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江苏省连云港市2011-2012学年高一数学下学期期末调研考试试题苏教版

连云港市 2011~2012 学年度第二学期期末考试 高一数学试题
说明:本试题共 20 题,考试时间 120 分钟. 参考公式: 1 n 1 n 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ? ? ( xi ? x)2 ,其中 x ? ? xi . n i ?1 n i ?1 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在题中横线上. ..... 1.求值: sin(?600?) ?

? ? 2.已知向量 a ? ( x,?2) , b ? (1,? x) ,其中 x ?R,若 a // b ,则实数 x 的值为
3.已知点 ( 2 ,2) 在幂函数 y ? f (x) 的图象上,则该函数的解析式 f (x) ?



. .

4. 一个工厂有若干车间, 今采用分层抽样方法从全厂某天生产的 1024 件产品中抽取一个容 量为 64 的样本进行质量检查.若某车间这一天生产 128 件产品,则从该车间抽取的产品 件数为 . .

5.已知直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则过点 (?1,3) 且与直线 l 垂直的直线方程为

6.在一次演讲比赛中,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图(如图所示) ,去掉一个最高 分和一个最低分后,所剩数据的方差为 .

Re ad x If x ? 0 Then y ? sin x Else
7 8 9 6 25648 2

y ? cos x End If Pr int y
(第 7 题图) (第 8 题图)

(第 6 题图) 7.若 x ? (? 为

? ?

1 , ) ,为了运行如图所示的伪代码后输出的 y 值为 ? ,则应输入的 x 值 2 2 2


8.如图,在一个半径为 3,圆心角为 该点落在该内切圆内的概率是

? 的扇形内画一个内切圆,若向扇形内任投一点,则 3
. .

??? ? ???? 0 9.在 ?ABC 中,若 | AB |? 2 , | AC |? 3 , ?BAC ? 60 ,则 BA ? BC ?
是 . (填序号)

10.已知两条不同的直线 m, l ,两个不同的平面 ? , ? ,在下列条件中,可以得出 ? ? ? 的 ① m ? l , l // ? , l // ? ; ② m ? l , ? ? ? ? l , m ? ? ; ③ m // l , m ? ? , l ? ? ;④ m // l , l ? ? , m ? ? . 11.过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C : ( x ? 8)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 的两条切线 l1 , l 2 .若 l1 , l 2 关

1

于直线 l 对称,则点 P 到圆心 C 的距离为 12. 将函数 f ( x) ? sin(? x ? 象,若 y ? g ( x) 在 [?
2 2



?
4

)(? ? 0) 的图象向左平移

? ?

? 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图 4?


, ] 上为增函数,则 ? 的最大值是 4 6

13.若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l: ax ? by ? 0 的距离为

2 2 ,则直线 l 的斜率的取值范围为
14. 定理:三角形的外心 O、重心 G、垂心 H 依次在同一条直线

. A

???? 1 ???? (欧拉线)上,且 OG ? OH ,其中外心 O 是三条边的中垂线的 3 交点,重心 G 是三条边的中线的交点,垂心 H 是三条高的交点. 如图,在△ABC 中, AB ? AC , AB ? BC ,M 是边 BC 的 中点,AH⊥BC(N 是垂足) O 是外心,G 是重心,H 是垂心, , ???? ???? B . OM ? 1 ,则根据定理可求得 OG ? HN 的最大值是

O

G H C

M

N

(第 14 题图) 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在试卷相应位置内作答,解答时应写出文字 ...... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 sin ? ? ? , ? ? ( ,

4 5

? 3?
2 2

).

(1)求 tan ? 的值; (2)求 cos(

?

? ) 的值. 2 3

?

16. (本小题满分 14 分) 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的 频率分布直方图(如下图) . 分 组 频率

频率 组距

频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
2

[1000,1500) [1500,2000) [2000,2500) [2500,3000) 0.0005 0.0004

月收入(元)

[3000,3500) [3500,4000] 合 计 (1)根据频率分布直方图完成以上表格; (2)用组中值估计这 10 000 人月收入的平均值; (3)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分 层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在[2000,3500) (元)月收入段应抽出多少 人? 0.0001

17. (本小题满分 14 分) 某种产品有一等品、二等品、次品三个等级,其中一等品和二等品都是正品.现有 6 件 该产品,从中随机抽取 2 件来进行检测. (1)若 6 件产品中有一等品 3 件、二等品 2 件、次品 1 件. ①抽检的 2 件产品全是一等品的概率是多少? ②抽检的 2 件产品中恰有 1 件是二等品的概率是多少? (2)如果抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率不小于 有多少件?

4 ,则 6 件产品中次品最多 5

3

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 距离为

?
2

? ? ? 0 )的相邻对称轴之间的

? 5? ,且该函数图象的一个最高点为 ( ,4) . 2 12
π π 4 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式和单调增区间; (2)若 x ? [ , ] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值.

