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河北省保定市满城中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


河北省保定市满城中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)“x>2”是“x >4”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. (5 分)某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职 工人数的 2 倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青 年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为() A.9 B.18 C.27 D.36 3. (5 分)设 a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程 x +ax+2=0 有两个不相等的实数根的概 率为() A. B. C. D.
2

4. (5 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

5. (5 分)函数 A. C.

的导数是() B. ﹣sinx D.

6. (5 分)若 x,y∈R,且 x +y =1.当 x+y+c=0 时,c 的最大值是() A. B. C. D.

2

2

7. (5 分)已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,f(x)的解析式可能为() 2 2 A.f(x)=(x﹣1) +3(x﹣1) B.f(x)=2(x﹣1) C. f(x)=2(x﹣1) 2 D.f(x)=(x﹣1)

8. (5 分)按如程序框图,若输出结果为 170,则判断框内应补充的条件为()

A.i>5

B.i≥7
2

C.i>9

D.i≥9

9. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,P3(x3, y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有() 2 2 2 A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B. |FP1| +|FP2| =|FP3| 2 C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2| =|FP1|?|FP3| 10. (5 分)设双曲线的﹣个焦点为 F,虚轴的﹣个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为() A. B.
2

C.

D.

11. (5 分)数据 a1,a2,a3…an 的方差为 σ ,则数据 2a1,2a2,2a3…2an 的方差为() A. B. σ
2

C . 2σ

2

D.4σ

2

12. (5 分) F1, F2 是椭圆 的面积为() A. B.

的两个焦点, A 为椭圆上一点, 且∠AF1F2=60°, 则△ AF1F2

C.

D.

二、填空题(本在题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把最简答案填在题后横线上. ) 13. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据为:则 y 与 x 的回归直线方程 y=bx+a 必过定点. x y 0 1
2

1 3

2 5﹣a

3 7+a

14. (5 分)命题“?x∈R,2x ﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为. 15. (5 分)用辗转相除法求得 111 与 1 850 的最大公约数是. 16. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax﹣b.若 a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1) <0 成立的概率是.
2

三、解答题(本大题共 6 小题,70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分) (1)求右焦点坐标是(2,0) ,且经过点 (2) 求与椭圆 有共同的焦点并且与双曲线 的椭圆的标准方程; 有共同渐近线的双曲线方程.

18. (12 分)已知命题 p:存在 x∈R,使 x ﹣(a+1)x+a+4<0;命题 q:方程 表示双曲线.若命题“(¬p)∧q”为真命题,求实数 a 的取值范围.

2

=1

19. (12 分)已知 f(x)=2x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象都过点 P(2,0) ,且在点 P 处有公 共切线,求 f(x) ,g(x)的表达式. 20. (12 分)如图,倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y =4x 的焦点,且与抛物线交于 A、B 两点, Q 为 A、B 中点, (1)求抛物线的焦点坐标及准线 l 方程; (2)若 α≠ ,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明:|AB|=2|PF|.
2

3

2

21. (12 分)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h)随机选择了 n 名学生进行调 查,下表是这 n 名学生的日睡眠时间的频率分布表: 序号 i 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率 1 [4,5) 6 0.12 2 [5,6) 0.20 3 [6,7) a 4 [7,8) b 5 [8,9) 0.08 (1)求 n 值,若 a=20 将表中数据补全,并画出频率分布直方图 (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,若据此计算的上述数据的平 均值为 6.52,求 a,b 的值,并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在 7 小时以上的频率. 22. (12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最 大值为 3,最小值为 1.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

河北省保定市满城中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)“x>2”是“x >4”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 证明题. 分析: 先后分析“x>2”?“x >4”与“x >4”?“x>2”的真假,进而根据充要条件的定义,得到 答案. 解答: 解:当 x>2 时,x >4 成立, 2 故“x>2”?“x >4”为真命题 2 故“x>2”是“x >4”的充分条件; 2 当 x >4 时,x<﹣2 或 x>2,即 x>2 不成立 2 故“x >4”?“x>2”为假命题 2 故“x>2”是“x >4”的不必要条件; 2 综上“x>2”是“x >4”的充分不必要条件; 故选 A 点评: 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断,其中判断“x>2”?“x 2 >4”与“x >4”?“x>2”的真假,是解答本题的关键.
2 2 2 2

