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数学必修4知识点整理[1]


江苏省刘国钧中学数学组

朱乔根

高中数学苏教版必修 4 三角函数知识点总结
一、角的概念和弧度制: 角的概念和弧度制:
(1)在直角坐标系内讨论角: 角的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的 角。若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。 (2)①与 α 角终边相同的角的集合: {β | β = 360 k + α , k ∈ Z }或{β | β = 2kπ + α , k ∈ Z }
0

与 α 角终边在同一条直线上的角的集合: 与 α 角终边关于 x 轴对称的角的集合: 与 α 角终边关于 y 轴对称的角的集合: 与 α 角终边关于 y = x 轴对称的角的集合: ②一些特殊角集合的表示: 终边在坐标轴上角的集合: 终边在一、三象限的平分线上角的集合: 终边在二、四象限的平分线上角的集合: 终边在四个象限的平分线上角的集合: (3)区间角的表示: ①象限角:第一象限角: 第一、三象限角: ②写出图中所表示的区间角: y y ;

; ; ; ;

; ; ; ;第三象限角: ; ;

O

x

O

x

(4)正确理解角: )正确理解角: 要正确理解“ 0 ~ 90 间的角”= “第一象限的角”= “小于 90 的角”= (5)由 α 的终边所在的象限,通过 来判断
o o o

; ; “锐角”= ; 来判断 ;

α
2

所在的象限。

α
3

所在的象限

2010-12-31

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(6)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零;任一 已知角 α 的弧度数的绝对值 | α |=

l , 其中 l 为以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长, r
; ;

r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。
(7)弧长公式: )弧长公式: 扇形面积公式: 扇形面积公式: ;半径公式: 半径公式:

二、任意角的三角函数: 任意角的三角函数:
(1)任意角的三角函数定义: 以角 α 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 α 的终边上任取一个 异于原点的点 P ( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r ,则 sin α = ; cos α = ; 。注意 r>0 注意 ;

tan α =

; cot α =

; sec α =

; csc α =

如:角 α 的终边上一点 ( a,? 3a ) ,则 cos α + 2 sin α = (2)在图中画出角 α 的正弦线、余弦线、正切线; y y a O y a O

y x O

O

a

x

x

a

比较 x ∈ (0,

π
2

) , sin x , tan x , x 的大小关系: 的大小关系:



(3)特殊角的三角函数值:

α
sin α cos α

0

π
6

π
4

π
3

π
2

π

3π 2

tan α cot α

三、同角三角函数的关系与诱导公式: 同角三角函数的关系与诱导公式:
2010-12-31

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(1)同角三角函数的关系
倒数关系 平方关系 sin
2

商数关系

tan α ·cot α =1
2

α + cos α =1,

1+tan

2

1 α= cos 2 α

, 1+cot

2

1 α= 2 sin α

sin α cos α

=tan α

作用:已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 作用:已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 (2)诱导公式:

2kπ + α ? α : π +α ?α : ?α ? α : π ?α ? α : 2π ? α ? α : π ?α ? α :

, , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

; ; ; ; ; ; ; ; ;

π

2

+α ? α : 2 3π ?α ? α : 2 3π +α ? α : 2
2K π ± α ,- α ,

诱导公式可用概括为:

π
2

±α ,π ±α ,

3π 2

± α 的三角函数

奇变偶不变,符号看象限

α 的三角函数

作用: 去负——脱周——化锐” ——脱周——化锐 作用:“去负——脱周——化锐”,是对三角函数式进行角变换的基本

思路. 思路.即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数 ——去负; ——去负;利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间 去负 内的三角函数——脱周; ——脱周 [0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周;利用诱导公式将上述三角 函数化为锐角三角函数——化锐. 函数化为锐角三角函数——化锐. ——化锐

(3)同角三角函数的关系与诱导公式的运用:
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①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 注意:用平方关系,有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以 讨论。 ②求任意角的三角函数值。 步骤: 任意负角的 三角函数 公式三、一 任意正教的 三角函数 公式一 0o~360o 角的 三角函数 公式二、 四、五、 六、七、 八、九

求值

0o~90o 角的 三角函数

③已知三角函数值求角:注意:所得的解不是唯一的,而是有无数多个. 步骤: ①确定角 α 所在的象限; ②如函数值为正,先求出对应的锐角 α 1 ;如函数值为负,先求出与其绝对值对 应的锐角 α 1 ; ③根据角 α 所在的象限,得出 0 ~ 2π 间的角——如果适合已知条件的角在第二限; 则它是 π ? α 1 ;如果在第三或第四象限,则它是 π + α 1 或 2π ? α 1 ; ④如果要求适合条件的所有角,再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有 角的集合。 如 tan α = m , 则 sin α = , cos α = ; sin(

15π cot( ? α ) = _________。 2

3π ?α) = 2



注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度: (3 ; 6 ; ; 注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度: 3,4,5)(6,8,10)(5,12,13) ( ( 10)(5 12,13) 15,17) (8,15,17) ;

四、三角函数图像和性质 三角函数图像和性质
1.周期函数定义 定义 对于函数 f ( x ) ,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个

值时, f ( x + T ) = f ( x ) 都成立,那么就把函数 f ( x ) 叫做周期函数 周期函数,不为零的常数 T 周期函数 叫做这个函数的周期 周期. 周期 请你判断下列函数的周期 请你判断下列函数的周期

y = sin x

y = cos x

y =| cos x |

y = cos | x |

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y =| sin x |

y=tan x

y=tan |x|

y=|tan x|

y = sin | x |

例 求函数 f(x)=3sin ( 于1

k π x + ) ( k ≠ 0) 的周期。并求最小的正整数 k,使他的周期不大 5 3

注意 理解函数周期这个概念,要注意不是所有的周期函数都有最小正周期,如常函数 f(x)=c(c 为常数)是周期函数,其周期是异于零的实数,但没有最小正周期.

