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2012年上海市高考数学试卷(理科)

2012 年上海市高考数学试卷(理科)

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2012 年上海市高考数学试卷(理科)
一、填空题(56 分) : 1. (4 分) (2012?上海)计算: = _________ (i 为虚数单位) .

2. (4 分) (2012?上海)若集合 A={x|2x+1>0},B={x||x﹣1|<2},则 A∩B= _________ . 3. (4 分) (2012?上海)函数 f(x)= 的值域是 _________ .

4. (4 分) (2012?上海)若 =(﹣2,1)是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 _________ (结果用反 三角函数值表示) .

5. (4 分) (2012?上海)在

的二项展开式中,常数项等于 _________ .

6. (4 分) (2012?上海)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列,体积分别记为 V1,V2,…, Vn,…,则 (V1+V2+…+Vn)═ _________ .

7. (4 分) (2012?上海)已知函数 f(x)=e 围是 _________ .

|x﹣a|

(a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范

8. (4 分) (2012?上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为 _________
2



9. (4 分) (2012?上海)已知 y=f(x)+x 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(﹣1)= _________ . 10. (4 分) (2012?上海)如图,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 a= 程写成 ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)= _________ . ,若将 l 的极坐标方

11. (4 分) (2012?上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两 人选择的项目完全相同的概率是 _________ (结果用最简分数表示) . 12. (4 分) (2012?上海)在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、

CD 上的点,且满足

=

,则

的取值范围是 _________ .
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www.jyeoo.com 13. (4 分) (2012?上海)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0) 、B( ,5) 、C(1,0) ,函数 y=xf(x) (0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 _________ .

14. (4 分) (2012?上海) 如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC=2, 若 AD=2c, 且 AB+BD=AC+CD=2a, 其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 _________ .

二、选择题(20 分) : 15. (5 分) (2012?上海)若 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0 的一个复数根,则( ) A.b=2,c=3 B.b=﹣2,c=3 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=2,c=﹣1 16. (5 分) (2012?上海)在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 17. (5 分) (2012?上海)设 10≤x1<x2<x3<x4≤10 ,x5=10 ,随机变量 ξ1 取值 x1、x2、x3、x4、x5 的概率均为 0.2, 随机变量 ξ2 取值 、 、 、 、 的概率也均为 0.2,若记 Dξ1、Dξ2 分别为 ξ1、ξ2 的
4 5 2 2 2 2

方差,则( ) A.Dξ1>Dξ2 B. Dξ1=Dξ2 C. Dξ1<Dξ2 D.Dξ1 与 Dξ2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 18. (5 分) (2012?上海)设 an= sin A.25 B.50 ,Sn=a1+a2+…+an,在 S1,S2,…S100 中,正数的个数是( C.75 D.100 )

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 19. (12 分) (2012?上海)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点, 已知 AB=2,AD=2 ,PA=2,求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

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20. (14 分) (2012?上海)已知 f(x)=lg(x+1) (1)若 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0≤x≤1 时,g(x)=f(x) ,求函数 y=g(x) (x∈[1,2])的反函数. 21. (14 分) (2012?上海)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正 方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图,现假设: ①失事船的移动路径可视为抛物线 ;

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t (1)当 t=0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向. (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

22. (16 分) (2012?上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x ﹣y =1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; 2 2 (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:OP⊥OQ; 2 2 (3)设椭圆 C2:4x +y =1,若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

2

2

23. (18 分) (2012?上海)对于数集 X={﹣1,x1,x2,…,xn},其中 0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集 Y={ (s,t) ,s∈X,t∈X},若对任意 ,存在 ,使得

=

,则称 X 具有性质 P.例如{﹣1,1,2}

具有性质 P. (1)若 x>2,且{﹣1,1,2,x}具有性质 P,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1∈X,且当 xn>1 时,x1=1; (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1、x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2,…,xn 的通项公式.

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2012 年上海市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题(56 分) : 1. (4 分) (2012?上海)计算: = 1﹣2i (i 为虚数单位) .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以 1﹣i,再由进行计算即可得到答案 解答: 解:
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故答案为 1﹣2i 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考 查的重要内容,要熟练掌握

2. (4 分) (2012?上海)若集合 A={x|2x+1>0},B={x||x﹣1|<2},则 A∩B= (﹣ ,3) .

