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2014届高考数学(文)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第九章解析几何 Word版含答案


2014 届高考数学(文)一轮复习单元测试 第九章解析几何
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、 . (2013 年高考重庆卷(文 4) 设 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 )
2 2









,



PQ











( ) A.6

B. 4

C.3

D.2

2 . (2013 年高考天津卷(文 5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 相切, 且与直 )

线 ( A. ? )
1 2

ax ? y ? 1 ? 0





,



a?

B.1

C.2
2

D.
2

1 2

3 . (2013 年高考广东卷(文 7) 垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的 )

直 ( )

线







A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

4、 【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】椭圆 焦距为 A.4 B.6 C.8 D.10

x2 y 2 ? ? 1的 25 9

5、 【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点,P 到

该抛物线焦点的距离为 4 ,则点 P 的横坐标为 A.2 B. 3 C. 4 D.5

6 . 2013 年 高 考 福 建 卷 ( 文 ) 双 曲 线 ( )

x2 ? y2 ? 1 的 顶 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 等 于

( A.



1 2

B.

2 2

C.1

D. 2

7、 【东北三校 2013 届高三 3 月第一次联考】与椭圆 C : 双曲线的标准方程为( )

y 2 x2 ? ? 1 共焦点且过点 (1, 3) 的 16 12

y2 A. x ? ?1 3
2

y 2 x2 B. y ? 2 x ? 1 C. ? ?1 2 2
2 2

y2 D. ? x2 ? 1 3

8 . (2013 年高考广东卷(文) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ,离心率等于 )

1 , 2


则 ( )

C







x2 y2 A. ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 B. 4 3

x2 y2 C. ? ?1 4 2

x2 y2 D. ? ?1 4 3

9 . (2013 年高考重庆卷(文 10) 设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、 )

所成的角为 600 的直线 A1 B1 和 A2 B2 ,使 A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是 这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( A. ( )

2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

10 、 山 东 省 潍 坊 一 中 2013 届 高 三 12 月 月 考 测 试 数 学 文 】 设 F1 , F2 分 别 是 椭 圆 【

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点,与直线 y = b 相切的 ? F2 交椭圆于点 E,E 恰好是 a 2 b2
直线 EF1 与 ? F2 的切点,则椭圆的离心率为

A.

3 2

B.

3 3

C.

5 3

D.

5 4

2 11. (2013 年高考课标Ⅰ卷 (文 8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y ? 4 2 x 的焦点, P 为 C )







,



| PF |? 4 2

,



?POF













A. 2

B. 2 2

C. 2 3

D. 4

12、 【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1 、 F2 , 若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 C 的离心率等于( ) (A) 或

2 3

3 2

(B) 或2

2 3

(C) 或2

1 2

(D) 或

1 2

3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线 上)
13. 【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点,一个焦点 为 F1 ( ? 5 ,0) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为( 0 , 2 ) ,则此双曲线的 . 14.(2013 年高考江西卷(文 14) 若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 ) C 的方程是_________.
15、 (2013 年高考湖南(文 14) 设 F1,F2 是双曲线 C, )

方程是

,离心率是

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若 a 2 b2

在 C 上存在一点 P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为___________.
16、 (2013 年高考辽宁卷(文 15) 已知 F 为双曲线 C : )

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, P, Q 为 C 上 9 16

的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A ? 5, 0 ? 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为 ____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
17.(本小题满分 10 分) (2013 年高考四川卷(文) ) 已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx与圆 C 交于
2 2

M , N 两点.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且 函数.

2 1 1 .请将 n 表示为 m 的 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

18. (本小题满分 12 分) (2013 年高考广东卷(文) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 )

F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程;

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作 2

(2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

19.(本小题满分 12 分) 【北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其右焦点 F ? 2, 0 ? 的距离为 10 ,过焦点 F 作直线 l ,交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率.

20.(本小题满分 12 分) 【 (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆 )
2 2

N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C .
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最 长是,求 | AB | .

21. (本小题满分 12 分) (2013 年高考福建卷(文) 如图,在抛物线 E : y ? 4 x 的焦点为 F , )
2

准线 l 与 x 轴的交点为 A .点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心 OC 为半径作圆,设圆 C 与

准线 l 的交于不同的两点 M , N . (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (2)若 AF
2

? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

22.(本小题满分 12 分) (上海市虹口区 2013 届高三(二模)数学(文)试卷)已知抛物线

C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 ,
(1)当直线 l 过点 M (? p,

y1 ) 、 B( x2 ,

y2 ) .

0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)记 N ( p,

0) ,如果直线 l 过点 M (? p, 0) ,设线段 AB 的中点为 P ,线段 PN 的中

点为 Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点 Q 到它们的距离相等?若存在,求出这 条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.

