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2015年高考仿真模拟卷江苏卷数学(三)


2015 年高考仿真模拟卷·江苏 数学卷(三)
注意事项: 1.本试卷由填空题和解答题两部分组成,满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 2. 答题前,请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上规定的地方. 3. 答题时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作 答一律无效. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. ( 2015 ·上海市十三校高三第二次联考(理) · 2 )函数 1 __________. 2. (2015· 上海市闵行区高三一模 (理) · 1) 已知集合 A={x||x﹣ |> }, U=R, 则 CU A ? 3. (2015·苏锡常镇高三调研一(理) ·2)若复数 实数 m ? . . 的定义域为

5 ? m (i 为虚数单位)为纯虚数,则 1 ? 2i

4. (2015·上海市闵行区高三一模(理) ·8)已知集合 M={1,3},在 M 中可重复的依次取 出三个数 a,b,c,则“以 a,b,c 为边长恰好构成三角形”的概率是 .

5. (2015·北京市朝阳区高三一模(理)改编·5)某商场每天上午10 点开门,晚上 19 点 停止进入.在如图所示的框图中,t表示整点时刻,a(t )表示时间段[t-1,t)内进入商场 人次,S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则 判断框内可以填 .

6. (2015·上海市闵行区高三一模(理) ·6)已知 θ∈( cosθ= .

,π) ,sin

﹣cos

=

,则

7. (2015·山东枣庄市高三一模(理) ·15)若曲线 C1 : y ? 有唯一的公共点,则实数 a 的值为 .

a 2 x ? a ? 0 ? 与曲线 C2 : y ? ex 2

?x ? 1 ? 8. (2015·浙江嘉兴高三下二模(理)改编·4)已知 a ? 0 ,实数 x, y 满足: ? x ? y ? 3 , ? y ? a ( x ? 3) ?

若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则 a ?



9. (2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9) 已知等差数列 ?an ? 的首项为 4,公差为 2,前 n 项和为 Sn .若 Sk ? ak ?5 ? 44 ( k ? N? ) ,则 k 的值为 .

10 . ( 2015 · 河 南 郑 州 市 高 三 第 二 次 质 量 预 测 ( 理 ) 改 编 · 12 ) 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点分别是 F1 , F2 , 过 F2 的直线交双曲线的右支于 P , Q 两 a 2 b2
点,若 | PF 1 |?| F 1 F2 | ,且 3 | PF 2 |? 2 | QF 2 | ,则双曲线的离心率为 .

11. (2015·浙江温州高三第二次适应性测试(理) ·11)已知 ABCDEF 为正六边形,若向

uu u r 量 AB ? ( 3, ?1) ,则 DC ? DE ?

; EC ? FE ?

??? ? ??? ?

(用坐标表示) .

12 . ( 2015 ·上海 市十 三校 高三 第二次 联考( 理 ) · 14 ) 在平面 直角坐 标系 中有 两点 ,以原点为圆心,r > 0为半径作一个圆,与射线 交于点M ,与x轴正半轴交于N ,则当r变化时, |AM |+| BN |的最小值为__________. 13. (2015· 浙江温州高三第二次适应性测试 (理) · 14) 若实数 x, y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 , 则 2 x ? y 的范围是 . ,

14. (2015·山东威海市高三一模(理) ·14)已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣

且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,若在区间[﹣1,3]内,函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 .

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(2015·浙江丽水高三一模(理)·16)(本小题满分 14 分)在△ ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,已知( sinB﹣cosB)( sinC﹣cosC)=4cosBcosC.

(Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 sinB=psinC,且△ ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

16. (2015·安徽省“江淮十校”高三 4 月联考(理) ·18) (本小题满分 14 分)一个正四 棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等, 如下左图, 将他们全等的两面重合在一起拼成一个 多面体 ABCDEF,如下右图

(I)求证:AE//BF; (II)过 A、D、F 三点作截面,将此多面体 上下两部分,求上下两部分的体积比.