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先将两个数集化简,再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案 解答: 解:由题意 A={x|2x+1>0}={x|x>﹣ },B={x||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3},
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所以 A∩B=(﹣ ,3) 故答案为(﹣ ,3) 点评: 本题考查交集的运算,解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则,正确化简两个集合对解题也很重要, 要准确化简

3. (4 分) (2012?上海)函数 f(x)=

的值域是



考点: 二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式,然后化简整理,根据正弦函数的有界性可求出该函数的 值域. 解答: 解:f(x)= =﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣ sin2x
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∵﹣1≤sin2x≤1 ∴﹣ ≤﹣ sin2x≤ 则﹣ ≤﹣2﹣ sin2x≤﹣

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www.jyeoo.com ∴函数 f(x)= 故答案为: 点评: 本题主要考查了二阶行列式的求解,以及三角函数的化简和值域的求解,同时考查了计算能力,属于基础 题. 的值域是

4. (4 分) (2012?上海)若 =(﹣2,1)是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三 角函数值表示) . 考点: 平面向量坐标表示的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量,从而得到直线的斜率,根据 k=tanα 可求出倾斜角. 解答: 解:∵ =(﹣2,1)是直线 l 的一个法向量
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∴可知直线 l 的一个方向向量为(1,2) ,直线 l 的倾斜角为 α 得,tanα=2 ∴α=arctan2 故答案为:arctan2 点评: 本题主要考查了方向向量与斜率的关系,以及反三角的应用,同时运算求解的能力,属于基础题.

5. (4 分) (2012?上海)在

的二项展开式中,常数项等于 ﹣160 .

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 研究常数项只需研究二项式的展开式的通项,使得 x 的指数为 0,得到相应的 r,从而可求出常数项. 解答: 6﹣r r r 6﹣2r 解:展开式的通项为 Tr+1= x (﹣ ) =(﹣2) x 令 6﹣2r=0 可得 r=3
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常数项为(﹣2)

3

=﹣160

故答案为:﹣160 点评: 本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项,同时考查了计算能力,属于基础题.

6. (4 分) (2012?上海)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列,体积分别记为 V1,V2,…, Vn,…,则 (V1+V2+…+Vn)═ .

考点: 数列的极限;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得,正方体的体积 = 公式可求

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是以 1 为首项,以 为公比的等比数,由等不数列的求和

解答: 解:由题意可得,正方体的棱长满足的通项记为 an 则

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www.jyeoo.com ∴ = 是以 1 为首项,以 为公比的等比数列



(V1+V2+…+vn)=

=

故答案为: 点评: 本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解,属于基础试题 7. (4 分) (2012?上海)已知函数 f(x)=e 围是 (﹣∞,1] .
|x﹣a|

(a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 综合题. 分析: 由题意,复合函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数可得出内层函数 t=|x﹣a|在区间[1,+∞)上是增函数, 又绝对值函数 t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数,可得出[1,+∞)?[a,+∞) ,比较区间端点即可得出 a 的取值范围 ﹣ 解答: 解:因为函数 f(x)=e|x a|(a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数 由复合函数的单调性知,必有 t=|x﹣a|在区间[1,+∞)上是增函数 又 t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数 所以[1,+∞)?[a,+∞) ,故有 a≤1 故答案为(﹣∞,1] 点评: 本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断,集合包含关系的判断,解题的关键是根据指数 函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系,本题考查了转化的思想及推理判断的能力,属于指数函 数中综合性较强的题型.
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8. (4 分) (2012?上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为



考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 计算题. 通过侧面展开图的面积.求出圆锥的母线,底面的半径,求出圆锥的体积即可. 解:由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,可知,圆锥的母线为:l; 2 因为 4π=πl ,所以 l=2, 半圆的弧长为 2π, 圆锥的底面半径为 2πr=2π,r=1,
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所以圆柱的体积为: 故答案为: .

