当前位置:首页 >> 数学 >> 2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分54 抛物线

2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分54 抛物线

开卷速查(五十四)

抛物线

A 级 基础巩固练 1.已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物 线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( A.2∶ 5 C.1∶ 5 B.1∶2 D.1∶3 )

解析:射线 FA 的方程为 x+2y-2=0(x≥0). 1 如图所示,知 tanα=2, 5 ∴sinα= 5 . 过 M 点作准线的垂线,交准线于点 G, 由抛物线的定义知|MF|=|MG|, |FM| |MG| 5 1 ∴|MN|=|MN| =sinα= 5 = .故选 C. 5 答案:C 2.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一 点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 )

B.2 2 D.4

解析:利用|PF|=xP+ 2=4 2,可得 xP=3 2,

1 ∴yP=± 2 6.∴S△POF=2|OF|· |yP|=2 3. 故选 C 项. 答案:C 3.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF| =5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x )

B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

p 解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+2 p =5,则 x0=5-2.
?p ? 又点 F 的坐标为 ?2,0? ,所以以 MF 为直径的圆的方程为 (x- ? ?

p? ? ?x- ?+(y-y0)y=0. x0)· 2
? ?

将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0, y2 0 即 2 -4y0+8=0,所以 y0=4. p? ? 由 y2 0=2px0,得 16=2p?5-2?,
? ?

解之得 p=2,或 p=8. 所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C. 答案:C 4.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方 程是( )

A. y=12x2 B. y=12x2 或 y=-36x2 C. y=-36x2

1 1 D. y=12x2 或 y=-36x2 1 1 解析:将 y=ax2 化为 x2=ay,当 a>0 时,准线 y=-4a,由已知得 1 1 1 1 3+4a=6,∴a=12,∴a=12.当 a<0 时,准线 y=-4a,由已知得|3 1 1 1 x2 1 +4a|=6, ∴a=-36或 a=12(舍). ∴抛物线方程为 y=12或 y=-36x2, 故选 D. 答案:D 5.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴 交于点 A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A.y2=± 4x C.y2=4x
?

)

B.y2=± 8x D.y2=8x
?

?a ? 解析:由抛物线方程知焦点 F?4,0?,

a? a? ? ? ∴直线 l 为 y=2?x-4?,与 y 轴交点 A?0,-2?.
? ? ? ?

1 ∴S△OAF=2· |OA|· |OF| 1 a a a2 =2· |-2|· |4|=16=4.

∴a=± 8. ∴抛物线方程为 y2=± 8x,故选 B. 答案:B 6.已知直线 y=k(x-m)与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A、B 两点, 且 OA⊥OB,OD⊥AB 于 D.若动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0, 则 m=( A.1 C.3 ) B.2 D.4 则

?b=-1, k 解析:设点 D(a,b),则由 OD⊥AB 于 D,得?a ?b=k?a-m?,

km b=- ,a=-bk;又动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0,即 1+k2 a2+b2-4a=0,将 a=-bk 代入上式,得 b2k2+b2+4bk=0,即 bk2+b k3 m km 2 +4k=0,- 2- 2+4k=0,又 k≠0,则(1+k )(4-m)=0,因 1+k 1+k 此 m=4,故选 D. 答案:D 7.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相 切,则此动圆必过定点__________. 解析:因为动圆的圆心在抛物线 y2=4x 上,且 x=-1 是抛物线 y2 =4x 的准线,所以由抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0). 答案:(1,0) 8.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交 y 轴于点 A,抛物线上有一 → = OA → + OF → (O 为 坐 标 原 点 ) , 则 △ BOF 的 面 积 是 点 B 满 足 OB __________.

解析: 由题可知 F(1,0), 可设过焦点 F 的直线方程为 y=k(x-1)(可 知 k 存在),则 A(0,-k), ∴B(1,-k),由点 B 在抛物线上,得 k2=4,k=± 2,即 B(1,± 2), 1 1 S△BOF=2· |OF|· |yB|=2×1×2=1. 答案:1 9.已知直线 y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=8x 相交于 A,B 两点, F 为抛物线的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为__________. 解析:直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),由
2 ? ?y =8x, ? 可得 ky2-8y-16k=0, 因为|FA|=2|FB|, 所以 yA=-2yB, ? ?y=k?x-2?,

8 8 2 则 yA+yB=-2yB+yB=k,所以 yB=-k ,yA· yB=-16,所以-2yB =- 16,即 yB=± 2 2,又 k>0,故 k=2 2. 答案:2 2 10.已知抛物线 E:x2=2py(p>0),直线 y=kx+2 与 E 交于 A、B →· → =2,其中 O 为原点. 两点,且OA OB (1)求抛物线 E 的方程; (2)点 C 坐标为(0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证
2 2 明:k1 +k2 -2k2 为定值.

