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2015-2016年人教版选修1-1《3.3.1函数的单调性与导数》课件_图文

第3章 导数及应用 3.3.1 函数的单调性与导数 内容:利用导数研究函数的单调性 函数的 单调性 与导数 应用 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况 有关含参数的函数单调性问题 利用导函数判断原函数大致图象 利用导数求函数的单调区间 本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之 对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题,通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系,再结合具体函数,探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题.重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间. 采用例题与变式练习相结合的方法,通过4个例题探讨 利用导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测,通过 设置难易不同的必做和选做试题,对不同的学生进行因材施教。 动画剪纸之对称性 创设情景: 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模 型 , 研究函数时 , 了解函数的增与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常 重要的. 通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的 变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函 数的导数一样都是反映函数变化情况的 ,那么函 数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的 联系呢? 复习引入: 问题1:函数单调性的定义怎样描述的? 一般地,对于给定区间D上的函数f(x),若对于属于 区间D的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,有 (1)若f(x1)<f (x2) ,那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2),那么f(x)在这个区间上是减函数. 2.用定义证明函数的单调性的一般步骤: (1)任取x1、x2∈D,且x1< x2. (2)作差f(x1)-f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)-f(x2)的正负)(与0比较) (5)结论 3.研究函数的单调区间你有哪些方法? (1)观察法:观察图象的变化趋势; (2)定义法: 4.讨论函数y=x2-4x+3的单调性. 图象法 定义法 单增区间:(2,+∞). 单减区间:(-∞,2). 5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗? (2)能用单调性的定义吗? 试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了? (产生认知冲突) 发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很 麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时 候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决. 如图(1),它表示跳水运动中高度h随时间t变 化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t ) ? h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别? 引导:随着时间的变化,运动员离 水面的高度的变化有什么趋势?是 逐渐增大还是逐步减小? (1) (2) 通过观察图象,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间 t的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0 . (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减少, 即h(t)是减函数.相应地,v(t ) ? h?(t ) ? 0 . 函数的单调性可简单的认为是: f ( x2 ) ? f ( x1 ) 若 ? 0, 则函数f ( x)为增函数 x2 ? x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) 可把 看作 ? x2 ? x1 ?x x2 ? x1 说明函数的变化率可以反映函数的单调性, 即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系. 上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意 义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象 上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么 函数的单调性与导数有什么关系呢? 观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数 正负的关系 (1)函数y ? x 的定义域为R, 并且在定义域上是增函数, 其导数 y? ? 1 ? 0 (2)函数y ? x 2 的定义域为R, 并且在( ??, 0)上单调递减, 在(0, ??)上单调递增,其导数 y ? ? 2 x 当x ? 0时, y? ? 0;当x ? 0时, y? ? 0;当x ? 0时, y? ? 0. (3)函数y ? x 的定义域为R, 并且在定义域上是增函数, 3 2 ? 其导数 y ? 3x 若x ? 0, 则其导数3x2 ? 0;当x ? 0, 则其导数3x2 ? 0. 1 (4)函数y ? 的定义域为(??, 0) (0, ??), 并且 x 在(??, 0)上单调递减, 在(0, ??)上单调递减. 1 而y? ? ? 2 , 因为x ? 0, 所以y? ? 0. x 再观察函数y=x2-4x+3的图象: y 0 . . . . . .. 2 该函数在区间(-∞,2) 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负; 在区间(2,+∞)上单 增,切线斜率大于0,即 x 其导数为正. 而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变. 结论:在某个区间(a,b)内, 如果 , 那么函数 如果 , 在这个区间内单调递增; 那么函数 在这个区间内单调递减. 如果在某个区间内恒有f?(x)=0,则f(x)为常数函数. 函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调 性的关系是:

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