=



点评: 本题考查旋转体的条件的求法,侧面展开图的应用,考查空间想象能力,计算能力. 9. (4 分) (2012?上海)已知 y=f(x)+x 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(﹣1)= ﹣1 . 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先由函数是奇函数求出 f(﹣1)=﹣3,再将其代入 g(﹣1)求值即可得到答案
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2

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www.jyeoo.com 解答: 解:由题意,y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1, 2 所以 f(1)+1+f(﹣1)+(﹣1) =0 解得 f(﹣1)=﹣3 所以 g(﹣1)=f(﹣1)+2=﹣3+2=﹣1 故答案为﹣1 点评: 本题考查函数奇偶性的性质,利用函数奇偶性求值,解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的 方程,基本题型.

10. (4 分) (2012?上海)如图,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 a= 程写成 ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)= .

,若将 l 的极坐标方

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 取直线 l 上任意一点 P(ρ,θ) ,连接 OP,则 OP=ρ,∠POM=θ,在三角形 POM 中,利用正弦定理建立等 式关系,从而求出所求. 解答: 解:取直线 l 上任意一点 P(ρ,θ) ,连接 OP,则 OP=ρ,∠POM=θ
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在三角形 POM 中,利用正弦定理可知:

解得 ρ=f(θ)=

故答案为:

点评: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程,以及余弦定理的应用,同时考查了分析问题的能力和转化的思想, 属于基础题. 11. (4 分) (2012?上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两 人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示) .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 分析: 先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数,最后利用古典概型 及其概率计算公式进行求解即可.
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www.jyeoo.com 解答: 解:每个同学都有三种选择:跳高与跳远;跳高与铅球;跳远与铅球 三个同学共有 3×3×3=27 种 有且仅有两人选择的项目完全相同有 其中 中选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 故答案为: 点评: 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数, 属于基础题. = × × =18 种 表示从三种组合中选一个, 表示剩下的一个同学有 2

表示 3 个同学中选 2 个同学选择的项目,

12. (4 分) (2012?上海)在平行四边形 ABCD 中,∠A=

,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、

CD 上的点,且满足

=

,则

的取值范围是 [2,5] .

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量的综合题. 计算题. 画出图形,建立直角坐标系,利用比例关系,求出 M,N 的坐标,然后通过二次函数求出数量积的范围. 解:建立如图所示的直角坐标系,则 B(2,0) ,A(0,0) ,
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D(

) ,设

=

=λ,λ∈[0,1],

M(2+ 所以
2

) ,N( =(2+ )?(

) , )

=﹣λ ﹣2λ+5,因为 λ∈[0,1],二次函数的对称轴为:λ=﹣1, 2 所以 λ∈[0,1]时,﹣λ ﹣2λ+5∈[2,5]. 故答案为:[2,5].

点评: 本题考查向量的综合应用,平面向量的坐标表示以及数量积的应用,二次函数的最值问题,考查计算能力.

13. (4 分) (2012?上海)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0) 、B( ,5) 、C(1,0) ,函数 y=xf(x) (0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 .

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www.jyeoo.com 考点: 函数的图象. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析:
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根据题意求得 f(x)=

,从而 y=xf(x)=



利用定积分可求得函数 y=xf(x) (0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积. 解答: 解:由题意可得,f(x)= ,

∴y=xf(x)=



设函数 y=xf(x) (0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S, 则 S= 10x dx+
2

(﹣10x +10x)dx

2

=10×

+(﹣10)×

+10×

= =



+5﹣

= . 故答案为: . 点评: 本题考查函数的图象,着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用,考查分析运算能力,属于难题. 14. (4 分) (2012?上海) 如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC=2, 若 AD=2c, 且 AB+BD=AC+CD=2a, 其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 作 BE⊥AD 于 E, 连接 CE, 说明 B 与 C 都是在以 AD 为焦距的椭球上, 且 BE、 CE 都垂直于焦距 AD, BE=CE. 取 BC 中点 F,推出四面体 ABCD 的体积的最大值,当△ ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大,求
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www.jyeoo.com 解即可. 解答: 解:作 BE⊥AD 于 E,连接 CE,则 AD⊥平面 BEC,所以 CE⊥AD, 由题设,B 与 C 都是在以 AD 为焦点的椭圆上,且 BE、CE 都垂直于焦距 AD, AB+BD=AC+CD=2a,显然△ ABD≌△ACD,所以 BE=CE. 取 BC 中点 F,∴EF⊥BC,EF⊥AD,要求四面体 ABCD 的体积的最大值,因为 AD 是定值,只需三角形 EBC 的面积最大,因为 BC 是定值,所以只需 EF 最大即可, 当△ ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大,∵AB+BD=AC+CD=2a, ∴AB=a,所以 EB= 所以几何体的体积为: 故答案为: . ,EF= , × = .