2. (5 分)某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职 工人数的 2 倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青 年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为() A.9 B.18 C.27 D.36 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 根据条件中职工总数和青年职工人数,以及中年和老年职工的关系列出方程,解出 老年职工的人数,根据青年职工在样本中的个数,算出每个个体被抽到的概率,用概率乘以老 年职工的个数,得到结果. 解答: 解:设老年职工有 x 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,则中年职工有 2x,

∵x+2x+160=430, ∴x=90, 即由比例可得该单位老年职工共有 90 人, ∵在抽取的样本中有青年职工 32 人, ∴每个个体被抽到的概率是 = ,

用分层抽样的比例应抽取 ×90=18 人. 故选 B. 点评: 本题是一个分层抽样问题,容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆.抽 样方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分点,不容错过. 3. (5 分)设 a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程 x +ax+2=0 有两个不相等的实数根的概 率为() A. B. C. D.
2

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 本题可以按照等可能事件的概率来考虑,可以先列举出试验发生包含的事件数,再 求出满足条件的事件数,从而根据概率计算公式写出概率. 解答: 解:∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数, ∴试验发生包含的事件数 6, 2 ∵方程 x +ax+2=0 有两个不等实根, 2 ∴a ﹣8>0, ∵a 是正整数, ∴a=3,4,5,6, 即满足条件的事件有 4 种结果 ∴所求的概率是 =

故选 A. 点评: 本题考查等可能事件的概率,在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的 事件数,是解题的关键 4. (5 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

考点: 椭圆的定义.

专题: 计算题. 分析: 根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,得到 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,得到 点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上,已知 a,c 的值,做出 b 的值,写出椭圆的方程. 解答: 解:∵F1(﹣1,0) 、F2(1,0) , ∴|F1F2|=2, ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, ∴点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上, ∵2a=4,a=2 c=1 ∴b =3, ∴椭圆的方程是 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程,解题的关键是看清点所满足的条件,本题是用定义法来求得 轨迹,还有直接法和相关点法可以应用.
2

5. (5 分)函数 A. C.

的导数是() B. ﹣sinx D.

考点: 导数的乘法与除法法则. 专题: 计算题. 分析: 根据导数的运算法则可得,y′= = 可求

解答: 解:根据导数的运算法则可得,y′=

=

= 故选 C 点评: 本题主要考查了商的导数的求导法则及基本初等函数的求导公式的应用,属于基础 试题 6. (5 分)若 x,y∈R,且 x +y =1.当 x+y+c=0 时,c 的最大值是() A. B. C. D.
2 2

考点: 圆的参数方程;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据题意设 y=cosα,x=sinα,由 x+y+c=0,得到 c=﹣x﹣y,将设出的 x 与 y 代入, 利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 根据正弦函数的图象与性质即可求出 c 的最大值. 解答: 解:根据题意设 y=cosα,x=sinα, 将 x+y+c=0 变形为 c=﹣x﹣y=﹣cosα﹣sinα=﹣ sin(α+ ) ,

∴﹣ ≤c≤ , 则 c 的最大值为 . 故选 A 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:两角和与差的正弦函数公式,以 及正弦函数的定义域以及值域,将 c 变形为一个角的正弦函数是解本题的关键. 7. (5 分)已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,f(x)的解析式可能为() 2 2 A.f(x)=(x﹣1) +3(x﹣1) B.f(x)=2(x﹣1) C. f(x)=2(x﹣1) 2 D.f(x)=(x﹣1) 考点: 导数的运算;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 对于选项中给出的函数,依次求导,符合 f′(1)=3 即可. 2 解答: 解:A 中,f′(x)=3(x﹣1) +3; B 中,f′(x)=2; C 中,f′(x)=4(x﹣1) ; D 中,f′(x)=2(x﹣1) ; 依次将 x=1 代入到各个选项中,只有 A 中,f′(1)=3 故选 A. 点评: 本题主要涉及的是导数的计算,为考查基础概念的题目. 8. (5 分)按如程序框图,若输出结果为 170,则判断框内应补充的条件为()