17. (2015·南京市高三二模·17) (本小题满分 14 分)右图为某仓库一侧墙面的示意图, 其下部是矩形 ABCD,上部是圆 AB,该圆弧所在的圆心为 O,为了调节仓库内的湿度和温

度, 现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH (其中 E, F 在圆弧 AB 上, G, H 在弦 AB 上) . 过 O 作 OP ? AB , 交 AB 于 M, 交 EF 于 N, 交圆弧 AB 于 P, 已知 OP ? 10, MP ? 6.5(单 位:m),记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位: m ) (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设 ?POF ? ? (rad ) ,将 S 表示成 ? 的函数; (ii)设 MN ? x(m) ,将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时?通风窗 EFGH 的面积 S 最大?
2

E A H

N M

P

F G

B

O

D
第17题图

C

18 . ( 2015 · 重 庆 市 巴 蜀 中 学 高 三 二 模 ( 理 ) · 21 ) ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点、上顶点分别为 A、B, 坐标原点到直线 AB 的距离为 a 2 b2

4 3 且 a ? 2b. , 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M 、 N 两点,且该椭圆上存在点 P ,使得四边 形 MONP( 图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线 l 的方程.

M

P F1 O

x

N

19. (2015·东北三校高三第二次联合考试·21) (本小题满分 16 分)

20. (2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9) (本小题满分 16 分)设 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q ( q ? 1 )的等比数列.记 cn ? an ? bn . (1)求证:数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 为等比数列; (2)已知数列 ?cn ? 的前 4 项分别为 4,10,19,34. ① 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ② 是否存在元素均为正整数的集合 A ? ?n1 , n 2 ,…, nk ? ( k≥4 , k ? N? ) ,使得 数列 cn1 , cn2 ,…, cnk 为等差数列?证明你的结论.

数学Ⅱ(附加题)
21. [选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两 题记分. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 10. (2015·河北省“五个一名校联盟”质量监测(一)(理)·22) (本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O , BD 是⊙ O 的直径, AE ? CD 于点 E , DA 平分 ? BDE . (Ⅰ)证明: AE 是⊙ O 的切线 (Ⅱ)如果 AB ? 4,AE ? 2 ,求 CD .

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

(2015·南京市高三二模)已知矩阵

A ? ?

?1 ? ?3 0? ?1 ? 3 0? A ? , A 的逆矩阵 ? ? ? ?2 a ? ?b 1?

(1)求 a,b 的值; (2)求 A 的特征值.

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲) (2015·九江第一次高考模拟(理) · 23) (本小题满分 10 分)已知直线 l 的参数方程为

? ? x ? 1 ? 2t ? ? ? y ? 2t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C

??
的极坐标方程是

sin ? 1 ? sin 2 ? .

(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若点 ? 是曲线 C 上的动点,求 ? 到直线 l 的距离的最小值,并求出 ? 点的坐标.

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲)
2 (2015·泰州高三二模)已知不等式 a ? b ? 2c ?| x ?1| 对于满足条件 a ? b ? c ? 1 的
2 2 2

任意实数 a, b, c 恒成立,求实数 x 的取值范围.

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 22 . ( 2015 ·江西八所重点中学 4 月份联考(理) · 19 ) (本小题满分 10 分)已知集合

A ? {1, 2,3, 4} ,函数 f ( x) 的定义域、值域都是 A ,且对于任意 i ? A , f (i) ? i 。设 a1 、

a2 、 a3 、 a4 是 1,2,3,4 的任意一个排列,定义数表 ? ?

a1

a2 f (a2 )

a3 f (a3 )

? f (a1 )

a4 ? ?, f (a4 ) ?

若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表. (1)求满足条件的不同的数表的张数; (2)若 ai ? i ( i ? 1,2,3,4 ) ,从所有数表中任意抽取一张,记 ? 为表中 ai ? f (i) 的个数, 求 ? 的分布列及期望.

? 23 . ( 2015 · 南 京 市 高 三 二 模 ) ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 m, n? N ,定义

f n ( m) ?


n(n ? 1 )n(?

