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2012新课标高考数学(文)一轮复习讲义(带详细解析):第三编-三角函数

§3.1 任意角及任意角的三角函数
一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2009· 江苏常州一模)已知角 α 是第三象限角,则角-α 的终边在第________象限. 解析 ∵α 是第三象限角,∴k· 360° +180°<α<k·360°+270° ,k∈Z,则-k· 360° -270° < -α<-k· 360° -180° ,k∈Z,则-α 的终边在第二象限. 答案 二 2.(2010· 连云港模拟)与 610° 角终边相同的角表示为______________. 解析 与 610° 角终边相同的角为 n· 360° +610° = n· 360° +360° +250° =(n+1)· 360° +250° =k· 360° +250°(k∈Z,n∈Z). 答案 k· 360° +250° (k∈Z) 1?sin 2θ 3.(2010· 浙江潮州月考)已知? ?2? <1,则 θ 所在象限为第________象限. 1?sin 2θ ?1?0 解析 ∵? ?2? <1=?2? ,∴sin 2θ>0, π ∴2kπ<2θ<π+2kπ (k∈Z),∴kπ<θ< +kπ (k∈Z). 2 ∴θ 表示第一或第三象限的角. 答案 一或三 π 3π 4.(2010· 南通模拟)已知角 θ 的终边经过点 P(-4cos α,3cos α)( <α< ),则 sin θ+cos θ= 2 2 ________. 解析 ∵r= (-4cos α)2+(3cos α)2 =5|cos α|=-5cos α, -4cos α 4 3cos α 3 ∴sin θ= =- ,cos θ= = . 5 -5cos α -5cos α 5 4 3 1 ∴sin θ+cos θ= - = . 5 5 5 1 答案 5 π π? 5.(2010· 福州调研)已知 θ∈? ?-2,2?且 sin θ+cos θ=a,其中 a∈(0,1),则关于 tan θ 的值, 以下四个答案中,可能正确的是________(填序号). 1 1 1 ①-3 ②3 或 ③- ④-3 或- 3 3 3 解析 在单位圆中,由三角函数线可知 a<1, π ? ∴θ 不在第一象限,θ∈? ?-2,0?, 又∵a>0,∴sin θ+cos θ>0, π ? ∴θ∈? ?-4,0?,∴tan θ∈(-1,0). 答案 ③ 6.(2009· 江西九江模拟)若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sin α<0,又 P(m,n)是角 α 终边 上一点,且|OP|= 10,则 m-n=________. ?n=3m, ? 解析 依题意知? 2 2 ?m +n =10. ? 解得 m=1,n=3 或 m=-1,n=-3, 又 sin α<0,∴α 的终边在第三象限, ∴n<0,∴m=-1,n=-3,∴m-n=2. 答案 2 |sin α| |cos α| 7.(2010· 山东济南月考)已知角 α 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上,则 - = sin α cos α
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________. 解析 ∵角 α 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上, 在角 α 的终边上取一点 P(x0,-3x0)(x0<0), ∴-3x0>0,∴P 在第二象限, |sin α| |cos α| sin α -cos α ∴ - = - =1+1=2. sin α cos α sin α cos α 答案 2 8.(2010· 南京模拟)某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋 转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示 成 t(s)的函数,则 d=________,其中 t∈[0,60]. 解析 将解析式可写为 d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知 A=10,当 t=0 时,d=0,得 π πt φ=0;当 t=30 时,d=10,可得 ω= ,故 d=10sin . 60 60 πt 答案 10sin 60 π 4 9.(2010· 泰州模拟)若 0<x< ,则 sin x______ 2x2(用“>”,“<”或“=”填空). 2 π 解析 利用数形结合,作出 y ?