点评: 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查空间想象能力,逻辑推理能力以及计算能力. 二、选择题(20 分) : 2 15. (5 分) (2012?上海)若 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0 的一个复数根,则( ) A.b=2,c=3 B.b=﹣2,c=3 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=2,c=﹣1 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由题意,将根代入实系数方程 x2+bx+c=0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数 a,b 的方程组
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,解方程得出 a,b 的值即可选出正确选项 解答: 解:由题意 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 ∴1+2 i﹣2+b+ bi+c=0 ∴ ,解得 b=﹣2,c=3

故选 B 点评: 本题考查复数相等的充要条件,解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件,能根据它得到关于实数的方 程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题 16. (5 分) (2012?上海)在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 考点: 余弦定理的应用;三角形的形状判断. 专题: 计算题.
2 2 2

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www.jyeoo.com 分析: 由 sin A+sin B<sin C,结合正弦定理可得,a +b <c ,由余弦定理可得 CosC= 值范围 解答: 解:∵sin2A+sin2B<sin2C, 2 2 2 由正弦定理可得,a +b <c 由余弦定理可得 CosC= ∴ ∴△ABC 是钝角三角形 故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用,属于基础试题 17. (5 分) (2012?上海)设 10≤x1<x2<x3<x4≤10 ,x5=10 ,随机变量 ξ1 取值 x1、x2、x3、x4、x5 的概率均为 0.2, 随机变量 ξ2 取值 、 、 、 、 的概率也均为 0.2,若记 Dξ1、Dξ2 分别为 ξ1、ξ2 的
4 5 2 2 2 2 2 2

可判断 C 的取

方差,则( ) A.Dξ1>Dξ2 B. Dξ1=Dξ2 C. Dξ1<Dξ2 D.Dξ1 与 Dξ2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据随机变量 ξ1、ξ2 的取值情况,计算它们的平均数,根据随机变量 ξ1、ξ2 的取值的概率都为 0.2,即可求 得结论. 解答: 解:由随机变量 ξ1、ξ2 的取值情况,它们的平均数分别为:
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= (x1+x2+x3+x4+x5) ,

= (

+

+

+

+

)=

且随机变量 ξ1、ξ2 的

取值的概率都为 0.2,所以有 Dξ1>Dξ2, 故选择 A. 点评: 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础,本题属于中档 题.

18. (5 分) (2012?上海)设 an= sin A.25 B.50

,Sn=a1+a2+…+an,在 S1,S2,…S100 中,正数的个数是( C.75 D.100



考点: 数列的求和;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由于 f(n)=sin 的周期 T=50,由正弦函数性质可知,a1,a2,…,a24>0,a26,a27,…,a49<0,f(n)
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= 单调递减,a25=0,a26…a50 都为负数,但是|a26|<a1,|a27|<a2,…,|a49|<a24,从而可判断 解答: 解:由于 f(n)=sin 的周期 T=50

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www.jyeoo.com 由正弦函数性质可知,a1,a2,…,a24>0,a25=0,a26,a27,…,a49<0,a50=0 且 sin ,sin …但是 f(n)= 单调递减

a26…a49 都为负数,但是|a26|<a1,|a27|<a2,…,|a49|<a24 ∴S1,S2,…,S25 中都为正,而 S26,S27,…,S50 都为正 同理 S1,S2,…,s75 都为正,S1,S2,…,s75,…,s100 都为正, 故选 D 点评: 本题主要考查了三角函数的周期的应用,数列求和的应用,解题的关键是正弦函数性质的灵活应用. 三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 19. (12 分) (2012?上海)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点, 已知 AB=2,AD=2 ,PA=2,求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

考点: 直线与平面垂直的性质;异面直线及其所成的角. 专题: 证明题;综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 可以利用线面垂直的判定与性质, 证明出三角形 PCD 是以 D 为直角顶点的直角三角形, 然后在 Rt△ PAD 中,利用勾股定理得到 PD=2 ,最后得到三角形 PCD 的面积 S;
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(2)[解法一]建立如图空间直角坐标系,可得 B、C、E 各点的坐标,从而 0) ,利用空间向量数量积的公式,得到 的角的大小为 ; 与 夹角 θ 满足:cosθ=