? 2 ) n? (m ? m!

1)

am ? f6 (m) ,求 a1 ? a2 ? ? ? a12 的值;
bm ? (?1)m mfn (m) ,求 b1 ? b2 ? ? ? bn 所有可能值的集合.

(2)记

2015 年高考仿真模拟卷·江苏 数学卷(三) 参考答案与解析
1.(0,1]. 【命题立意】 令被开方数大于等于 0,然后利用对数函数的单调性及真数大于 0 求出 x 的 范围,写出集合区间形式即为函数的定义域. 【解析】 ∴0<x≤1∴函数的定义域为(0,1],故答案为:(0,1].

【举一反三】求解析式已知的函数的定义域应该考虑:开偶次方根的被开方数大于等于 0; 对数函数的真数大于 0 底数大于 0 小于 1;分母非 0. 2.[﹣1,4] 【命题立意】本题考查补集及其运算. 【解析】由 A 中不等式变形得:x﹣ > 或 x﹣ <﹣ ,解得:x>4 或 x<﹣1,即 A=(﹣ ∞,﹣1)∪(4,+∞) ,∵U=R,∴ CU A ? [﹣1,4].故答案为:[﹣1,4]. 3.-1 【命题立意】本题考查了纯虚数的概念和复数运算. 【解析】∵ 4. 【命题立意】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计 算公式的合理运用. 【解析】集合 M={1,3},在 M 中可重复的依次取出三个数 a,b,c,基本事件总数 n=23=8, “以 a,b,c 为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数 m=5,∴“以 a,b,c 为边长恰好 构成三角形”的概率:p= 5.t≤18 【命题立意】本题考查了算法和程序框图. 【解析】模拟执行程序,可得 t=10,S=0 满足条件,t=11,S=a(11) .故答案为: .

5 5 ? 10i ?m? ? m ,∴1+m=0,解得 m=-1. 1 ? 2i 5

满足条件,t=12,S=a(11)+a(12)… 满足条件,t=18,S=a(11)+a(12)+a(13)+a(14)+a(15)+a(16)+a(17)+a(18) 由题意,晚上 19 点停止进入,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值, 故判断框内可以填:t≤18. 6. 【命题立意】 本题考查二倍角的余弦,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数的符 号的正确选取. 【解析】∵θ∈( ∴cosθ=﹣ ,π) ,sin ﹣cos = ,∴1﹣sinθ= ,∴sinθ= ,∵θ∈( . ,π) ,

=﹣ .故答案为:

7. a ?

e2 2

【命题立意】 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 考查了方程有根的条件, 是中档题.

a 2 x 的导数为 y ' ? ax , y ? ex 的导数为 y ' ? e x , 2 a 2 a 2 a 2 x ∵函数 y ? x 与 y ? e 有相同的公共切线,设公切线与函数 y ? x 切于点 ( x1 , x1 ) , 2 2 2
【解析】函数 y ? 公切线与函数 y ? e 切于点 ( x2 , e 2 ) ,
x

x

x 则对应的切线斜率相等即 ax1 ? e 2 ,同时切线斜率 k ?

e x2 ?

a 2 x1 2 ? ax1 ,将 ex2 ? ax1 代入 x2 ? x1

ax1 ?


a 2 x1 1 2 ? ax1 ,整理得 x2 ? 1 ? x1 , 2 x2 ? x1

则a ?

e e e ,设 f ( x ) ? , ? x x1 x1
e
1 1? x 2

x2

1 1? x1 2

1 1? x 2

则函数的导数 y ' ? f '( x) ?

1 ( x ? 1) 2 ,则当 x>2 时, f '( x) ? 0 , x2

当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,即当 x ? 2 时,函数 y ?

e

1 1? x 2

x

取得极小值,同时也是最小值,

则最小值为 f (2) ?

e

1 1? ?2 2

2

?

e2 , 2

则a ?

e2 e2 ,故答案为 a ? . 2 2

8.

