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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习提能专训10 等差与等比数列


提能专训(十) 等差与等比数列 一、选择题 1.(2014· 甘肃武威凉州第一次诊断)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=2,S10=6,则 a16+a17+a18+a19+a20=( A.54 答案:D 解析:解法一:由等比数列的性质知,S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15 仍成等比数列, ∴2,4,8,16. a1?1-q5? a1?1-q10? 解法二:∵S5= ,S10= , 1-q 1-q ∴ S10 =1+q5=3,q5=2. S5 B.48 ) C.32 D.16

∴a16+a17+a18+a19+a20=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=23· S5=8×2=16. 2.(2014· 广西四市联考)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn,若 a2a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等 5 差中项为 ,则 S5=( 4 )

A.35 B.33 C.31 D.29 答案:C a a =2a1, a q = 2, ? ? ? 2 3 ? 1 解析:由? 得? 6 1 5 ? ? ?a4+2a7=2, ?a1q =4, 1 1 ∴q3= ,q= . 8 2
3

?1?5? 16? ?1-?2? ? 1 1- ?=31. ∴a1=16.∴S5= =32? ? 32? 1 1- 2
3.(2014· 河南南阳三次联考)等差数列{an}中,如果 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则 数列{an}前 9 项的和为( )

A.297 B.144 C.99 D.66 答案:C
?a1+a4+a7=39, ?a4=13, ? ? 解析:由? 得? ? ? ?a3+a6+a9=27, ?a6=9.

∴a4+a6=22. a1+a9 a4+a6 ∴S9= ×9= ×9=99. 2 2 4.(2014· 河南郑州质检)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a2 7+3a8=0,数列{bn}

是等比数列,且 b7=a7,则 b2b12 等于( A.1 B.2 C.4 D.8 答案:C

)

2 解析:∵a4-2a2 7+3a8=0,∴2a7=a4+3a8=a7-3d+3(a7+d)=4a7,∴a7=2,∴b7=2.

∴b2b12=b2 7=4. 5.(2014· 陕西质检三)已知 a,b,c 是三个不同的实数.若 a,b,c 成等差数列,且 b, a,c 成等比数列,则 a∶b∶c=( )

A.2∶1∶4 B.-2∶1∶4 C.1∶2∶4 D.1∶-2∶4 答案:B 解析:本题主要考查等差、等比数列,考查等差中项和等比中项.
? ?a+c=2b, 依题意有? 2 检验各选项,可知 B 正确. ?a =bc, ?

6.已知等差数列{an}中,a3+a7-a10=0,a11-a4=4,记 Sn=a1+a2+…+an,则 S13= ( ) A.78 B.68 C.56 D.52 答案:D
?a3+a7-a10=0, ? 解析:∵? ∴ ? ?a11-a4=4,

?a =7, ? 4 ?d=7,
1

4

13×12 ∴S13=13a1+ d=52. 2 7.已知等比数列{an}中,a1a2a3a4a5=32,且 a11=8,则 a7 的值为( A.4 B.-4 C.± 4 D.± 2 2 答案:A
2 解析:由等比数列的性质,得 a1a2a3a4a5=a5 a11, 3=32,故 a3=2,又 a11=8,∴a7=a3·

)

解得 a7=4(负值舍去,因为 a3,a5,a7 同号). 8.(2014· 山西四校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S8>0 且 S9<0,则当 Sn 最 大时 n 的值是( )

A.8 B.4 C.5 D.3 答案:B a1+a8 a4+a5 a1+a9 2a5 解析: = >0, = <0,所以 a4>0,a5<0,即数列的前 4 项都是正数, 2 2 2 2 所以选 B. S8 9.(2014· 长春第四次调研)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 =17,则公比 q S4

=(

) 1 A. 2 1 B.± 2 C.2 D.± 2

答案:D 1-q8 解析:根据已知得 =17,即 q8-17q4+16=0,解得 q4=1(舍去)或 q4=16,所以 q4 1-q4 =16,解得 q=± 2. 10.(2014· 洛阳统考)已知数列{an}是等差数列,且 a3+a6=5,数列{bn}是等比数列,且 b5= a2+5a5,则 b2b8=( )

A.1 B.5 C.10 D.15 答案:D 解析:由等差数列的通项公式知:a3+a6=2a1+7d(其中 d 为等差数列{an}的公差),由等 比数列的性质知:b2b8=b2 5=a2+5a5=6a1+21d=3(2a1+7d)=3(a3+a6)=15. 11.(2014· 合肥第一次质量检测)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,并满足:an+2=2an+1- an,a5=4-a3,则 S7=( )

A.7 B.12 C.14 D.21 答案:C 解析:因为 an+2=2an+1-an?an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列,因为 a5=4- ?a1+a7?×7 ?a3+a5?×7 a3,所以 a3+a5=4,所以 S7= = =14,故选 C. 2 2 12.(2014· 安徽六校联考)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈N*), 若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 B.3 C.8 D.11 答案:B 解析:设{bn}的公差为 d, ∵b10-b3=7d=12-(-2)=14, ∴d=2. ∵b3=-2, ∴b1=b3-2d=-2-4=-6. 7×6 ∴b1+b2+…+b7=7b1+ · d 2 =7×(-6)+21×2=0. 又 b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0, ∴a8=3.故选 B. 二、填空题 )