=(1,

,1) ,

=(0,2



,由此可得异面直线 BC 与 AE 所成

[解法二]取 PB 的中点 F,连接 AF、EF,△ PBC 中,利用中位线定理,得到 EF∥BC,从而∠AEF 或其补 角就是异面直线 BC 与 AE 所成的角,然后可以通过计算证明出:△ AEF 是以 F 为直角顶点的等腰直角三 角形,所以∠AEF= ,可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 .

解答: 解: (1)∵PA⊥底面 ABCD,CD?底面 ABCD, ∴CD⊥PA. ∵矩形 ABCD 中,CD⊥AD,PA、AD 是平面 PDC 内的相交直线. ∴CD⊥平面 PDA, ∵PD?平面 PDA,∴CD⊥PD,三角形 PCD 是以 D 为直角顶点的直角三角形. ∵Rt△ PAD 中,AD=2 ,PA=2, ∴PD= =2 . .

∴三角形 PCD 的面积 S= ×PD×DC=2 (2)[解法一]

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www.jyeoo.com 如图所示,建立空间直角坐标系,可得 B(2,0,0) ,C(2,2 ∴ 设 =(1, 与 ,1) , =(0,2 ,0) , = = ,

,0) ,E(1,

,1) .

夹角为 θ,则 cosθ=

∴θ=

,由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为



[解法二] 取 PB 的中点 F,连接 AF、EF、AC, ∵△PBC 中,E、F 分别是 PC、PB 的中点, ∴EF∥BC,∠AEF 或其补角就是异面直线 BC 与 AE 所成的角. ∵Rt△ PAC 中,PC= ∴AE= PC=2, ∵在△ AEF 中,EF= BC=
2 2 2

=4.

,AF= PB=

∴AF +EF =AE ,△ AEF 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴∠AEF= ,可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 .

点评: 本题根据一个特殊的四棱锥,求异面直线所成的角和证明线面垂直,着重考查了异面直线及其所成的角和 直线与平面垂直的性质等知识,属于中档题. 20. (14 分) (2012?上海)已知 f(x)=lg(x+1) (1)若 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0≤x≤1 时,g(x)=f(x) ,求函数 y=g(x) (x∈[1,2])的反函数. 考点: 函数的周期性;反函数;对数函数图象与性质的综合应用.
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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: (1)应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可; (2)结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解. 解答: 解: (1)f(1﹣2x)﹣f(x)=lg(1﹣2x+1)﹣lg(x+1)=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1) , 要使函数有意义,则 由 解得:﹣1<x<1.

由 0<lg(2﹣2x)﹣lg(x+1)=lg ∵x+1>0,∴x+1<2﹣2x<10x+10, ∴ .

<1 得:1<

<10,



得:



(2)当 x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1], ∴y=g(x)=g(x﹣2)=g(2﹣x)=f(2﹣x)=lg(3﹣x) , 由单调性可知 y∈[0,lg2], 又∵x=3﹣10 , x ∴所求反函数是 y=3﹣10 ,x∈[0,lg2]. 点评: 本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识,属于易错题. 21. (14 分) (2012?上海)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正 方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图,现假设: ①失事船的移动路径可视为抛物线 ;
y

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t (1)当 t=0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向. (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 应用题. 分析: (1)t=0.5 时,确定 P 的横坐标,代入抛物线方程
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中,可得 P 的纵坐标,利用|AP|=

,即可确

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www.jyeoo.com 定救援船速度的大小和方向; 2 (2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t ) ,从而可得 vt= 解答: ,整理得 ,利用基本不等式,即可得到结论. 中,得 P 的纵坐标 yP=3.…2 分

解: (1)t=0.5 时,P 的横坐标 xP=7t= ,代入抛物线方程 由|AP|= ,得救援船速度的大小为 ,得∠OAP=arctan 海里/时.…4 分

由 tan∠OAP=

,故救援船速度的方向为北偏东 arctan
2

弧度.…6 分

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t ) . 由 vt= 因为 ,整理得
2 2

.…10 分

,当且仅当 t=1 时等号成立,所以 v ≥144×2+337=25 ,即 v≥25.