1 2

【命题立意】本题旨在考查线性规划的应用. 【解析】作出不等式组表示的平面区域:

由图可得在点 B ?1, ?2a ? 处取得最小值 1,从而得到 1? 2 ? 2a ? 1 ,解得 a ? 9.7 【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式,前 n 项和公式. 【 解 析 】 根 据 题 意 得 , an ? 4 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 2 , Sn ?
? Sk ? ak ?5 ? k 2 ? 3k ? ? ?2 ? k ? 5? ? 2? ? ? 44 ,解得 k=7 k ? N .

1 . 2

n ? 4 ? 2n ? 2? ? n2 ? 3n ∴ 2

?

?

10.

7 5

【命题立意】本题考查双曲线的定义、性质,考查计算能力,难度较大. .

x2 y2 【解析】设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,则 | PF 1 |?| F 1 F2 |? 2c ,由椭圆的定 a b

| PF2 |? 2c ? 2a , 义知, 因为 3 | PF2 |? 2 | QF2 | , 所以 | QF2 |? 3c ? 3a , 所以 | QF 1 |? 3c ? a ,
过 点

A , 所 以 | AF2 |?| PA |? c ? a , F2 作 F2 A ? PF 1 , 垂 足 为

| QA |? 3c ? 3a ? c ? a ? 4c ? 4a ,

2 2 2 2 在 Rt?AQF 2 和 Rt?APF 2 中,由勾股定理得, | QF 1 | ? | QA | ?| PF 1 | ? | PA | ,

所以 (3c ? a)2 ? (4c ? 4a) 2 ? (2c)2 ? (c ? a)2 ,因为 e ? 所以 5e ? 12e ? 7 ? 0 ,解得 e ?
2

c , a

7 或 e ? 1 (舍去) . 5

11. 2 3; (2 3,?2) 【命题立意】正六边形的性质,平面向量的坐标运算,容易题. uu u r 2 2 【解析】? 正六边形 ABCDEF 中, AB ? ( 3, ?1) ,则 | AB |? ( 3 ) ? (?1) ? 2 ,

?

1 | DC ? DE |? | DC |2 ? | DC |2 ?2 | DC | ? | DE | ? cos120? ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? (? ) ? 2 3 2


??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? EC ? FE ? DC ? ED ? FE ? DC ? FD ? DC ? DF ? FC ? 2 AB ? (2 3, ?2) .
12. 2 7 . 【命题立意】本题考查两点间距离公式的应用,考查学生转化思想,推理和证明及分析解决 问题的能力. 【解析】由题意,设 M(a,﹣ ∴|AM|+|BN|= 设 2a=x,则|AM|+|BN|= 可以理解为(x,0)与(﹣ ∴|AM|+|BN|的最小值为(﹣ 故答案为:2 13. [?2,0] 【命题立意】考查一元二次方程的根的判别式,容易题. 【解析】令 a ? 2 x ? y 代入 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 得 8 x ? 4ax ? a ? a ? 0 ,
2 2

a)(a<0),则 r=﹣2a,N(﹣2a,0). + + ,

, ,

)和(﹣1, )和(﹣1,﹣

)的距离和, )的距离,即 2 .



由一元二次方程必有解,则 (?4a) 2 ? 32(a 2 ? a) ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? 0 ,即 2 x ? y 的范围是

[?2,0] .
14.[5,+∞) 【命题立意】本题主要考查函数的周期性的应用,函数的零点与方程的根的关系. 【解析】函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣ 故 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x2, 可得当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,故当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2 ,当 x∈[1,3]时,f(x) =(x﹣2)2. 由于函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,故函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2) 有 4 个交点, 所以可得 1≥loga(3+2) , ∴实数 a 的取值范围是[5,+∞) . 故答案为:[5,+∞) . 15. ,故有 f(x+2)=f(x) ,

? ; 3

【命题立意】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,考查了正弦定理的应用. 【解析】(Ⅰ) 由题意得

…(4 分)

∴ (Ⅱ)

…(7 分) …(10 分)

∵△ABC 为锐角三角形,且 ∴ ∴ .…(15 分) …(14 分)