A.i>5

B.i≥7

C.i>9

D.i≥9

考点: 循环结构. 专题: 阅读型;图表型. 分析: 根据输出结果为 170,然后判定 S、i,不满足条件,执行循环体,当 S、i 满足条件 时,退出循环体,从而得到判断框内应补充的条件. 解答: 解:S=0+2=2,i=1+2=3,不满足条件,执行循环体; S=2+8=10,i=2+3=5,不满足条件,执行循环体; S=10+32=42,i=5+2=7,不满足条件,执行循环体;

S=42+128=170,i=7+2=9,满足条件,退出循环体, 故判断框内应补充的条件为 i≥9 故选:D. 点评: 本题主要考查了直到型循环结构,算法和程序框图是新课标新增的内容,在近两年 的新课标地区高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于基础题. 9. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,P3(x3, y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有() 2 2 2 A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B. |FP1| +|FP2| =|FP3| 2 C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2| =|FP1|?|FP3| 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 把 2x2=x1+x3 等式两边同时加 p 整理成 根据抛物线的定义可得 2|FP2|=|FP1|+|FP3|. 解答: 解:∵2x2=x1+x3, ∴ , 进而
2

∴由抛物线定义可得 2|FP2|=|FP1|+|FP3| 故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题. 10. (5 分)设双曲线的﹣个焦点为 F,虚轴的﹣个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质;两条直线垂直的判定. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设出双曲线方程,则 F,B 的坐标可得,根据直线 FB 与渐近线 y= 垂直,得出

其斜率的乘积为﹣1,进而求得 b 和 a,c 的关系式,进而根据双曲线方程 a,b 和 c 的关系进 而求得 a 和 c 的等式,则双曲线的离心率可得. 解答: 解:设双曲线方程为 则 F(c,0) ,B(0,b) 直线 FB:bx+cy﹣bc=0 与渐近线 y= 所以
2 2



垂直,

,即 b =ac
2

2

所以 c ﹣a =ac,即 e ﹣e﹣1=0,

所以



(舍去)

点评: 本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直的条件, 考查了方程思想. 11. (5 分)数据 a1,a2,a3…an 的方差为 σ ,则数据 2a1,2a2,2a3…2an 的方差为() A. B. σ
2 2

C . 2σ

2

D.4σ

2

考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: 本题是根据一组数据的方差,求和它有关的另一组数据的方差,可以先写出数据 a1, 2 a2,a3…an 的方差为 σ 的表示式,然后再写出数据中每一个数据都乘以 2 以后的表示式,得到 结果. 解答: 解:∵σ =
2





=4?

=4σ .

2

故选 D 点评: 本题考查方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,组数据的平均数也乘以 同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变.

12. (5 分) F1, F2 是椭圆 的面积为() A. B.

的两个焦点, A 为椭圆上一点, 且∠AF1F2=60°, 则△ AF1F2

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 求出 F1F2 的 长度,由椭圆的定义可得 AF2=6﹣AF1,由余弦定理求得 AF1,从而求 得三角形 AF1F2 的面积. 解答: 解:由题意可得 a=3,b= ,c=2,故 F1F2=2×2=4, AF1+AF2=6,AF2=6﹣AF1, 2 2 2 2 ∵AF2 =AF1 +F1F2 ﹣2AF1?F1F2cos60°=AF1 ﹣4AF1+16, 2 2 ∴(6﹣AF1) =AF1 ﹣4AF1+16, ∴AF1= , 故三角形 AF1F2 的面积 S= × ×4× 故选 B. = .