因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.…14 分 点评: 本题主要考查函数模型的选择与运用.选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题. 22. (16 分) (2012?上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x ﹣y =1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; 2 2 (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:OP⊥OQ; 2 2 (3)设椭圆 C2:4x +y =1,若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: (1)求出双曲线的渐近线方程,求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出三角形的面积.
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2

2

(2) 设直线 PQ 的方程为 y=kx+b, 通过直线 PQ 与已知圆相切, 得到 b =2, 通过求解 (3)当直线 ON 垂直 x 轴时,直接求出 O 到直线 MN 的距离为

2

=0. 证明 PO⊥OQ.

.当直线 ON 不垂直 x 轴时,设直线 ON

的方程为: y=kx, (显然|k|>

) , 推出直线 OM 的方程为 y=

, 利用

, 求出



,设 O 到直线 MN 的距离为 d,通过(|OM| +|ON| )d =|OM| |ON| ,求出 d= 到直线 MN 的距离是定值. 解答: 解: (1)双曲线 C1: 渐近线方程为:y=± 过 A 与渐近线 y= x. x 平行的直线方程为 y= (x+ ) ,即 y= , 左顶点 A(﹣ ) ,

2

2

2

2

2

.推出 O

所以

,解得



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www.jyeoo.com 所以所求三角形的面积为 S= (2)设直线 PQ 的方程为 y=kx+b, 因直线 PQ 与已知圆相切,故
2





即 b =2,由 得 x ﹣2bx﹣b ﹣1=0,
2 2



设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 又 y1y2=(x1+b) (x2+b) . 所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b
2 2 2 2



=2(﹣1﹣b )+2b +b 2 =b ﹣2=0. 故 PO⊥OQ.

(3)当直线 ON 垂直 x 轴时,|ON|=1,|OM|=

,则 O 到直线 MN 的距离为 ) ,



当直线 ON 不垂直 x 轴时,设直线 ON 的方程为:y=kx, (显然|k|> 则直线 OM 的方程为 y= ,由





所以



同理



设 O 到直线 MN 的距离为 d, 2 2 2 2 2 因为(|OM| +|ON| )d =|OM| |ON| , 所以 = =3,

即 d=



综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的综合,向量的数量积的应用,设而不求的解题方法,点 到直线的距离的应用,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力.

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www.jyeoo.com 23. (18 分) (2012?上海)对于数集 X={﹣1,x1,x2,…,xn},其中 0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集 Y={ (s,t) ,s∈X,t∈X},若对任意 ,存在 ,使得 =

,则称 X 具有性质 P.例如{﹣1,1,2}

具有性质 P. (1)若 x>2,且{﹣1,1,2,x}具有性质 P,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1∈X,且当 xn>1 时,x1=1; (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1、x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2,…,xn 的通项公式. 考点: 数列与向量的综合;元素与集合关系的判断;平面向量的综合题. 专题: 计算题;证明题;综合题;压轴题. 分析: (1)在 Y 中取 =(x,2) ,根据数量积的坐标公式,可得 Y 中与
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垂直的元素必有形式(﹣1,b) ,所

以 x=2b,结合 x>2,可得 x 的值. (2)取 =(x1,x1) , =(s,t)根据 ,化简可得 s+t=0,所以 s、t 异号.而﹣1 是数集 X

中唯一的负数,所以 s、t 中的负数必为﹣1,另一个数是 1,从而证出 1∈X,最后通过反证法,可以证明出 当 xn>1 时,x1=1. i﹣1 (3)[解法一]先猜想结论:xi=q ,i=1,2,3,…,n.记 Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk},k=2,3,…,n, i﹣1 通过反证法证明出引理:若 Ak+1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P.最后用数学归纳法,可证明出 xi=q , i=1,2,3,…,n; [解法二]设 = (s1, t1) , = (s2, t2) , 则 等价于 , 得到一正一负的特征, 再记 B={ |s∈X,

t∈X 且|s|>|t|},则可得结论:数集 X 具有性质 P,当且仅当数集 B 关于原点对称.又注意到﹣1 是集合 X 中唯一的负数,B∩(﹣∞,0)={﹣x2,﹣x3,﹣x4,…,﹣xn},共有 n﹣1 个数,所以 B∩(0.+∞)也 有 n﹣1 个数.最后结合不等式的性质,结合三角形数阵加以说明,可得 = =…= ,最终得到数