结论: 那么函数 f(x)的周 结论:如函数 f ( x + k ) = f ( x ? k ) 对于 任意的x ∈ R ,那么 期 T=2k; 如函数 f ( x + k ) = f (k ? x) 对于 任意的x ∈ R ,那么 那么函数 f(x) 的对称轴是 x =
2.图像

( x + k ) + (k ? x) =k 2

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3。图像的平移
对函数 y=Asin(ωx+?)+k (A>0, ω>0, ?≠0, k≠0),其图象的基本变换有: . . . . . .. .. . .. . . .. (1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由 A 的变化引起的.A>1,伸长;A<1,缩短. (2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的.ω>1,缩短;ω<1,伸长. (3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变化引起的.?>0,左移;?<0,右移. 的变化引起的. 上移; 0,下移 (4)上下平移(纵向平移变换): (4)上下平移(纵向平移变换): 是由 k 的变化引起的.k>0, 上移;k<0,下移 上下平移

四、三角函数公式: 三角函数公式:
两角和与差的三角函数关系 sin( α cos( α 2010-12-31 倍角公式 cos2 α =cos2 α -sin2 α sin2 α =2sin α ·cos α

± β )=sin α ·cos β ± cos α ·sin β ± β )=cos α ·cos β ? sin α ·sin β

=2cos2 α -1=1-2sin2 α

tan α ± tan β tan(α ± β ) = 1 ? tan α ? tan β

tan 2α =

2 tan α 1 ? tan 2 α

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积化和差公式

1 [sin( α + β )+sin( α - β )] 2 1 cos α ·sin β = [sin( α + β )-sin( α - β )] 2 1 cos α ·cos β = [cos( α + β )+cos( α - β )] 2 1 sin α ·sin β = - [cos( α + β )-cos( α - β )] 2
sin α ·cos β =

半角公式

sin

α
2



1 ? cos α 2 1 ? cos α 1 + cos α

, cos

α
2



1 + cos α 2

tan

α
2



=

1 ? cos α sin α = sin α 1 + cos α

升幂公式 和差化积公式 sin α +sin β =

tan α - cot α = -2cot2 α 1+cos α = 2 cos 1-cos α = 2 sin 1±sin α =( sin
2 2

2 2 α+β α?β sin α -sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α?β cos α +cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α?β cos α -cos β = - 2 sin sin 2 2 1 2 = tan α + cot α = sin α ? cos α sin 2α

2 sin

α+β

cos

α?β

1+cos α = 2 cos 1-cos α = 2 sin 1±sin α =( sin

2

α
2

2 α

α
2

2 ± cos

α
2

)

2

1=sin2 α + cos2 α sin α = 2 sin 降幂公式 sin2 α

α
2

cos

α
2

α
2

α

sin2 α + cos2 α =1

1 ? cos 2α 2 1 + cos 2α cos2 α = 2 =
sin α ·cos α =

α
2

2 ± cos

α
2

)

2

1 sin 2α 2

三倍角公式: 三倍角公式: sin 3θ = 3 sin θ ? 4 sin θ ; cos 3θ = 4 cos θ ? 3 cos θ ;
3 3

五、三角恒等变换: 三角恒等变换:
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵 活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角 )角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角, 之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异, 之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使 问题获解,对角的变形如: 问题获解,对角的变形如:

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的二倍; 的二倍; ① 2α 是 α 的二倍; 4α 是 2α 的二倍; α 是 倍;

α
2

的二倍; 的二倍;

α
2



α
4

的二倍; 的二倍; 3α 是

α
3



α
6

的二倍; 的二倍;

π
2

± 2α 是
o

π
4

3α 的二 2

± α 的二倍。 的二倍。
; cos

② 15 = 45 ? 30 = 60 ? 45 =
o o o o

30 o π = ;问: sin 2 12
?(

π
12

=



③ α = (α + β ) ? β ;④

π
4

+α =

π
2

π
4

?α) ;

⑤ 2α = (α + β ) + (α ? β ) = (

π
4

+α) ? (

π
4

? α ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是 )函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。 基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。 基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常 )常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值, 数“1”的代换变形有: ”的代换变形有:

1 = sin 2 α + cos 2 α = sec 2 α ? tan 2 α = tan α cot α = sin 90 o = tan 45 o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的 )幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式, 方法。常用降幂公式有: 降幂并非绝对, 方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要 升 幂 , 如 对 无 理 式

1 + cos α 常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式

有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 )公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 + tan α 1 ? tan α = _______________ ; = ______________ ; 1 ? tan α 1 + tan α tan α + tan β = ____________ ; 1 ? tan α tan β = ___________ ; tan α ? tan β = ____________ ; 1 + tan α tan β = ___________ ; 2 tan α =
; 1 ? tan
2

α=




tan 20 o + tan 40 o + 3 tan 20 o tan 40 o = sin α + cos α =
a sin α + b cos α =
(其中 tan ? = = =

; ; ) ;

1 + cos α =

; 1 ? cos α =



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四方面入手; (6)三角函数式的化简运算通常从: 角、名、形、幂”四方面入手; )三角函数式的化简运算通常从: “ 基本规则是:切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次, 基本规则是:切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有 理,和积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化。 和积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50 (1 + 3 tan 10 ) =
o o

; tan α ? cot α = ; ;推广: ;推广:



2π 4π cos = 9 9 9 π 3π 5π cos + cos + cos = 7 7 7 2π 4π 6π cos + cos + cos = 7 7 7 cos cos

π

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