点评: 本题考查椭圆的定义、标准方程,简单性质,以及余弦定理的应用,求出 AF1 的值, 是解题的关键. 二、填空题(本在题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把最简答案填在题后横线上. ) 13. (5 分) 已知 x 与 y 之间的一组数据为: 则 y 与 x 的回归直线方程 y=bx+a 必过定点 .

x y

0 1

1 3

2 5﹣a

3 7+a

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 根据回归直线方程一定过样本中心点,先求出这组数据的样本中心点,即横标和纵 标的平均数分别作横标和纵标的一个点,得到结果. 解答: 解:∵回归直线方程必过样本中心点, ∵ , ∴样本中心点是( ,4) ∴y 与 x 的回归直线方程 y=bx+a 必过定点( ,4) 故答案为: ( ,4) 点评: 本题考查线性回归方程,本题是一个基础题,而求线性回归方程的问题,是运算量 比较大的问题,解题时注意平均数的运算不要出错,注意系数的求法,运算时要细心,不然会 前功尽弃. 14. (5 分)命题“?x∈R,2x ﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为[﹣2
2

,2

].

考点: 命题的真假判断与应用;函数恒成立问题. 2 分析: 根据题意,原命题的否定“?x∈R,2x ﹣3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立” 问题,只需△ ≤0. 2 解答: 解:原命题的否定为“?x∈R,2x ﹣3ax+9≥0”,且为真命题, 则开口向上的二次函数值要想大于等于 0 恒成立, 2 只需△ =9a ﹣4×2×9≤0,解得:﹣2 ≤a≤2 . 故答案为:[﹣2 ,2 ] 点评: 存在性问题在解决问题时一般不好掌握,若考虑不周全、或稍有不慎就会出错.所 以,可以采用数学上正难则反的思想,去从它的反面即否命题去判定.注意“恒成立”条件的使 用. 15. (5 分)用辗转相除法求得 111 与 1 850 的最大公约数是 37.

考点: 最大公因数;带余除法. 专题: 数学模型法. 分析: 利用辗转相除法即可求得答案. 解答: 解:∵1850=16×111+74,111=74×1+37,74=37×2+0. ∴111 与 1 850 的最大公约数是 37. 故答案为 37. 点评: 熟练掌握辗转相除法是解题的关键. 16. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax﹣b.若 a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1) <0 成立的概率是 .
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题利用几何概型求解即可.在 a﹣o﹣b 坐标系中,画出 f(1)<0 对应 的区域, 和 a、b 都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得. 解答: 解:f(1)=﹣1+a﹣b>0,即 a﹣b>1, 如图,A(1,0) ,B(4,0) ,C(4,3) , S△ ABC= ,P= 故答案为: 点评: 本题主要考查几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 古典概型与几 何概型的主要区别在于: 几何概型是另一类等可能概型, 它与古典概型的区别在于试验的结果 不是有限个. 三、解答题(本大题共 6 小题,70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分) (1)求右焦点坐标是(2,0) ,且经过点 (2) 求与椭圆 有共同的焦点并且与双曲线 的椭圆的标准方程; 有共同渐近线的双曲线方程. = = .

考点: 双曲线的标准方程;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 综合题. 分析: (1)设椭圆的标准方程为 ,利用右焦点坐标是(2,0) ,经过点

,即可求得椭圆的标准方程;

(2)求出椭圆

的焦点坐标,双曲线

的渐近线方程,设双曲线的标准方

程为

,则可求双曲线的标准方程.

解答: 解: (1)由题意,可设椭圆的标准方程为 ∵右焦点坐标是(2,0) ,经过点 ∴c =a ﹣b =4, 解得 a =8,b =4. 椭圆的标准方程为 ;
2 2 2 2 2

,则



…(6 分)

(2)椭圆

的焦点坐标为(0,±5) ,

双曲线

的渐近线方程为 y=± x,

由题意可设双曲线的标准方程为
2 2 2



则 c =a +b =25, = ,

解得 a =16,b =9.双曲线的标准方程为 点评: 本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标准方程,考查几何性质,正确运用椭圆、双 曲线的几何性质是关键.