列的通项公式是 xk=x1?( 解答: 解: (1)选取



k﹣1

=q

k﹣1

,k=1,2,3,…,n. 垂直的元素必有形式(﹣1,b) ,所以 x=2b,

=(x,2) ,则 Y 中与

又∵x>2,∴只有 b=2,从而 x=4. (2)取 =(x1,x1)∈Y,设 =(s,t)∈Y,满足 ,可得(s+t)x1=0,s+t=0,所以 s、t 异

号. 因为﹣1 是数集 X 中唯一的负数,所以 s、t 中的负数必为﹣1,另一个数是 1,所以 1∈X, 假设 xk=1,其中 1<k<n,则 0<x1<1<xn. 再取 =(x1,xn)∈Y,设 =(s,t)∈Y,满足 ,可得 sx1+txn=0,

所以 s、t 异号,其中一个为﹣1 ①若 s=﹣1,则 x1=txn>t≥x1,矛盾; ②若 t=﹣1,则 xn=sx1<s≤xn,矛盾; 说明假设不成立,由此可得当 xn>1 时,x1=1. i﹣1 (3)[解法一]猜想:xi=q ,i=1,2,3,…,n 记 Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk},k=2,3,…,n
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www.jyeoo.com 先证明若 Ak+1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 =(s,t) ,s、t∈Ak,当 s、t 中出现﹣1 时,显然有 满足

当 s、t 中都不是﹣1 时,满足 s≥1 且 t≥1. 因为 Ak+1 具有性质 P,所以有 =(s1,t1) ,s1、t1∈Ak+1,使得 ,从而 s1、t1 其中有一个为﹣1

不妨设 s1=﹣1, 假设 t1∈Ak+1,且 t1?Ak,则 t1=xk+1.由(s,t) (﹣1,xk+1)=0,得 s=txk+1≥xk+1,与 s∈Ak 矛盾. 所以 t1∈Ak,从而 Ak 也具有性质 P. i﹣1 再用数学归纳法,证明 xi=q ,i=1,2,3,…,n 当 n=2 时,结论显然成立; 假设当 n=k 时,Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk}具有性质 P,则 xi=q ,i=1,2,…,k 当 n=k+1 时,若 Ak+1═{﹣1,x1,x2,…,xk+1}具有性质 P,则 Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk}具有性质 P, 2 k﹣1 所以 Ak+1═{﹣1,q,q ,…,q ,xk+1}. 取 =(xk+1,q) ,并设 =(s,t)∈Y,满足 ,不可能
j k k﹣1 i﹣1

,由此可得 s=﹣1 或 t=﹣1

若 t=﹣1,则 xk+1=

所以 s=﹣1,xk+1=qt=q ≤q 且 xk+1>q [解法二]设 =(s1,t1) ,

,因此 xk+1=q 综上所述,xi=q 等价于

k

i﹣1

,i=1,2,3,…,n

=(s2,t2) ,则

记 B={ |s∈X,t∈X 且|s|>|t|},则数集 X 具有性质 P,当且仅当数集 B 关于原点对称 注意到﹣1 是集合 X 中唯一的负数,B∩(﹣∞,0)={﹣x2,﹣x3,﹣x4,…,﹣xn},共有 n﹣1 个数. 所以 B∩(0,+∞)也有 n﹣1 个数. 由于 < < <…< ,已经有 n﹣1 个数

对以下三角形数阵:





<…<





< …

<…<

注意到





>…>

,所以

=

=…=

从而数列的通项公式是 xk=x1?(



k﹣1

=q

k﹣1

,k=1,2,3,…,n.

点评: 本题以向量的数量积的坐标运算为载体,着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向 量的综合等知识点,属于难题.本题是一道综合题,请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论 的方法和反证法的运用.
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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;qiss;石玉台;xintrl;邢新丽;minqi5;俞文刚;吕静;wfy814(排名 不分先后)
菁优网 2014 年 4 月 15 日

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