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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分43 直线、平面平行的判定及其性质


开卷速查(四十三)

直线、平面平行的判定及其性 质

A 级 基础巩固练 1.已知直线 a 和平面 α,那么 a∥α 的一个充分条件是( A.存在一条直线 b,a∥b 且 b?α B.存在一条直线 b,a⊥b 且 b⊥α C.存在一个平面 β,a?β 且 α∥β D.存在一个平面 β,a∥β 且 α∥β 解析:在 A,B,D 中,均有可能 a?α,错误;在 C 中,两平面平 行,则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面,故 C 正确. 答案:C 2.若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面,则 下列命题中正确的是( ) )

A.若 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线 B.若 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线 C.已知 α,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β D.若 m,n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行 解析:A 中,m,n 可为相交直线;B 正确;C 中,n 可以平行 β, 也可以在 β 内;D 中,m,n 也可能异面. 答案:B 3.设 a,b 表示直线,α,β,γ 表示不同的平面,则下列命题中正 确的是( )

A.若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α B.若 γ⊥α 且 γ⊥β,则 α∥β C.若 a∥α 且 a∥β,则 α∥β

D.若 γ∥α 且 γ∥β,则 α∥β 解析:对于 A 选项,若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α 或 b?α,故 A 选项 不正确;对于 B 选项,若 γ⊥α 且 γ⊥β,则 α∥β 或 α 与 β 相交,故 B 选项不正确;对于 C 选项,若 a∥α 且 a∥β,则 α∥β 或 α 与 β 相交, 故 C 选项不正确.排除 A、B、C 三选项,故选 D. 答案:D 4.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N, P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( )







④ A.①② B.①④ C.②③ D.③④

解析: 由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. 答案:A 5.设 x、y、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、 y、z 均为直线;②x、y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x、y 是平面; ④x、 y、 z 均为平面, 其中使“x⊥z 且 y⊥z?x∥y”为真命题的是( A.③④ C.②③ B.①③ D.①② )

解析:根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知 ②、③正确. 答案:C 6.已知 m、n 为直线,α、β 为平面,给出下列命题: ①
? ? n∥α ; ② m⊥n ? ? ? m⊥α? ? m⊥β? ? ? m∥n ; ③ n⊥β ? ? ? m⊥α? ? ? α∥β ;

m⊥β? ?

m?α? ④

n?β ??m∥n.其中正确命题的序号是(

?

? α∥β ?

)

A.③④ C.①②

B.②③ D.①②③④

解析:①不正确,n 可能在 α 内.

②正确,垂直于同一平面的两直线平行. ③正确,垂直于同一直线的两平面平行. ④不正确,m、n 可能为异面直线.故选 B.

答案:B 7.在四面体 ABCD 中,M、N 分别是面△ACD、△BCD 的重心, 则四面体的四个面中与 MN 平行的是________. 解析:如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,

EM 由重心性质可知, E、 F 重合为一点, 且该点为 CD 的中点 E, 由MA EN 1 =NB=2,得 MN∥AB,因此,MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD. 答案:平面 ABC、平面 ABD

8.如图所示,ABCDA1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别 是下底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP a =3, 过 P、 M、 N 的平面交上底面于 PQ, Q 在 CD 上, 则 PQ=__________. 解析:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, ∴MN∥PQ. a ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP=3, a 2a 2 2 ∴CQ=3,从而 DP=DQ= 3 ,∴PQ= 3 a. 2 2 答案: 3 a

9.如图所示,在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、G、H 分 别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边 形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件__________时,有 MN∥平面

B1BDD1. 解析:由题意,得 HN∥面 B1BDD1,FH∥面 B1BDD1. ∵HN∩FH=H,∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥面 B1BDD1. 答案:M∈线段 HF

10.如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所 在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 FABCD 的体积. 解析:(1)证明:方法一:∵EF∥AD,AD∥BC, ∴EF∥BC. 又 EF=AD=BC,∴四边形 EFBC 是平行四边形. ∴H 为 FC 的中点. 又∵G 是 FD 的中点,∴HG∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE.

方法二:连接 EA,∵ADEF 是正方形,∴G 是 AE 的中点. ∴在△EAB 中,GH∥AB. 又∵AB∥CD,∴GH∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. (2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD, 且 FA⊥AD,∴FA⊥平面 ABCD. ∵AD=BC=6,∴FA=AD=6. 又∵CD=2,DB=4 2,CD2+DB2=BC2, ∴BD⊥CD. ∵S?ABCD=CD· BD=8 2, 1 1 ∴VFFA = ABCD= S?ABCD· 3 3×8 2×6 =16 2. B 级 能力提升练 11.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点, 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( )

A.不存在 B.有 1 条 C.有 2 条

D.有无数条 解析:由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1,由平面 的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有无数条,且它们都不在平面 D1EF 内,由线面平行的判定 定理知它们都与平面 D1EF 平行. 答案:D 12.在空间内,设 l,m,n 是三条不同的直线,α,β,γ 是三个不 同的平面,则下列命题中为假命题的是( A.α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ B.l∥α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m C.α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥m,则 l∥n D.α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β 或 α∥β 解析:对于 A,∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它 们的交线垂直于第三个平面,∴该命题是真命题;对于 B,∵如果一条 直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线, ∴该命题 是真命题;对于 C,∵如果三个平面两两相交,有三条交线,那么这 三条交线交于一点或相互平行,∴该命题是真命题;对于 D,当两个 平面同时垂直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行,∴D 不正确. 答案:D )

13.[2015· 德州模拟]如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD

为正三角形,CB=CD,CE⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° , M 为线段 AE 的中点, 求证: DM∥平面 BEC.

解析:(1)如图,取 BD 中点 O,连接 OC,OE,则由 BC=CD, 知 CO⊥BD. 又 CE⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平面 EOC,所以 BD⊥平面 EOC. 所以 BD⊥OE. 又因为 O 是 BD 中点,所以 BE=DE.

(2)如图,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN, 因为 M 是 AE 的中点, 所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC,BE?平面 BEC, 所以 MN∥平面 BEC.

又因为△ABD 为正三角形,所以∠BDN=30° , 又 CB=CD,∠BCD=120° , 因为∠CBD=30° ,所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC?平面 BEC,所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC, 又 DM?平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC.

14.如图,四棱锥 PABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为 矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 APDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M, 使得 PA∥平面 EDM?若存在, 求出 AM 的长;若不存在,请说明理由. 解析:(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AD. 又∵ABCD 是矩形,∴AD⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴AD⊥平面 PCD, ∴AD 是三棱锥 APDE 的高. ∵E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4,
? 1 1 ?1 ∴S△PDE=2S△PDC=2×?2×4×4?=4. ? ?

又 AD=2, 1 1 8 ∴VA-PDE=3AD· S△PDE=3×2×4=3.

(2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,∵E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点,∴EM∥PA. 又∵EM?平面 EDM,PA?平面 EDM, ∴PA∥平面 EDM. 1 ∴AM=2AC= 5. 即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5.


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