祥细答案
一、选择题

1、 【答案】B 【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。圆心为 M (3, ?1) ,半径为 2.圆心到直线 x ? ?3 的

距离为 3 ? (?3) ? 6 ,所以 PQ 的最小值为 6 ? 2 ? 4 ,选 B.
2、 【答案】C 【解析】 设直线斜率为 k , 则直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) , k ? ? ? k ? 0 即x y 2 2

, 圆心 (1, 0)

到直线的距离

k ? 2 ? 2k k 2 ?1

? 5 ,即

2?k k 2 ?1

? 5 ,解得 k ? ?

1 。因为直线与直线 2

ax ? y ? 1 ? 0 垂直,所以 k ? ?
3、 【答案】A

1 1 ? ? , 即 a ? 2 ,选 C. a 2

【解析】 本题考查直线与圆的位置关系, 直接由选项判断很快, 圆心到直线的距离等于 r

? 1,

排除 B、 相切于第一象限排除 D, A.直接法可设所求的直线方程为:y ? ? x ? k ? k ? 0 ? , C; 选 再利用圆心到直线的距离等于 r ? 1 ,求得 k ? 2 .所以选 A. 4、 【答案】C 【解析】由椭圆的方程可知 a ? 25, b ? 9 ,所以 c ? a ? b ? 25 ? 9 ? 16 ,即 c ? 4 ,所
2 2

2

2

2

以焦距为 2c ? 8 ,选 C. 5、 【答案】B 【解析】 抛物线的准线为 x ? ?1 , 根据抛物线的对应可知,P 到该抛物线焦点的距离等于 P 到该准线的距离,即 x ? (?1) ? 4 ,所以 x ? 3 ,即点 P 的横坐标为 3,选 B.
6、 【答案】B 【解析】本题考查的是双曲线的性质.因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,

故可取双曲线的一个顶点为 (1,0) ,取一条渐近线为 y ? x ,所以点 (1,0) 到直线 y ? x 的距

离为 7、C

2 . 2

解析:由题知:焦距为 4,排除 B,又焦点在 y 轴上排除 A,将 (1, 3) 代入 C、D 可得 C 正确, 故选 C 8、 【答案】D
【解析】由椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ,可知 c ? 1 ,又离心率等于

c 1 1 ,所以 e ? ? , 2 a 2

解得 a ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,即椭圆的方程为
9、 【答案】A 【解析】 本题考查双曲线的性质与方程。因为

x2 y2 ? ? 1 ,选 D. 4 3

A1 B1 ? A2 B2 ,所以根据对称性可知,直线

A1 B1 , A2 B2 关于 x 轴对称,因为直线 A1 B1 , A2 B2 所成的角为 60? 。所以直线 A1 B1 的倾斜角
为 30? 或 60? ,即斜率为 tan 30? ?

3 ? 或 tan 60 ? 3 ,要使直线 A1 B1 与双曲线相交,则双 3

曲线渐近线的斜率

3 b 3 b ? 时 , 3b2 ? a 2 , 所 以 3(c 2 ? a 2 )? a 2 , ? ? 3 ,当 3 a 3 a

3c2 ? 4a 2 ,即 e2 ?

4 ,所以 e ? 3

4 2 3 b ? 。当 ? 3 时,有 b ? 3a ,即 b 2 ? 3a 2 , 3 3 a
2 3 ? e ? 2 ,即双曲线离心 3

所以 c2 ? a 2 ? 3a 2 ,即 c 2 ? 4a 2 ,即 c ? 2a, e ? 2 ,所以综上

率的范围时 [

2 3 , 2] ,选 A. 3

10、 【答案】C 【解析】因为直线 y = b 与圆相切,所以圆的半径为 b 。因为 E,E 恰好是直线 EF1 与 ? F2 的 切 点 , 所 以 三 角 形 F1 EF2 为 直 角 三 角 形 , 所 以 EF1 ? 2a ? b 。 所 以 根 据 勾 股 定 理 得

2 (2a ? b)2 ? b2 ? 4c 2 ,即 4a 2 ? 4ab ? 2b 2 ? 4(a 2 ?b 2) ,整理得 6b2 ? 4ab ,所以 b ? a , 3
b2 ?
5 4 2 5 5 ,选 C. a ? a 2 ? c 2 。得到 c 2 ? a 2 ,即 e2 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? 3 9 9 9

11、 【答案】C 【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 F ( 2, 0) , 准 线 方 程 为

x ? ? 2 。 因 为 | PF |? 4 2, 所 以

| PF |? 4 2 ? xP ? 2 ,即 xP ? 3 2 ,所以 yP 2 ? 4 2 ? 3 2 ? 24 ,即 yP ? 24 ? 2 6 。
所以 ?POF 的面积为 12、 【答案】D 【解析】 因为 PF1 :F1 F2 :PF2 =4: 2, 3: 所以设 PF1 ? 4 x ,F1 F2 ? 3 x ,PF2 ? 2 x, x ? 0 。

1 ? 2 ? 2 6 ? 2 3 ,选 C. 2

因为 F1 F2 ? 3 x ? 2c ,所以 x ?