16. (I)略 (II)1:2 【命题立意】本题旨在考查空间中两直线平行的判定,以及几何体的体积

【解析】证明: (Ⅰ)由题意知,△ABE、△CBE 和△BEF 都是正三角形, 取 BE 的中点 O,连 AO、FO、CO、AC,则 BE⊥AO,BE⊥FO,BE⊥CO, ∴∠AOC、∠FOC 分别是二面角 A-BE-C 和二面角 F-BE-C 的平面角,????3 分 设 AB=2 a ,则 AO=FO=CO= 3a ,AC= 2 2 a ,

( 3a) 2 ? ( 3a) 2 ? (2 2a) 2 1 在△AOC 中, cos?AOC ? ?? , 3 2 ? 3a ? 3a
在△FOC 中, cos ?FOC ?
0

( 3a) 2 ? ( 3a) 2 ? a 2 1 ? 3 2 ? 3a ? 3a

∴∠AOC+∠FOC= 180 ,即二面角 A-BE-C 与二面角 F-BE-C 互补,???????5 分 所以 ABFE 四点共面,又 AB=BF=FE=EA,故 AE∥BF.????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形 ABFE 四边形 CDEF 都是菱形, 所以过三点 ADF 的截面把多面体分成三棱锥 A-DEF 和四棱锥 F-ABCD, 连 BD、FD 则 VF ? ABCD ? VF ? BCD ? VF ? ABD ? 2VF ? BCD = 2VB ?CDF ? 2VA? DEF 所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为1:2.…????????????12 分 7 17. (1) (i)S=10sinθ(20cosθ-7) ,0<θ<θ0,其中 cosθ0= (ii) S=x 351-28x-4x2, 20 0<x<6.5(2)MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大 【命题立意】本题旨在考查函数的应用. 【解析】 (1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5. (i)在 Rt△ ONF 中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ. 在矩形 EFGH 中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5, 故 S=EF× FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7) . 7 即所求函数关系是 S=10sinθ(20cosθ-7) ,0<θ<θ0,其中 cosθ0= . 20 ………… 4 分 (ii)因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 在 Rt△ ONF 中,NF= OF2-ON2= 100-(x+3.5)2= 351 -7x-x2. 4

在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 351-28x-4x2,FG=MN=x, 故 S=EF× FG=x 351-28x-4x2.

即所求函数关系是 S=x 351-28x-4x2,0<x<6.5. (2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令 f(θ)=sinθ(20cosθ-7) ,

………… 8 分

则 f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.………… 10 分 4 5 由 f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得 cosθ= ,或 cosθ=- . 5 8 4 因为 0<θ<θ0,所以 cosθ>cosθ0,所以 cosθ= . 5 4 设 cosα= ,且 α 为锐角, 5 则当 θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当 θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f (θ)是减函数, 4 所以当 θ=α,即 cosθ= 时,f(θ)取到最大值,此时 S 有最大值. 5 即 MN=10cosθ-3.5=4.5m 时,通风窗的面积最大. 方法二:选择(ii)中的函数模型: 因为 S= x2(351-28x-4x2) ,令 f(x)=x2(351-28x-4x2) , 则 f ′(x)=-2x(2x-9) (4x+39) . ……… 10 分 ………… 14 分

9 9 13 因为当 0<x< 时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当 <x< 时,f ′(x)<0,f(x)单 2 2 2 调递减, 9 所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值. 2 即 MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大. 18. (1) ………… 14 分

x2 y2 ? ? 1 (2) x ? ? 2 y ? 2 2. 16 8

【命题立意】本题考查椭圆的基本概念及直线方程. 【解析】 (1)直线 AB 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0, 坐标原点到直线 AB 的距离为

4 3 ab a 2b 2 16 , 椭圆的方程为 = ? 2 ? , 又 a ? 2b, 解 得 a ? 4 ,b ? 2 2 故 2 3 a ?b 3 a 2 ? b2
x2 y2 ? ?1 16 8
( 2)由( 1)可求得椭圆的左焦点为 F1 (?2 2,0), 易知直线 l 的斜率不为 0,故可设直线

l : x ? my ? 2 2, 点 M ( x1, y1 )、N ( x2 , y2 ), 因 为 四 边 形 MONP 为 平 行 四 边 形 , 所 以

??? ? ???? ? ???? OP ? OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),
联立 ?