2

2

18. (12 分)已知命题 p:存在 x∈R,使 x ﹣(a+1)x+a+4<0;命题 q:方程 表示双曲线.若命题“(¬p)∧q”为真命题,求实数 a 的取值范围.

2

=1

考点: 复合命题的真假. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 根据一元二次不等式解的情况和判别式△ 的关系,以及双曲线的标准方程即可求出 命题 p,q 下 a 的取值范围,然后由“(¬p)∧q”为真命题知 p 假 q 真,所以分别求出 p 假,q 真时的 a 的取值范围再求交集即可.

解答: 解:由命题 p 知,不等式 x ﹣(a+1)x+a+4<0 有解; 2 ∴△=(a+1) ﹣4(a+4)>0; 解得 a<﹣3,或 a>5; 由命题 q 知, (a﹣3) (a﹣6)>0; 解得 a<3,或 a>6; 若命题“(¬p)∧q”为真命题,则: ¬p,q 都是真命题; ∴p 假命题,q 真命题; ∴ ;

2

∴﹣3≤a<3; ∴实数 a 的取值范围为[﹣3,3) . 2 2 点评: 考查一元二次不等式解的情况和判别式△ 的关系,双曲线的标准方程中 x ,y 系数 的特点,以及(¬p)∧q 真假和 p,q 真假的关系. 19. (12 分)已知 f(x)=2x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象都过点 P(2,0) ,且在点 P 处有公 共切线,求 f(x) ,g(x)的表达式. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 3 2 分析: 利用 f(x)=2x +ax 与 g(x)=bx +c 在点 P 处有公共切线,可求切线的斜率,利用 函数 f(x)与 g(x)的图象都经过点 P(2,0) ,即可求得 f(x) ,g(x)的表达式. 3 解答: 解:∵函数 f(x)=2x +ax 的图象经过点 P(2,0) 3 ∴f(2)=2×2 +2a=0 ∴a=﹣8 3 ∴f(x)=2x ﹣8x 2 ∴f′(x)=6x ﹣8 2 ∴点 P 处的切线斜率 k=f′(2)=6×2 ﹣8=16 ∵g′(x)=2bx,两函数图象在点 P 处有公切线 ∴g′(2)=4b=16 ∴b=4 ∵g(x)=bx +c 的图象都过点 P(2,0) , ∴g(2)=16+c=0 ∴c=﹣16 ∴g(x)=4x ﹣16 3 2 ∴f(x)=2x ﹣8x,g(x)=4x ﹣16 点评: 本题主要考查函数解析式的求解,考查利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知 识,考查运算求解能力,属于基础题. 20. (12 分)如图,倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y =4x 的焦点,且与抛物线交于 A、B 两点, Q 为 A、B 中点, (1)求抛物线的焦点坐标及准线 l 方程;
2 2 2 3 2

(2)若 α≠

,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明:|AB|=2|PF|.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: (1)抛物线的方程是 y =4x,可得 =1,从而得到抛物线的焦点坐标和准线方程; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x0,y0) ,先根据抛物线的定义,推出|AB|=x1+x2+2, 再由 Q 为 A、B 中点,结合中点坐标公式可得|AB|=2x0+2.接下来求直线 m 的方程:运用点 A、B 的坐标代入抛物线方程,再作差,化简得到直线 AB 的斜率为 ,利用垂直直线
2

斜率的关系, 得到中垂线斜率为

, 所以直线 m 的方程为 y﹣y0=

. 最

后根据 m 方程得到点 P 的横坐标为 x0+2,得到|PF|=xp﹣1=x0+1,从而证出|AB|=2|PF|. 2 解答: 解: (1)∵抛物线的方程是 y =4x, ∴2p=4,可得 =1,抛物线的焦点坐标为(1,0) ,准线方程是 x=﹣1. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x0,y0) , 根据抛物线的定义,可得|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ , ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2 ∵Q 为 A、B 中点, ∴x1+x2=2x0,且 y1+y2=2y0.因此可得|AB|=2x0+2 2 ∵A、B 两点在抛物线 y =4x 上, 2 2 ∴y1 =4x1,且 y2 =4x2,两式相减,再分解得: (y1+y2) (y1﹣y2)=4(x1﹣x2) , ∴直线 AB 的斜率为 ,