19. (本小题满分 16 分) 如图,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B(? , ) , ?AOB ? ? ,

??? ? ? | OP |? 1 , ?AOP ? ? , 0 ? ? ? . 2 16 (1)若 cos(? ? ? ) ? ? ,求点 P 的坐标; 65 (2)若四边形 OAQP 为平行四边形且面积为 S ,求 S ? OA ? OQ 的最大值.
y B P Q A

3 4 5 5

?
2

?? ?? ,

O

x

4

20. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x ? y ? 25 ,圆 O1 的圆心为 O1 (m,0) ,且与圆
2 2

O 交于点 P(3,4) ,过点 P 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 分别交圆 O,O1 于点 A,B.
(1)若 k ? 1 ,且 BP ? 7 2 ,求圆 O1 的方程; (2)过点 P 作垂直于直线 l 的直线 l1 分别交圆 O,O1 于点 C,D.当 m 为常数时,试判断

AB 2 ? CD 2 是否是定值?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由.

5

数学试题参考答案与评分标准 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.

3 2

2. ? 7. ? 12.2

2

3. f ( x) ? x 8.

2

4. 8

5. 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 10.④ 14.

6.4 11. 3 5

?
6

2 3

9.1

13. [2 ? 3 ,2 ? 3 ]

1 12

二、解答题(共 90 分) 15. (1)由 sin ? ? ? , ? ? ( , 所以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

4 5

? 3?
2 2

) ,得 ? ? (? ,

3? ), 2

3 ,???????????????????????4 分 5
???????????????????????6 分

tan ? ?

sin ? 4 ? . cos ? 3

(2)由 cos ? ? 2cos 2 又 ? ? (? ,

?
2

? 1 ? 1 ? 2sin 2

?

3 ? ? ,????????????????8 分 2 5

? 2 5 3? ? ? 3? ,???????????10 分 ) ,所以 ? ( , ) ,因此 sin ? 2 5 2 2 2 4
5 ,??????????????????????????????12 分 5

cos

?
2

??

cos(

?

? ) ? cos cos ? sin sin ? ? 2 3 2 3 2 3
分组

?

?

?

?

?

5 ? 2 15 .?????????????14 分 10
频率

16.解: (1)

频率 组距
0.0002 0.0004 0.0005 0.0005 0.0003 0.0001

[1000,1500) [1500,2000) [2000,2500) [2500,3000) [3000,3500) [3500,4000]

0.10 0.20 0.25 0.25 0.15 0.05

6

合 计

1

0.002

???????????????????????????????????6 分 (2)所求平均值为 1250×0.10 + 1750×0.20 + 2250×0.25 + 2750×0.25 + 3250×0.15 + 3750×0.05=2400 (元) . ???????????????????????????????????10 分 (3)应该抽出 100×(0.25+0.25+0.15)=65(人) .?????????????14 分 17.解: (1)记“抽取的 2 件产品全是一等品”为事件 A , “抽取的 2 件产品中恰有 1 件是二等品”为事件 B . 从 6 件产品中随机抽取 2 件,有 5+4+3+2+1=15 种抽法.???????????4 分

3 1 ? ;?????6 分 15 5 8 抽取的 2 件产品中恰有 1 件是二等品的抽法有 8 种,故 P ( B ) ? .??????8 分 15
从 3 件一等品中随机抽取 2 件,有 2+1=3 种抽法,故 P( A) ? (2)设 6 件产品中有 x 件次品 (0 ? x ? 6 , x ?N). 当 x ? 0 或 x ? 1时,抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率等于 1;

1 14 4 ? ? ; 15 15 5 3 4 当 x ? 3 时,则抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率为 1 ? ? ; 15 5 6 3 4 当 x ? 4 时,则抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率为 1 ? ? ? ; 15 5 5 1 4 当 x ? 5 时,则抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率为 ? . 3 5
当 x ? 2 时,则抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率为 1 ? ?????????????????????????????????????13 分 于是, x 的最大值等于 3. 答:抽检的 2 件产品全是一等品的概率是

1 ;抽检的 2 件产品中恰有 1 件是二等品的概率 5
7



8 4 .若抽检的 2 件产品中至多有 1 件次品的概率不小于 ,则 6 件产品中次品最多有 3 15 5

件. ?????????????????????????????????????14 分 18. (1)由题意, A ? 4 , T ?

2?

所以 f ( x) ? 4sin(2 x ? ? ) ,????????????????????????2 分

?