2 c 。若曲线为椭圆,则有 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 x 即 3 c c c 1 ? ? 。若曲线为双曲线圆,则有 a ? 3x , 所 以 离 心 率 e ? ? a 3x 3 ? 2 c 2 3 c c c 3 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 x 即 a ? x ,所以离心率 e ? ? ? ? ,所以选 D. a x 2c 2 3

二、填空题 13、 【答案】 x ?
2

y2 ? 1, 5 4

【解析】由双曲线的焦点可知 c ? 5 ,线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,所以设右焦点为 F2 , 则有 PF2 ? x ,且 PF2 ? 4 ,点 P 在双曲线右支上。所以 PF1 ?
2 2 2

(2 5) 2 ? 4 2 ? 36 ? 6 ,

所 以 PF1 ? PF2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2a , 所 以 a ? 1, b ? c ? a ? 4 , 所 以 双 曲 线 的 方 程 为

y2 c x ? ? 1 ,离心率 e ? ? 5 4 a
2

14、 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? ) ?
2 2

3 2

25 4

【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的方程求法。因为圆 C 经过坐标原点 O 和点 A(4,0) ,所以圆心必在线段 OA 的中垂线上,所以圆心的横坐标为 2,设圆心

坐标为 C (2, b), b ? 0 ,半径为 R , 相切,所以 R ? 1 ? b ,且 b ? 2 ? R ? (1? b) ,解得 b ? ?
2 2 2 2

,因为圆与直线 y=1

3 3 ,所以圆心为 (2, ? ) , 2 2 3 5 3 2 25 2 半径 R ? 1 ? b ? 1 ? (? ) ? ,所以圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 。 2 2 2 4
15、 【答案】

3 ?1

【解析】本题考查双曲线的方程和性质。不妨设点 P 位于双曲线的右支上,因为

?PF1F2 ? 30? ,PF1⊥PF2,所以 PF2 ? c, PF1 ? 3c 。由双曲线的定义可知,
PF1 ? PF2 ? 2a ,即 3c ? c ? 2a ,所以
16、 【答案】44 【解析】 | FP | ? | PA |? 6,| FQ | ? | QA |? 6, 两式相加,所以并利用双曲线的定义得

c 2 ? ? 3 ? 1 ,即 C 的离心率为 3 ? 1 。 a 3 ?1

| FP | ? | FQ |? 28 ,所以周长为 | FP | ? | FQ | ? | PQ |? 44 .
三、解答题 17、解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x ? ( y ? 4) ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*)
2 2

由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3 ) ? ( 3 , ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx2 ) ,则

OM


2

? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x 2 ,又 OQ ? m 2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m 2 ,
2 2

2

2

2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 , ? ? 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? 2 ? 2 ? 1 2 2 m 2 x1 x2 x1 x 2

由(*)知 x1 ? x 2 ?

8k
2

1? k 36 所以 m 2 ? 2 , 5k ? 3

, x1 x 2 ?

12 , 1? k2

因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? 由 m2 ?

36 n ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , m 5k ? 3

36 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3 , 0) ? (0, 3 ) . 5k 2 ? 3
36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 ? , 5 5

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3 , 0) ? (0, 3 ) ) 5

18、解析: (1)依题意 d ?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

?抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y 0 ) , 由x
2

? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 2

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2 x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 2 4
∴ y0 ?

∵ y1 ?

∵点 P( x0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . 2

x x0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y 2 2 2 联立 ? ,消去 x 得 y ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 ? 0 , ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? 2 =2 y0 ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?

2

1 9 ?当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
19、 (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

则 a ? 10 , c ? 2 . 所以

b ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 ,
x2 y 2 ? ? 1. 10 6

所以 椭圆方程为

(Ⅱ)若直线 l ? x 轴,则平行四边形 AOBC 中,点 C 与点 O 关于直线 l 对称,此时 点 C 坐标为 ? 2c,0 ? .因为 2c ? a ,所以点 C 在椭圆外,所以直线 l 与 x 轴 不垂直. 于是,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , …7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 则 ? 10 6 整理得,? 3 ? 5k ? x ? 20k x ? 20k ? 30 ? 0 … 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?

x1 ? x2 ?

20k 2 , 3 ? 5k 2

所以

y1 ? y2 ? ?

12k . 3 ? 5k 2

因为 四边形 AOBC 为平行四边形, 所以 OA ? OB ? OC , 所以 点 C 的坐标为 ?
2

??? ??? ? ?

????

