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2012-2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案


2012-2013 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A 卷)答案

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某些标准正态分布的数值

京 交

0.675 0.75 1.16

通 大

1.74 0.9591



1.96 2.33 0.99 2.58 0.995

2012~2013 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)

x
?? x ?

0.34 0.6631

0.53 0.7019

0.877

0.975

其中 ?? x ? 是标准正态分布的分布函数. 一. (本题满分 5 分) 口袋中有 10 个球,分别标有号码 1 到 10,从中任意取出 4 个球.求最小号码是 5 的概率. 解:

设 A ? “取出 4 个球,最小号码是 5” .
4 10 个球取出 4 个球,有取法 C10 种.………….2 分 3 若最小号码是 5,有取法 C5 种,因此

P? A? ?

3 C5 10 1 ? ? .………….3 分 4 C10 210 21

二. (本题满分 5 分) 一间宿舍住有 5 位同学,求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率. 解:

设 A ? “5 位同学至少有两位的生日在同一月份” . 5 位同学,每一位在 12 个月份中任意选择,共有 12 5 种可能.………….2 分 考虑 A 的逆事件 A ,它表示 5 位同学中,没有两位的生日是同一月份的. 则
P ? A? ? 1 ? P ? A ? ? 1 ? P5 12 ? 0.6181.………….3 分 125

三. (本题满分 8 分) , 已知男人中 5 % 的是色盲患者,女人中色盲患者占 0.25 % ,今从男女比例为 22 : 21 的人群中随机地 第 1 页 共 9 页

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挑选一人,发现是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解:

设 A ? “任选一人为男性” B ? “任选一人是色盲患者” , . 所求概率为 P?A B ? .由 Bayes 公式,得

P?A B? ?

P? A?P?B A? ? P?A ?P?B A ?

P? A?P?B A?

………….3 分

22 ? 0.05 43 ? ? 0.9 5 4.………….5 分 4 22 21 ? 0.05 ? ? 0.0 0 2 5 43 43
四. (本题满分 8 分) 在一小时内,甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是 0 .9 , 0.8 和 0.85 ,而且这三台机床是否需 要维修是相互独立的.求在一小时内 ⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率; 分) (4 ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率. 分) (4 解:

? ? ? 设 A?? 甲机床需要维修 , B ? ? 乙机床需要维修 , C ? ? 丙机床需要维修 .则


P? 至少有一台机床不需要 ?? P?A ? B ? C ? ? 1 ? P A ? B ? C …….2 分 维修
? 1 ? P? A?P?B?P?C ? ? 1 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.85 ? 0.388 .………….2 分

?

?



P? 至多有一台机床需要维 ?? P?A B C ? AB C ? A BC ? A B C ?………….2 分 修 ? P?A B C ? ? P?AB C ? ? P?A BC ? ? P?A B C ? ? P?A ?P?B ?P?C ? ? P? A?P?B ?P?C ? ? P?A ?P?B?P?C ? ? P?A ?P?B ?P?C ?
? 0.1? 0.2 ? 0.15 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.15 ? 0.1? 0.8 ? 0.15 ? 0.1? 0.2 ? 0.85 ? 0.0 5 9 .…….2 分

五. (本题满分 8 分) 试确定常数 a , b , c , d 的值,使得函数

x ?1 ?a ? F ? x ? ? ?bx ln x ? cx ? d 1 ? x ? e ?d x?e ?
为一连续型随机变量的分布函数. 第 2 页 共 9 页

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解:

因为连续型随机变量的分布函数 F ?x ? 是连续函数, 因此函数 F ?x ? 在分段点 x ? 1 及 x ? e 处 连续,所以有

F ?1 ? 0? ? F ?1 ? 0? ? F ?1? ,即有 a ? c ? d .………….2 分 F ?e ? 0? ? F ?e ? 0? ? F ?e? ,即有 be ? ce ? d ? d .………….2 分
又分布函数 F ?x ? 必须满足: lim F ? x ? ? 0 , lim F ?x ? ? 1 .
x ? ?? x ? ??

因而有
a ? lim F ? x ? ? 0 , d ? lim F ? x ? ? 1 .………….2 分
x ? ?? x ? ??