? ? x ? my ? 2 2 ? ? x ? 2 y ? 16 ? 0
2 2

? ( m 2 ? 2) y 2 ? 4 2my ? 8 ? 0 ?

? ? ? 64(m 2 ? 1) ? 0 ? ?8 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 2 m ? ? m ? 2 ,因为点 P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 在椭圆上, ?? ? y1 ? y2 ? 2 m ? 2 4 2 m ? ?y ? y ? 1 2 ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 2 ? m2 ? 2 ? ?
所以 ( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 16 ? (
2 2

?8 2 2 4 2 2 ) ? 2( 2 ) ? 16 ? 2 m ?2 m ?2

m ? ? 2, 那么直线 l 的方程为 x ? ? 2 y ? 2 2.
19. (1) a ? 1 (2)略(3) ?? ?,1? 【命题立意】本题的旨意考查导数的综合应用. 【解析】 (1) f ?? x ? ? e 依题意得: f ??1? ? ? ? 解得: a ? 1
x ?1

?

4a ? 3 6x 2

? 1? ? 1? ? ? ?1 ? ?4a ? 3?? ? ? ? ? ?1 ? 2? ? 2?

3 1 x ?1 时: f ? x ? ? e ? 4 x 1 ? f ?? x ? ? e x ?1 ? 2 x 2 ? f ???x ? ? e x ?1 ? 3 ? 0 对 x ? ?1,??? 成立 x
(2)当 a ? ? 即: f ?? x ? 在 ?1,??? 上为增函数 又 f ??1? ? 0 ,故 f ??x ? ? 0 对 x ? ?1,??? 成立

? f ?x ? 在 ?1,??? 上为增函数
(2)? x ? 1

? 由 f ?x ? ? g ?x ? 得:

1 1 1 2 x ? e x ?1 ? ax 3 ? x 2 ? ?a ? 1?x ? ? a ? 0 3 2 2 3 1 1 1 2 x ?1 3 2 设 h?x ? ? x ? e ? ax ? x ? ?a ? 1?x ? ? a 3 2 2 3

?x ? 1?

? h??x? ? ?x ? 1?e x?1 ? ax2 ? x ? a ? 1 ? ?x ? 1? e x?1 ? a?x ? 1? ? 1
设 k ?x? ? e x?1 ? a?x ? 1? ? 1

?

?

?x ? 1?

?x ? 1?

? k ??x? ? e x?1 ? a
①当 a ? 1 时: k ??x ? ? o 对 x ? ?1,??) 成立 又 k ?1? ? 0 故 k ?x ? ? o 即: h??x ? ? 0 又 h?1? ? 0 故 h?x ? ? 0

②当 a ? 1 时:由 k ??x ? ? 0 得 x ? 1 ? ln a ? 1 当 x ? ?1,1 ? ln a ? 时: k ??x ? ? 0 又 k ?1? ? 0 故: k ?x ? ? 0 即: h??x ? ? 0 又 h?1? ? 0 故 h?x ? ? 0 这与已知不符

综上所述:实数 a 的取值范围为 ?? ?,1? 20. (I)略(II)① an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 ②假设不成立,从而不存在满足题意的集合 A 【命题立意】本题考查了等差数列,等比数列,通项公式等,考查了学生的方程思想. 【解析】 (1)证明:依题意, cn?1 ? cn ? d ? ? an?1 ? bn?1 ? ? ? an ? bn ? ? d
? ? an?1 ? an ? ? d ? ?bn ?1 ? bn ?
? bn (q ? 1) ? 0 ,

?? 3 分

从而

cn?2 ? cn?1 ? d bn?1 (q ? 1) ? ? q ,又 c2 ? c1 ? d ? b1 (q ? 1) ? 0 , cn?1 ? cn ? d bn (q ? 1)
?? 5 分

所以 ?cn ?1 ? cn ? d ? 是首项为 b1 (q ? 1) ,公比为 q 的等比数列.