? 20k 2 12k ? ,? ?, 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

? 20k 2 ? ? 12k ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 5k ? ? ? 3 ? 5k ? ? 1 , 解得 k 2 ? 1 ,所以 k ? ?1 . 所以 10 6
20、解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1 ? 1 ;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2 ? 3 . 设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以

PM ? PN ? ( R ? r1 ) ? (r2 ? R) ? r1 ? r2 ? 4 .

有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) (左定点除外),其方程为 4 . 3
对于曲线 C 上任意一点 P( x, y ) ,由于 PM ? PN ? 2R ? 2 ? 2 ,所以 R ? 2,当

(II)

且 仅 当 圆 P 的 圆 心 为 (2,0) 时 ,R=2, 所 以 当 圆 P 的 半 径 最 长 时 , 其 方 程 为

( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ;
若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得 AB ? 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,则 r1 ? R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则

QP QM

?

3k R ? 1, ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 于圆 M 相切得 r1 1? k 2

解得 k=±

2 . 4

当 k=

x2 y2 2 2 时,将 y= x+ 2 代入 ? ? 1 ,并整理得 7 x2 ? 8x ? 8 ? 0 , 4 4 4 3
?4 ? 6 2 18 .所以 AB = 1+k 2 x2 ? x1 ? . 7 7

解得 x1,2 ?

当 k= ?

2 18 时,有图形的对称性可知 AB = . 4 7

综上, AB =2 3或 AB ?
2

18 . 7

21、解:(Ⅰ)抛物线 y ? 4 x 的准线 l 的方程为 x ? ?1 ,

由点 C 的纵坐标为 2 ,得点 C 的坐标为 (1, 2) 所以点 C 到准线 l 的距离 d ? 2 ,又 | CO |? 5 . 所以 | MN |? 2 | CO |2 ?d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2 .
2 y0 y2 y4 2 C 的方程为 ( x ? 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 0 ? y0 , (Ⅱ)设 C ( , y0 ) ,则圆 4 4 16 2 y 即 x 2 ? 0 x ? y 2 ? 2 y0 y ? 0 . 2

由 x ? ?1 ,得 y 2 ? 2 y0 y ? 1 ?

2 y0 ?0 2

设 M (?1, y1 ) , N (?1, y2 ) ,则:

? y2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(1 ? 0 ) ? 2 y0 ? 4 ? 0 ? ? 2 ? 2 ? y y ? y0 ? 1 1 2 ? 2 ?
由 | AF |2 ?| AM | ? | AN | ,得 | y1 y2 |? 4
2 y0 ? 1 ? 4 ,解得 y0 ? ? 6 ,此时 ? ? 0 2 3 3 所以圆心 C 的坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6) 2 2 33 33 33 从而 | CO |2 ? , | CO |? ,即圆 C 的半径为 4 2 2

所以

22 、 解 :(1) l 过 点 M (? p,

0) 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 , 可 知 其 斜 率 一 定 存 在 , 设

? y ? k ( x ? p) 得 l : y ? k ( x ? p) , 其 中 k ? 0 ( 若 k ? 0 时 不 合 题 意 ), 由 ? 2 ? y ? 2 px
k ? y 2 ? 2 py ? 2 p 2 k ? 0 ,? y1 ? y 2 ? 2 p 2
注:本题可设 l : x ? my ? p ,以下同. (2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意). 由?

?y ? kx? b ? y ? 2 px
2

得 ky ? 2 py ? 2 pb ? 0 .
2

? y1 y 2 ?

2 pb k ? ? p ,从而 b ? ? k 2
y0 ) , 则 y 0 ? kx0 ? b , 从 而 y 0 ? kx0 ?

假 设 直 线 l 过 定 点 ( x0 ,

k , 得 2

1 ? 1 1 ? x0 ? ( x0 ? )k ? y 0 ? 0 ,即 ? 2 ,即过定点 ( , 0) 2 2 ? y0 ? 0 ?
当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x0 , 代 入

y 2 ? 2 px 得

y 2 ? 2 px0 , y ? ? 2 px0 , ? y1 y 2 ? 2 px0 ? (? 2 px0 ) ? ?2 px0 ? ? p , 从 而

x0 ?

1 1 1 ,即 l : x ? ,也过 ( , 0) . 2 2 2 1 2 0)
1 p ( y1 ? y 2 ) ? , 2 k

综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,

(3)依题意直线 l 的斜率存在且不为零,由(1)得点 P 的纵坐标为 y P ? 代入 l : y ? k ( x ? p) 得 x P ?

p p ? p ,即 P( 2 ? p, 2 k k

p ) k

设 Q( x,

1 p ? ? x ? 2 ( k 2 ? p ? p) p ? 消 k 得 y2 ? x y) ,则 ? 2 ?y ? 1 ? p ? 2 k ?

由抛物线的定义知存在直线 x ? ?

p p ,点 ( , 0) ,点 Q 到它们的距离相等 8 8


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