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全国高中数学联赛模拟试题(一)


全国高中数学联赛模拟试题(一)
(命题人:吴伟朝)

第一试
一、 选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、方程 6×(5a2+b2)=5c2 满足 c≤20 的正整数解(a,b,c)的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)5 2、函数 y ?
x2 (x∈R,x≠1)的递增区间是 x ?1

(A)x≥2 (C)x≤0

(B)x≤0 或 x≥2 (D)x≤ 1 ? 2 或 x≥ 2

3、过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A、B,使△AOB(O 为原点)的 面积最小,则 l 的方程为 (A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0 (C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0
? ?? 4、若方程 cos2x+ 3 sin2x=a+1 在 ?0, ? 上有两个不同的实数解 x,则参数 a 的取值范 ? 2?

围是 (A)0≤a<1 (B)-3≤a<1 (C)a<1 (D)0<a<1 5、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项是 (A)42 (B)45 (C)48 (D)51 6、在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中,满足条件 a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5 的排列 的个数是 (A)8 (B)10 (C)14 (D)16

二、 填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1 ×[x2+x]=19x+99 的实数解 x 是 . 2 2、设 a1=1,an+1=2an+n2,则通项公式 an= . 99 3、数 7 被 2550 除所得的余数是 . ? 5 4、在△ABC 中,∠A= ,sinB= ,则 cosC= . 13 3 5、设 k、?是实数,使得关于 x 的方程 x2-(2k+1)x+k2-1=0 的两个根为 sin?和 cos?, 则?的取值范围是 .

1、 [x]表示不大于 x 的最大整数, 则方程

6、数 5 ? 24

?

?

2n

(n∈N)的个位数字是



三、 (20 分)
已知 x、y、z 都是非负实数,且 x+y+z=1. 求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并确定等号成立的 条件.

四、 (20 分)
(1) 求出所有的实数 a,使得关于 x 的方程 x2+(a+2002)x+a=0 的两根皆为整数. (2) 试求出所有的实数 a,使得关于 x 的方程 x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a=0 有三个 整数根.

五、 (20 分)
试求正数 r 的最大值,使得点集 T={(x,y)|x、y∈R,且 x2+(y-7)2≤r2}一定被包 含于另一个点集 S={(x,y)|x、y∈R,且对任何?∈R,都有 cos2?+xcos?+y≥0}之中.

第二试
一、 (50 分)
设 a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z 是复数,且 z2-(a-c)z-b=0.

a 2 ? b ? ?a ? c ?z ? 1 的充分必要条件是(a-c)2+4b≤0. 求证: ac ? b

二、 (50 分)
如图, 在△ABC 中, ∠ABC 和∠ACB 均是锐角, BC 边上的内点,且 AD 平分∠BAC,过点 D 分别 条直线 AB、AC 作垂线 DP、DQ,其垂足是 P、Q, 直线 CP 与 BQ 相交与点 K.求证: (1) AK⊥BC; (2) AK ? AP ? AQ ?
2S △ ABC , 其中 S△ ABC 表 BC

A P K B D Q C

D 是 向 两 两 条

示△ABC 的面积.

三、 (50 分)
给定一个正整数 n,设 n 个实数 a1,a2,…,an 满足下列 n 个方程:

? i ? j ? 2 j ? 1 ( j ? 1,2,3,?, n) .
i ?1

n

ai

4

确定和式 S ? ?
i ?1

n

ai 的值(写成关于 n 的最简式子) . 2i ? 1

参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D

二、填空题: 181 1587 1、 ? 或 ; 38 38 3、343; 5、{?|?=2n?+?或 2n?-

2、7×2n-1-n2-2n-3; 4、
5 3 ? 12 ; 26

? ,n∈Z} ;6、1(n 为偶数) ;7(n 为奇数) . 2
1 ? 1 ? 1 ? 1 ?x ? y ? ?x ? z ? ?y ? z ? 或? 2或? 2 或? 2. 3 ? ? ? ?y ? 0 ?z ? 0 ?z ? 0

三、证略,等号成立的条件是 x ? y ? z ?

四、 (1)a 的可能取值有 0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040; (2)a 的可 能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax= 4 2 .

第二试
a ? c ? ? ?a ? c ? ? 4b ? i 一、证略(提示:直接解出 z ? ,通过变形即得充分性成立,然后利用 2
2

反证法证明必要性) . 二、证略(提示:用同一法,作出 BC 边上的高 AR,利用塞瓦定理证明 AR、BQ、CP 三线共 点, 从而 AK⊥BC; 记 AR 与 PQ 交于点 T, 则 可证∠APK<∠AKP) . 三、 S ? ?
1 ?1.
2 S △ ABC =AR>AT>AQ=AP,对于 AK<AP, BC

?2n ? 1?2


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