(2)① 法 1:由(1)得,等比数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 的前 3 项为 6 ? d , 9 ? d , 15 ? d , 则 ? 9 ? d ? ? ? 6 ? d ??15 ? d ? ,
2

解得 d ? 3 ,从而 q ? 2 ,
?a ? b ? 4, 且? 1 1 ?a1 ? 3 ? 2b1 ? 10,

?? 7 分

解得 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 .
?a1 ? b1 ? 4 , ? ?a1 ? d ? b1q ? 10 , 法 2:依题意,得 ? 2 ?a1 ? 2d ? b1q ? 19 , ?a ? 3d ? b q 3 ? 34 , ? 1 1
?d ? b1q ? b1 ? 6 , ? 消去 a1 ,得 ?d ? b1q 2 ? b1q ? 9 , ? 3 2 ?d ? b1q ? b1q ? 15 ,
2 ? ?b q ? 2b1q ? b1 ? 3 , 消去 d ,得 ? 1 3 2 ? ?b1q ? 2b1q ? b1q ? 6 ,

?? 10 分

?? 7 分

消去 b1 ,得 q ? 2 , 从而可解得, a1 ? 1 , b1 ? 3 , d ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 . ?? 10 分

② 假设存在满足题意的集合 A ,不妨设 l , m , p , r ? A (l ? m ? p ? r ) ,且 cl , cm ,

c p , c r 成等差数列,
则 2cm ? cp ? cl , 因为 cl ? 0 ,所以 2cm ? cp , ① 若 p ? m ? 1 ,则 p≥m ? 2 ,
m?1 m?1 p ?1 结合①得, 2 ? ?(3m ? 2) ? 3 ? 2 ? ? ? (3 p ? 2) ? 3 ? 2 ≥3(m ? 2) ? 2 ? 3 ? 2 ,

化简得, 2m ? m ? ? 8 ? 0 , ② 3 因为 m≥2 , m ? N? ,不难知 2m ? m ? 0 ,这与②矛盾, 所以只能 p ? m ? 1 , 同理, r ? p ? 1 , 所以 cm , c p , c r 为数列 ?cn ? 的连续三项,从而 2cm?1 ? cm ? cm? 2 , 即 2 ? am?1 ? bm?1 ? ? am ? bm ? am? 2 ? bm? 2 , 故 2bm?1 ? bm ? bm? 2 ,只能 q ? 1 ,这与 q ? 1 矛盾, 所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合 A . ?? 16 分

(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在” ,就给 1 分. ) 21.A(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 4 3 3

【命题立意】本题考查三角形相似的证明,考查圆的切线的性质,考查弦切角定理,属于基 础. 【解析】 (Ⅰ)连结 OA,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA, 又∠ODA=∠ADE,所以∠ADE=∠OAD,所以 OA∥CE. 因为 AE⊥CE,所以 OA⊥AE. 所以 AE 是⊙O 的切线.

B A

O C

D E

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得△ADE∽△BDA, AE AB 2 4 所以 = ,即 = ,则 BD=2AD, AD BD AD BD 所以∠ABD=30?,从而∠DAE=30?, 2 3 所以 DE=AEtan 30?= . 3 由切割线定理,得 AE2=ED·EC, 2 3 2 3 4 3 所以 4= ( +CD) ,所以 CD= . 3 3 3 2 21.B(1)a=1,b=- (2)λ1=1,λ2=3 3 【命题立意】本题旨在考查矩阵. 1 3 0? ? ? ? 3 【解析】 (1)因为 A A = ?2 a? ? ? b
-1

? 1 0? ?=? 2 ? ? +ab 1? ?3

0? ?=? 1 0 ?. a? ?0 1?

?