? ? ,得 ? ? 2 ,

5? 5? ? ) ? 4sin(2 ? ? ? ) ? 4 ,且 ? ? ? ? 0 , 2 12 12 π ? 得 ? ? ? ,所以 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 4sin(2 x ? ) .???????????4 分 3 3 ? π ? 由 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? ,????????????????????6 分 2 3 2 ? 5? 得 k? ? ≤ x ≤ k ? ? ( k ? Z) , 12 12 ? 5? 所以 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z) .???????????8 分 12 12 π π π π 2π (2)因为 x ? [ , ] ,所以 ≤ 2 x ? ≤ ,???????????????10 分 4 2 6 3 3 1 π 所以, ≤ sin(2 x ? )≤1,????????????????????????12 分 2 3 π 2 ≤ 4sin(2 x ? )? 1≤ 4 , 3 所以 f ( x) max ? 4 , f ( x) min ? 2 .?????????????????????16 分 3 4 3 4 19.解: (1)由点 B(? , ) , ?AOB ? ? ,可知 cos ? ? ? , sin ? ? . 5 5 5 5
再由 f ( ,所以 0 ? ? ? ? ? ? , 2 16 63 于是由 cos(? ? ? ) ? ? 可得 sin(? ? ? ) ? .???????????????4 分 65 65 3 16 4 63 12 , ? cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? ? ? (? ) ? ? ? 5 65 5 65 13 4 16 3 63 5 sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? ? (? ) ? (? ) ? ? , 5 65 5 65 13 ??? ? 12 5 因 | OP |? 1 ,故点 P 的坐标为 ( , ) .???????????????????8 分 13 13 ??? ? ??? ? ? (2) OA ? (1, 0) , OP ? (cos ? ,sin ? ) .因 0 ? ? ? ,故 S ? sin ? .??????10 分 2 ???? ??? ??? ? ? 因 OAQP 为平行四边形,故 OQ ? OA ? OP ? (1 ? cos ? ,sin ? ) . 又

?

2

? ? ? ? ,0 ?? ?

?

S ? OA ? OQ ? sin ? ? 1 ? cos? ? 2 sin(? ?
当? ?

?
4

) ?1( 0 ? ? ?

?
2

).???????14 分

?
4

时, S ? OA ? OQ 取最大值 2 ? 1 .????????????????16 分

20.解: (1) k ? 1 时,直线 l: y ? 4 ? x ? 3 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ,

8

由题意得: (

| m ? 1| 2 7 2 2 ) ?( ) ? (m ? 3) 2 ? 42 ,???????????????2 分 2 2

整理得, m2 ? 14m ? 0 ,解得 m ? 14 或 m ? 0 (舍去) ,????????????4 分 所以圆 O1 的方程为 ( x ? 14)2 ? y 2 ? 137 .??????????????????6 分 (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) . 直线 l: y ? 4 ? k ( x ? 3) ,即 y ? kx ? (3k ? 4) ,

由?

? y ? kx ? (3k ? 4), 消去 y 得, (k 2 ? 1) x 2 ? (8k ? 6k 2 ) x ? 9k 2 ? 24 k ? 9 ? 0 , x 2 ? y 2 ? 25, ?

由韦达定理得 3 ? x1 ?

9k 2 ? 24k ? 9 , k 2 ?1

(法 2 即有 ( x ? 3)[(k 2 ? 1) x ? (3k 2 ? 8k ? 3)] ? 0 ) , 得 x1 ?

3k 2 ? 8k ? 3 .???????????????????????????8 分 k 2 ?1
y ? kx ? (3k ? 4),

由?

?

2 2 2 2 ?( x ? m) ? y ? (m ? 3) ? 4 ,

消去 y 得, (k 2 ? 1) x 2 ? (8k ? 6k 2 ? 2m) x ? 9k 2 ? 24k ? 9 ? 6m ? 0 , 由韦达定理得 3 ? x2 ?

9k 2 ? 24k ? 9 ? 6m , k 2 ?1

(法 2 即有 ( x ? 3)[(k 2 ? 1) x ? (3k 2 ? 8k ? 3 ? 2m)] ? 0 ) 得 x2 ?

3k 2 ? 8k ? 3 ? 2m .?????????????????????????10 分 k 2 ?1 3k 2 ? 8k ? 3 3k 2 ? 8k ? 3 ? 2m 2m ? ? 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1
2 2 2

所以, x1 ? x2 ?

2m 2 4m 2 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (k ? 1)( x1 ? x2 ) ? (k ? 1)( 2 ) ? 2 . k ?1 k ?1
2 2

2

?????????????????????????????????????12 分

9

同理可得, CD 2 ?

4m 2 4m 2 k 2 ,???????????????????14 分 ? 2 1 (? ) 2 ? 1 k ? 1 k
4 m 2 4m 2 k 2 ? ? 4m2 为定值.?????????????16 分 k 2 ?1 k 2 ?1

所以, AB 2 ? CD 2 ?

10


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