13.(2014· 浙江名校联考)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则{an}的公比为________. 1 答案: 3 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则由 S1,2S2,3S3 成等差数列得,4S2=S1+3S3,∴4(a1 1 +a1q)=a1+3a1+3a1q+3a1q2,解之得,q= (q=0 舍去). 3 15 14.(2014· 河北衡水中学第二次调研)在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10= ,a8· a9 8 9 1 1 1 1 =- ,则 + + + =________. 8 a7 a8 a9 a10 5 答案:- 3 1 1 a7+a10 1 1 a8+a9 解析:∵ + = , + = , a7 a10 a7a10 a8 a9 a8a9 而 a8a9=a7a10, 15 1 1 1 1 a7+a8+a9+a10 8 5 ∴ + + + = = =- . a7 a8 a9 a10 a8a9 9 3 - 8 15.(2014· 上海静安一模)已知数列{an}(n∈N*)的公差为 3,从{an}中取出部分项(不改变 顺序)a1,a4,a10,…组成等比数列,则该等比数列的公比是________. 答案:2 解析:a4=a1+3d=a1+9,a10=a1+9d=a1+27,
2 由 a2 4=a1a10,得(a1+9) =a1(a1+27),

a4 a1+9 18 解得 a1=9.从而得公比 q= = = =2. a1 a1 9 16.(2014· 北京顺义一模)设等差数列{an}满足公差 d∈N*,an∈N*,且数列{an}中任意两 项之和也是该数列的一项.若 a1=35,则 d 的所有可能取值之和为________. 答案:364 解析:设 an,am(m≠n)是等差数列{an}中的任意两项,由已知得,an=35+(n-1)d,am =35+(m-1)d,则 am+an=2×35+(m+n-2)d,设 am+an 是数列{an}中的第 k 项,则有 am 35 +an=35+(k-1)d,即 2×35+(m+n-2)d=35+(k-1)d,d= ,d∈N*,m,n, k+1-?m+n? 1-36 k∈N*, 所以 k+1-(m+n)=35,34,33,32,31,30, 则 d 的所有可能取值为 1,3,32,33,34,35, 其和为 1-3 =364. 三、解答题 17.(2014· 浙江名校联考)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2

+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn-1(n≥2,n∈N*),求数列{bn}的通项公式.
?a3a6=55, ? 解:(1)由题意得:? ?a3+a6=a2+a7=16. ? ?a3=5, ? ∵公差 d>0,∴? ? ?a6=11,

∴d=2,an=2n-1. (2)∵bn=an+bn-1(n≥2,n∈N*), ∴bn-bn-1=2n-1(n≥2,n∈N*). ∵bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1(n≥2,n∈N*),且 b1=a1=1, ∴bn=2n-1+2n-3+…+3+1=n2(n≥2,n∈N*). ∴bn=n2(n∈N*). 18.(2014· 西安八校联考)在各项均为正数的等差数列{an}中,对任意的 n∈N*都有 a1+ 1 a2+…+an= anan+1. 2 (1)求数列{an}的通项 an; (2)设数列{bn}满足 b1=1,bn+1-bn=2an,求证:对任意的 n∈N*都有 bn· bn+2<b2 n+1. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 1 令 n=1,得 a1= a1a2.由 a1>0,得 a2=2. 2 1 令 n=2,得 a1+a2= a2a3, 2 即 a1+2=a1+2d,得 d=1. 从而 a1=a2-d=1.故 an=1+(n-1)· 1=n. (2)因为 an=n,所以 bn+1-bn=2n, 所以 bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =2n 1+2n 2+…+2+1
- -

=2n-1.
2 n n 2 又 bn· bn+2-bn -1)-(2n 1-1)2=-2n<0, +1=(2 -1)(2
+ +

所以 bn· bn+2<b2 n+1. 19.(2014· 武汉武昌调研)在公差不为零的等差数列{an}中,已知 a1=1,且 a1,a2,a5 依 次成等比数列.数列{bn}满足 bn+1=2bn-1,且 b1=3. (1)求{an},{bn}的通项公式;
? 2 ? 1 ?的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 1- 的大小. (2)设数列?a · a b + ? n n 1? n

解:(1)因为 a1=1,且 a1,a2,a5 依次成等比数列, 所以 a2 a5,即(1+d)2=1· (1+4d), 2=a1· 所以 d2-2d=0,解得 d=2(d=0 不合要求,舍去), 所以 an=1+2(n-1)=2n-1. 因为 bn+1=2bn-1, 所以 bn+1-1=2(bn-1), 所以{bn-1}是首项为 b1-1=2,公比为 2 的等比数列. 所以 bn-1=2×2n 1=2n.


所以 bn=2n+1. 2 2 1 1 (2)因为 = = - , an· an+1 ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 1 1 ? 1 1? ?1 1? 1 - - + - +…+? 所以 Sn=? ?1 3? ?3 5? ?2n-1 2n+1?=1-2n+1, 1 2n-2n 1 1 1 1 1- ?=1- 于是 Sn-? - 1 + = - = . n n ? bn? 2n+1 2 +1 2 +1 2n+1 ?2n+1??2n+1? 1 所以,当 n=1,2 时,2n=2n,Sn=1- ; bn 1 当 n≥3 时,2n<2n,Sn<1- . bn


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