? ?a=1, 所以?2 ?3+ab=0. ?
2 解得 a=1,b=- . 3 (2)由(1)得 A=? 3 0? ? 2 1 ?, …………………… 5 分

则 A 的特征多项式 f(λ)=?

? λ-3 ? -2

0 ? ( λ-1) . ?=(λ-3) λ-1 ? ………………… 10 分

令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=1,λ2=3. 21.C(1)ρcosθ﹣ρsinθ=1,y=x2(2)

3 2 ?1 1? , P? , ? 8 ?2 4?

【命题立意】本题考查了参数方程化为普通方程.极坐标方程化为平面直角坐标方程.点到 直线的距离公式,本题难度不大,属于基础题. 【解析】 (1)∵ ?

? x ? 1 ? 2t ? ? ? y ? 2t

,∴x﹣y=1.

∴直线的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ=1. 即 2 ? ? cos ? cos ∵? ?

? ?

?
4

? sin ? sin

??

?? ? ? ? 1 ,即 2 ? cos ? ? ? ? ? 1 . 4? 4? ?

sin ? sin ? ,∴ ? ? , 2 1 ? sin ? cos 2 ?

∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,即曲线 C 的普通方程为 y=x2.
2 (2)设 P(x0,y0) , y0 ? x0 ,

1? 3 ? ? x0 ? ? ? 2? 4 ? ∴P 到直线的距离: d ? . 2
∴当 x0 ?

2

1 3 2 ?1 1? 时, d min ? ,∴此时 P ? , ? , 2 8 ?2 4?

∴当 P 点为 ?

3 2 ?1 1? . , ? 时,P 到直线的距离最小,最小值为 8 ?2 4?

21.D x ? ? 3或x ? 3 【命题立意】本题考查了柯西不等式. 【解析】因为 (a ? b ? 2c) ? (1 ?1 ? 2)( a ? b ? c ) ? 4 ,所以 a ? b ? 2c ? 2 ,
2 2 2 2

又 a ? b ? 2c ?| x -1 | 对任意实数 a, b, c 恒成立, 故 | x -1|? (a ? b ? 2c)max ? 2 ,
2
2

解得 x ? ? 3或x ? 3 . 22. (1)216; (2)2。 【命题立意】本题考查排列组合与概率知识。属于中等题。

4 【解析】 (1)∵ a1 、 a2 、 a3 、 a4 是 1,2,3,4,的任意一个排列,共有 A4 ? 24 种排法;

……2 分 又 f (i) ? i ,∴第一个函数值有 3 种排法,第二个函数值有 3 种排法,第 3、4 个函数值只 有 1 种排法;
4 ∴一共有 3×3× A4 =216 种排法。

……4 分 ……5 分 ……9 分

(2)P( ? =1)=

1 7 1 ,P( ? =2)= ,P( ? =3) = 。 9 9 9

因此 ? 的分布列如下:

?
P

1

2

3

1 9

7 9

1 9
……12 分

? E ? =2。
23. (1)63 (2){-1,0} 【命题立意】本题旨在考查新定义及其应用.

?0,m≥n+1, 【解析】 (1)由题意知,fn(m)=? m ?C n ,1≤m≤n. ?0,m≥7, 所以 am=? m ?C 6 ,1≤m≤6.
………………… 2 分

1 2 6 所以 a1+a2+…+a12=C6+C6+…+C6=63.

………………… 4 分

?0, m≥2, (2)当 n=1 时, bm=(-1)mmf1(m)=? 则 b1+b2=-1.………… 6 分 ?-1,m=1.

?0,m≥n+1, m 当 n≥2 时,bm=? m ?(-1) m?C n ,1≤m≤n.
(n-1)! m-1 m n! 又 mC n =m· =n· =nC , n-1 m!(n-m)! (m-1)!(n-m)! 0 1 2 3 n-1 所以 b1+b2+…+b2n=n[-C +C -C +C +…+(-1)nC ]=0. n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 所以 b1+b2+…+b2n 的取值构成的集合为{-1,0}. ………… 10 分


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