解析:(1)将 y=kx+2 代入 x2=2py,得 x2-2pkx-4p=0. 其中 Δ=4p2k2+16p>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p.
2 x1 x2 2 → → OA· OB=x1x2+y1y2=x1x2+2p· 2p=-4p+4.

1 由已知,-4p+4=2,p=2. 所以抛物线 E 的方程 x2=y. (2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.
2 y1+2 x1 +2 x 2 1-x1x2 k1= x = x = x =x1-x2, 1 1 1

同理 k2=x2-x1,
2 2 2 2 所以 k2 1+k2-2k =2(x1-x2) -2(x1+x2)

=-8x1x2=16. B级 能力提升练

11.已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3 =0 和 y 轴的距离之和的最小值是( A. 3 C.2 ) B. 5 D. 5-1

解析:由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离 为 d,由抛物线的定义可知,点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF|-1.易知 d+|PF|的最小 值为点 F 到直线 l 的距离,故 d+|PF|的最小值为 以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. 答案:D x2 y2 12.已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 7 - 9 =1 的右焦点重
2

|2+3| = 5,所 2 +?-1?2
2

合, 抛物线的准线与 x 轴的交点为 K, 点 A 在抛物线上, 且|AK|= 2|AF|, 则△AFK 的面积为( A.4 C.16 ) B.8 D.32

解析:由题可知抛物线焦点坐标为 F(4,0).过点 A 作直线 AA′垂 直于抛物线的准线,垂足为 A′,根据抛物线定义知,|AA′|=|AF|, 在△AA′K 中,|AK|= 2|AA′|,故∠KAA′=45° ,所以直线 AK 的倾 斜角为 45° ,直线 AK 的方程为 y=x+4,代入抛物线方程 y2=16x 得 y2=16(y-4),即 y2-16y+64=0,解得 y=8.所以△AFK 为直角三角 1 形,故△AFK 的面积为2×8×8=32. 答案:D

13.如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解析:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0).∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2 =4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 kPA= (x1≠1),kPB= y2-2 (x ≠1), x2-1 2 y1-2 x1-1

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
2 y1 =4x1,① 2 y2 =4x2,②

y1-2 y2-2 ∴1 =-1 ,∴y1+2=-(y2+2). 2 2 4y1-1 4y2-1 ∴y1+y2=-4.
2 2 由①-②得,y1 -y2 =4(x1-x2),

∴kAB=

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2

14.[2014· 安徽]如图,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2: y2=2p2x(p2>0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1,E2 分别交于 B1,B2 两点.

(1)证明:A1B1∥A2B2; (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点.记△ S1 A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求S 的值.
2

解析:(1)设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),

? ?y=k1x, ?2p1 2p1? 则由? 2 得 A1? k2 , k ?, ? 1 1 ? ?y =2p1x, ? ?y=k1x, ? ?2p2 2p2? 由? 2 得 A2? k2 , k ?. ? 1 1 ? ?y =2p2x, ? ?2p1 2p1? ?2p2 2p2? 同理可得 B1? k2 , k ?,B2? k2 , k ?. ?
2 2

?

?

2

2

?

?2p1 2p1 2p1 2p1? 所以A→ 1B1=? k2 - k2 , k - k ? ?
2 1 2 1

?

?1 1 1 1? =2p1?k2-k2,k -k ?, ?
2 1 2 1?

?2p2 2p2 2p2 2p2? A→ 2B2=? k2 - k2 , k - k ? ?
2 1 2 1

?

?1 1 1 1? =2p2?k2-k2,k -k ?. ?
2 1 2 1?

p1 → 故A→ 1B1= A2B2,所以 A1B1∥A2B2. p
2

(2)由(1)知 A1B1∥A2B2,同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
? ? S1 ?|A→ 1B1|?2 因此S =? ?. → 2 | A B | ? 2 2?

p1 → |A→ p1 1B1| → 又由(1)中的A1B1=p A2B2知 =p . 2 2 |A→ 2B2| S1 p2 1 故S =p2. 2 2


友情链接:学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库
| 夏兰阅读之家 | 湛芳阅读吧 | 芸芸聚合阅读网 | 小雨中文吧 | 采莲中文阅读平台 | 晏然中文看书网 | 浩慨阅读小屋网 | 碧菡阅读平台 | 采南中文网 | 星星小说阅读网 | 子怀平台 | 霞姝中文阅读之家 | 妞妞阅读吧 | 密思阅读家 | 希月阅读吧 | 海女中文阅读吧 | 俊迈中文阅读网 | 婉秀中文网 | 湘君看书网 | 隽雅阅读网 | 希彤阅读之家 | 阳煦阅读吧323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 644
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:3088529994@qq.com