由此得方程组

?c ? 1 ? 0 ,解此方程组,得 ? ?be ? ce ? 1 ? 1

a ? 0, b ? 1, c ? ?1, d ? 1 .………….2 分
六. (本题满分 8 分) 某地区成年男子的体重 X (以 kg 计)服从正态分布 N

??,

? 2 ?.若已知

P? X ? 70? ? 0.5 , P? X ? 60? ? 0.25 ,
⑴ 求 ? 与 ? 的值; ⑵ 如果在该地区随机抽取 5 名成年男子,求至少有两个人的体重超过 65 kg 的概率. 解:

? X ? ? 70 ? ? ? ? 70 ? ? ? ⑴ 由已知 P? X ? 70? ? P? ? ? ? ?? ? ? 0.5 , ? ? ? ? ? ? ? ? X ? ? 60 ? ? ? ? 60 ? ? ? P? X ? 60? ? P? ? ? ? ?? ? ? 0.25………….2 分 ? ? ? ? ? ? ?

? ? 70 ? ? ? ? ? 70 ? ? ? ??? ? ? ? 0.5 ??? ? ? ? 0.5 ? ? ? ? ? 得? .即 ? ? , 60 ? ? ? 60 ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ??? ? ? ? 1 ? 0.25 ? 0.75 ? ? 0.75 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 70 ? ? ?0 ? 查正态分布表,得 ? ? ,解方程组,得 ? ? 70 , ? ? 14.81 .………….2 分 60 ? ? ?? ? 0.675 ? ?
第 3 页 共 9 页

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⑵ 设 A ? “从该地区任意选取一名成年男子,其体重超过 65 kg ” .则
? X ? 70 65 ? 70 ? ? X ? 70 ? P? X ? 65? ? 1 ? P? X ? 65? ? 1 ? P? ? ? ?0.3 3 7?6 ? ? 1 ? P? 14.81 ? ? 14.81 ? 14.81 ?

? ? ? 1 ? ??? 0.3376 ? ??0.3376 ? 0.6631.………….2 分
设 X :该地区随机抽取的 5 名成年男子中体重超过 65 kg 的人数. 则 X ~ B?5, 0.6631 . ? 设 B ? “5 人中至少有两人的体重超过 65 kg . 则

P?B? ? P? X ? 2? ? 1 ? P? X ? 1? ? 1 ? P? X ? 0? ? P? X ? 1?
0 0 5 1 1 4 1 ? C5 ? 0.6631 ? 0.3369 ? C5 ? 0.6631 ? 0.3369 ? 0.9530.

(已知 ??0.675? ? 0.75, ??0.34? ? 0.6631)………….2 分
七. (本题满分 8 分) 设二维随机变量 ? X , Y ? 的联合密度函数为

f ? x,

?5 2 ? x ?y y? ? ?4 ? 0 ?

?

?

0 ? y ? 1 ? x2 其它

求:随机变量 Y 的边缘密度函数 fY ? y ? . 解:

当 0 ? y ? 1时,
fY ? y ? ?
??

??

? f ?x,

5 2 5 y ?dx ? ? x ? y dx ? 4 2 ? 1? y
x ? 1? y

1? y

?

?

1? y

? ?x
0

2

? y dx ………….3 分

?

5 ?1 ? ? ? ? x3 ? xy ? 2 ?3 ?0

?

3 1 5 ?1 ? 5 1 ? y ?1 ? 2 y ? ? ? ?1 ? y ?2 ? y ?1 ? y ?2 ? ? .…….3 分 2 ?3 6 ?

所以,随机变量 Y 的边缘密度函数为
? 5 1 ? y ?1 ? 2 y ? ? 0 ? y ? 1 .………….2 分 fY ? y ? ? ? 6 ? 0 其它 ?
八. (本题满分 10 分) 第 4 页 共 9 页

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设 X1 ,

X 2 , ?, X n 是 n 个独立同分布的随机变量, X 1 服从参数为 ? 的指数分布.令 T ? min?X1, X 2 , ?, X n ?,

求随机变量 T 的密度函数. 解:

对于任意的实数 x ,随机变量 T 的分布函数为

FT ?x? ? P?T ? x? ? P?m i ?X1, X 2 , ?, X n ? ? x? n ? 1 ? P?m i ?X1, X 2 , ?, X n ? ? x? n ? 1 ? P? X1 ? x, X 2 ? x, ?, X n ? x? ? 1 ? P? X1 ? x?P? X 2 ? x??P? X n ? x?
n ? 1 ? ?1 ? P? X1 ? x???1 ? P?X 2 ? x????1 ? P?X n ? x?? ? 1 ? ?1 ? FX ?x?? .………….3 分

…………………….2 分

所以,随机变量 T 的密度函数为
n ?1 fT ?x? ? FT? ?x? ? n?1 ? FX ?x?? f X ?x?.

