? ?
例 1. (1)已知

12 13 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? .

cos ? ? ?
(2)已知
2

4 5 ,求 sin ? , tan ? .
2

解: (1)∵sin ? ? cos ? ? 1 , 又∵? 是第二象限角,

12 5 cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 2 13 13 ∴
cos ? ? ? 5 13 ,从而

∴cos ? ? 0 ,即有

tan ? ?

sin ? 12 ?? cos ? 5 ,
2 2

cot ? ?

1 5 ?? tan ? 12

4 3 sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? ( ) 2 5 5 , (2)∵sin ? ? cos ? ? 1 , ∴
cos ? ? ?
又∵

4 ?0 5 ,

∴? 在第二或三象限角。

当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 总结:

sin ? ?

3 sin ? 3 tan ? ? ?? 5, cos ? 4;

sin ? ? ?

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5, cos ? 4 .

1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的终边位置是 关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:① 没有确定好或不去确定角的终边位置;② 利用平方关系开平方时,漏掉了负 的平方根。

sin ? ? 4 cos ? 例、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求 5 sin ? ? 2 cos ?
解:? sin ? ? 2 cos?

? tan? ? 2

?

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

强调(指出)技巧: 1? 分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、分母同除以 cos? ,将分子、分母转化为 tan ? 的代 数式; 2? “化 1 法” 可利用平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 ,将分子、分母都变为二次齐次式,再利用商数关系化归为 tan ? 的分式求
2 2

值; 二、化简 练习 1.化简 1 ? sin 440 .
2 ?

8

解:原式

? 1 ? sin 2 (360? ? 80? ) ? 1 ? sin 2 80? ? cos2 80? ? cos80? .

sin ? ?
2、已知

4 ? 2m m?3 , cos ? ? , ?是第四象限角, m?5 m?5 求 tan? 的值。

1.3 诱导公式(一) 一、复习: 诱导公式(一)

sin(360?k ? ? ) ? sin ?
诱导公式(二)

cos(360?k ? ? ) ? cos?

tan( 360?k ? ? ) ? tan?

sin(180? ? ? ) ? ? sin ?
诱导公式(三)

cos(180? ? ? ) ? ? cos? cos(?? ) ? cos?

tan( 180? ? ? ) ? tan?

sin(?? ) ? ? sin ?
诱导公式(四)

tan(?? ) ? ? tan?
tan( 180? ? ? ) ? ? tan?

sin(180? ? ? ) ? sin ?
对于五组诱导公式的理解 :

cos(180? ? ? ) ? ? cos?

① 公式中的?可以是任意角; ② 四组诱导公式可以概括为:

? ? ?, ? ? ? ,的三角函数值,等于它 的同名 三角函数值, 前面加上一个把 ?看成锐角时原函数值的 符号。
总结为一句话:函数名不变,符号看象限 二、新课讲授:

2k? ? ? (k ? Z),

??,

sin(
1、诱导公式(五)

?
2

? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? sin ?

2 2、诱导公式(六) 总结为一句话:函数正变余,符号看象限

sin(

?

? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? ? sin ?

? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2 例.化简:

9

例4. 已知 tan( ? ? ? ) ? 3, 2cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 求: 的值。 4cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) ? ? ? ) ? 3,? tan? ? 3. 解:? tan(
原式 ? ? 2cos ? ? 3sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 7. 4cos ? ? sin? 4 ? tan ? 4?3

对本次课的小结及评价
1、本次课你学到了什么知识 2、你对老师下次上课的建议

⊙ 特别满意 课后小结:

⊙ 满意

⊙ 一般

⊙ 差

学生签字:

教师签字: 审阅签字: 教务主任签字: 时 时 间: 间:

龙文教育教务处


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