因此,中垂线斜率满足

,所以

∴直线 m 的方程为 令 y=0,得 P 点横坐标为:xp=x0+2 所以|PF|=xp﹣1=x0+2﹣1=x0+1 ∴|AB|=2(x0+1)=2|PF|

点评: 本题给出抛物线的焦点弦的中垂线,要求我们证明一个恒等式,着重考查了抛物线 的定义和简单性质,以及直线与抛物线的位置关系等知识点,属于中档题. 21. (12 分)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h)随机选择了 n 名学生进行调 查,下表是这 n 名学生的日睡眠时间的频率分布表: 序号 i 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率 1 [4,5) 6 0.12 2 [5,6) 0.20 3 [6,7) a 4 [7,8) b 5 [8,9) 0.08 (1)求 n 值,若 a=20 将表中数据补全,并画出频率分布直方图 (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,若据此计算的上述数据的平 均值为 6.52,求 a,b 的值,并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在 7 小时以上的频率. 考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布表;频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意可得 n= =50,当 a=20 时,对应的频率为 =0.4,故 b 对应的频率

为 1﹣0.12﹣0.2﹣0.4﹣0.08=0.8,故频率 0.2 对应的频数为 50×0.2=10,0.08 对应的频率为 50×0.08=4,故可得到完整的频率分步表,由此画出频率分步直方图. (2)由题意可得 a+b=50﹣6﹣10﹣4=30,且 4.5×0.12+5.5×0.2+6.5× +7.5× +8.5×0.08=6.52,

由此求得 a 和 b 的值,从而求得学生的睡眠时间在 7 小时以上的频率. 解答: 解: (1)由题意可得 n= =50,当 a=20 时,对应的频率为 =0.4,故 b 对应的

频率为 1﹣0.12﹣0.2﹣0.4﹣0.08=0.8, 故频率 0.2 对应的频数为 50×0.2=10,0.08 对应的频率为 50×0.08=4. 故表格中的数据分别为:

序号 i 分组(睡眠时间) 1 [4,5) 2 [5,6) 3 [6,7) 4 [7,8) 5 [8,9) 频率分步直方图为:

频数(人数) 6 10 a=20 b=10 4

频率 0.12 0.20 0.4 0.2 0.08

(2)由题意可得 a+b=50﹣6﹣10﹣4=30,且 4.5×0.12+5.5×0.2+6.5× 即 a+b=30,且 13a+15b=420,解得 a=15,b=15. 故学生的睡眠时间在 7 小时以上的频率等于 +0.08=0.38.

+7.5×

+8.5×0.08=6.52,

点评: 本题主要考查频率分步表和频率分步直方图,用样本的频率估计总体的频率,体现 了数形结合的数学思想,属于基础题. 22. (12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最 大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由已知椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1,可得:a+c=3,a ﹣c=1,从而可求椭圆的标准方程; (2)直线与椭圆方程联立,利用以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0) ,结合根的判别 式和根与系数的关系求解,即可求得结论. 解答: (1)解:由题意设椭圆的标准方程为 由已知椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1, 可得:a+c=3,a﹣c=1, ,

∴a=2,c=1 ∴b =a ﹣c =3 ∴椭圆的标准方程为 ;
2 2 2

(2)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立 ,消去 y 可得(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,
2 2 2





因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0) ,∴kADkBD=﹣1,即

∴y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴ ∴7m +16mk+4k =0 解得: ,且均满足 3+4k ﹣m >0
2 2 2 2

当 m1=﹣2k 时,l 的方程 y=k(x﹣2) ,直线过点(2,0) ,与已知矛盾; 当 时,l 的方程为 ,直线过定点

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 点评: 本题考查椭圆的性质及应用,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用, 综合性强,属于中档题.


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