………….2 分

如果 X 1 服从参数为 ? 的指数分布,则 X 1 的密度函数为

??e? ?x f X ?x ? ? ? ?0
分布函数为

x?0 . x?0

FX ?x ? ?
因此此时 T ? min?X1,

?1 ? e? ?x f X ?t ?dt ? ? ? ?0 ??
x

x?0 .………….1 分 x?0

X 2 , ?, X n ?的密度函数为
n ?1

fT ?x ? ? n?1 ? FX ?x ??
九. (本题满分 8 分) 设随机向量 ? X1,

f X ?x ? ? n ? e??x

? ?

n ?1

? ?e??x ? n?e? n?x , ?x ? 0? .………….2 分

X2,

X 3 ? 间的相关系数分别为 ?12 , ?23 , ?31 ,且,

E? X1 ? ? E? X 2 ? ? E? X 3 ? ? 0 , D? X1 ? ? D? X 2 ? ? D? X 3 ? ? ? 2 ? 0 .
令: Y1 ? X1 ? X 2 , Y2 ? X 2 ? X 3 , Y3 ? X 3 ? X1 .证明: Y1, Y2 , Y3 两两不相关的充要条件为

?12 ? ?23 ? ?31 ? ?1 .
第 5 页 共 9 页

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证明:

充分性:如果 ?12 ? ?23 ? ?31 ? ?1 ,则有 ?12 ? ?23 ? ?31 ? 1 ? 0 .而

c o ?Y1, Y2 ? ? c o ? X1 ? X 2 , X 2 ? X 3 ? v v ? c o ? X1, X 2 ? ? c o ? X1, X 3 ? ? c o ? X 2 , X 2 ? ? c o ? X 2 , X 3 ? v v v v

? ?12 D? X1 ? ? D? X 2 ? ? ?13 D? X1 ? ? D? X 3 ? ? var? X 2 ? ? ?23 D? X 2 ? ? D? X 3 ?
? ?12? 2 ? ?13? 2 ? ? 2 ? ?23? 2 ? ??12 ? ?23 ? ?13 ? 1? ? 2 ? 0 ………….3 分
这说明随机变量 Y1 与 Y2 不相关. 同理可得 关.

c o ?Y2 , Y3 ? ? 0 , cov?Y3 , Y1 ? ? 0 ,这就证明了随机变量 Y1 , Y2 , Y3 两两不相 v

………….1 分 必要性:如果随机变量 Y1 , Y2 , Y3 两两不相关,则有

cov?Y1, Y2 ? ? 0 , cov?Y2 , Y3 ? ? 0 , cov?Y3 , Y1 ? ? 0
而由上面的计算,得

c o ?Y1, Y2 ? ? ??12 ? ?23 ? ?13 ? 1? ? 2 ? 0 , v

………….3 分 ………….1 分

由于 ? 2 ? 0 ,所以 ?12 ? ?23 ? ?13 ? 1,即 ?12 ? ?23 ? ?13 ? ?1 .
十. (本题满分 8 分) 设总体 X 的密度函数为

?x f ?x ? ? ? ?0

若 ?1 ? x ? 1 其它

?X1,

X 2 , ?, X 50 ? 是从 X 中抽取的一个样本, X 与 S 2 分别表示样本均值与样本方差.求 E ?X ? ,

D?X ? , E S 2 .
解:

? ?

因为

E? X ? ?

??

??

? xf ?x?dx ? ? x ? x dx ? 0 ,
?1

1

EX

? ? ? ? x f ?x?dx ? ? x
1 2 2 ?? ?1

??

2

1 ? x dx ? 2? x3dx ? , 2 0
第 6 页 共 9 页

1

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所以, D? X ? ? E ?X 2 ? ? ?E ? X ?? ?
2

1 . 2

所以, E?X ? ? E? X ? ? 0 ,………….2 分

1 D? X ? 2 1 ,………….3 分 D? X ? ? ? ? n 50 100 1 E ?S 2 ? ? D? X ? ? .………….3 分 2
十一. (本题满分 8 分) (一定要强调相互独立!) 设总体 X ~ N ?0, ! 本.求系数 a 、 b 、 c ,使得统计量

4? , ? X1, X 2 , ?, X 9 ? 是取自该总体中的一个样

T ? a? X1 ? X 2 ? ? b? X 3 ? X 4 ? X 5 ? ? c? X 6 ? X 7 ? X8 ? X 9 ?
2 2

2

服从 ? 2 分布,并求出自由度. 解:

因为 ? X1, X 2 , ?, X 9 ? 是取自总体 N ?0, 4? 中的简单随机样本,所以

X i ~ N ?0, 4?, ?i ? 1, 2, ?, 9?
而且 X1, X 2 , ?, X 9 相互独立.所以(Y1,Y2,Y3 也相互独立)

X1 ? X 2 ~ N ?0, 8?, X 3 ? X 4 ? X 5 ~ N ?0, 12? , X 6 ? X 7 ? X 8 ? X 9 ~ N ?0, 16? .…….2 分
所以,
X1 ? X 2 X ? X4 ? X5 X ? X7 ? X8 ? X9 ~ N ?0, 1? , 3 ~ N ?0, 1?, 6 ~ N ?0, 1? .…….2 分 12 16 8

因此,

? X1 ? X 2 ?2 ? ? X 3 ? X 4 ? X 5 ?2 ? ? X 6 ? X 7 ? X 8 ? X 9 ?2 ~ ? 2 ?3? .…….2 分
8 12 16
1 1 1 因此,当 a ? , b ? , c ? 时,统计量 8 12 16

? X1 ? X 2 ?2 ? ? X 3 ? X 4 ? X 5 ?2 ? ? X 6 ? X 7 ? X 8 ? X 9 ?2 ~ ? 2 ?3? , T?
8 12 16

自由度为 3.………….2 分
十二. (本题满分 8 分) 第 7 页 共 9 页

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一家有 5 0 0 间客房的旅馆的每间客房装有一台 2 kW(千瓦)的空调机,该旅馆的开房率为 80 % .求 需要多少电力,才能有 99 % 的可能性保证有足够的电力使用空调机. 解:

设 X :该旅馆开房数目,则 X ~ B?500, 0.8? .………….2 分

a :向该旅馆供应的电力.则若电力足够使用空调机,当且仅当 2 X ? a .因此
a ? ? ? a ? ? 5 0 ? 0.8 ? 0 ? 5 0 ? 0.8 ? 0 ? X ? 5 0 ? 0.8 ? a? 0 ? ? ? ?? 2 ?. P?2 X ? a ? ? P? X ? ? ? P? ? 2 2? 0 5 0 ? 0.8 ? 0.2 ? 0 0 ? 5 0 ? 0.8 ? 0.2 ? 5 0 ? 0.8 ? 0.2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? 500? 0.8 ? ? ? ? 0.99 ,………….3 分 由题设, ?? 2 ? 500? 0.8 ? 0.2 ? ? ? ? ?
a ? 500 ? 0.8 2 ? 2.33 ,………….1 分 500 ? 0.8 ? 0.2

查表,得

所以有 a ? 2 ? 500? 0.8 ? 2.33? 500? 0.8 ? 0.2 ? 841.68. 即至少向该旅馆供电 842 千瓦,才能保证该旅馆的空调机正常使用.………….2 分
十三. (本题满分 8 分) 设总体 X 的密度函数为

?

?

?? c ? x ??? ?1? f ?x ? ? ? ?0
其中 c ? 0 是已知常数,而 ? ? 1 是未知参数. ? X1, 求参数 ? 的最大似然估计量. 解:

x?c . x?c

X 2 , ?, X n ? 是从该总体中抽取的一个样本,试

似然函数为
L?? ? ? ? f ?xi ? ? ?? c? xi??? ?1? ? ? n c n? ?x1 x2 ? xn ?
i ?1 i ?1 n n ??? ?1?

………….2 分

所以, ln L?? ? ? n ln ? ? n? ln c ? ?? ? 1?? ln xi .
i ?1

n

第 8 页 共 9 页

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所以,

n d n ln L?? ? ? ? n ln c ? ? ln xi .………….2 分 d? ? i ?1

令:

n d n ln L?? ? ? 0 ,即 ? n ln c ? ? ln xi ? 0 ,………….2 分 d? ? i ?1

得到似然函数的唯一驻点 ? ?

n

? ln x ? n ln c
i ?1 i

n



? 所以参数 ? 的最大似然估计量为 ? ?

n

? ln X
i ?1

n

.………….2 分
? n ln c

i

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