π 4 2 x 在 (0 k , ) 的图象,同时作出 2 2 π

π x ? (0, ) 内的正弦线,由图象易得答案. 2
答案 > 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2010· 镇江模拟)已知角 θ 的终边上一点 P(- 3,m),且 sin θ= 与 tan θ 的值. m 2 = m, 2 4 m +3 若 m=0,则 cos θ=-1,tan θ=0. 若 m≠0,则 m=± 5. - 3 - 6 15 当 m= 5时,cos θ= = ,tan θ=- , 4 3 8 6 15 当 m=- 5时,cos θ=- ,tan θ= , 4 3 综上可知,当 m=0 时,cos θ=-1,tan θ=0; 6 15 当 m= 5时,cos θ=- ,tan θ=- ; 4 3 6 15 当 m=- 5时,cos θ=- ,tan θ= . 4 3 11.(16 分)(2010· 江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此 写出角 α 的集合: 3 1 (1)sin α≥ ;(2)cos α≤- . 2 2 解 ∵r= m2+3,∴ 解 (1) 作直线 y ? 2 m,求 cos θ 4

3 交单位圆于 A、B 两点,连结 OA、OB,则 2

OA 与 OB 围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的 集合为

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π 2 ? ? ?α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 3 3 ? ? (2)作直线 x ? ?

1 交单位圆于 C、D 两点,连结 OC、OD,则 OC 与 2

OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角 α的集合为 2 4 ? ? ?α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 3 3 ? ? 12.(16 分)(2010· 佳木斯模拟)角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a≠0), 角 β 终边上 的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin α· cos α+sin β· cosβ+tan α· tan β 的值. 解 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a), 点 Q 的坐标为(2a,a). -2a -2a sin α= 2 , 2= 5a2 a +(-2a) a a cos α= 2 , 2= 5a2 a +(-2a) -2a tan α= =-2, a a a sin β= , 2 2= 5a2 (2a) +a 2a 2a cos β= , 2 2= 5a2 (2a) +a a 1 tan β= = , 2a 2 故有 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β -2a a a 2a 1 = · + · +(-2)× =-1. 2 5a2 5a2 5a2 5a2

§3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 17 17 1.(2010· 南通模拟)cos(- π)-sin(- π)的值为___________________________. 4 4 17π 17π 17 17π 解析 cos(- )-sin(- )=cos π+sin 4 4 4 4 π π π π =cos(4π+ )+sin(4π+ )=cos +sin 4 4 4 4 2 2 = + = 2. 2 2 答案 2 sin(α-3π)+cos(π-α) 2.(2010· 江苏镇江一模)设 tan(5π+α)=m,则 的值为__________. sin(-α)-cos(π+α) sin(α-3π)+cos(π-α) 解析 sin(-α)-cos(π+α) sin(-4π+π+α)-cos α = -sin α+cos α

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sin(π+α)-cos α -sin α-cos α = -sin α+cos α -sin α+cos α sin α+cos α tan α+1 = = . sin α-cos α tan α-1 又 tan(5π+α)=m,∴tan(π+α)=m,tan α=m, m+1 ∴原式= . m-1 m+1 答案 m-1 sin α+cos α 3.(2009· 辽宁沈阳四校联考)已知 =2,则 sin αcos α=________. sin α-cos α 解析 由已知得:sin α+cos α=2(sin α-cos α),平方得: 3 1+2sin αcos α=4-8sin αcos α,∴sin αcos α= . 10 3 答案 10 4.(2008· 浙江理,8)若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=__________. 1 解析 由已知得 5sin(α+φ)=- 5(其中 tan φ= ), 即有 sin(α+φ)=-1, 所以 α+φ=2kπ 2 π π π 1 - -φ?= - ,α=2kπ- -φ(k∈Z),所以 tan α=tan? ? 2 ? tan φ=2. 2 2 答案 2 5.(2008· 四川理,5)设 0≤α<2π,若 sin α> 3cos α,则 α 的取值范围是____________. 解析 由 sin α> 3cos α 且 0≤α<2π, π π 当 cos α>0 时,tan α> 3,∴ <α< ; 3 2 π 4π 当 cos α<0 时,tan α< 3,∴ <α< ; 2 3 π 当 cos α=0 时,sin α=1 满足条件,此时 α= . 2 π 4π? 答案 ? ?3, 3 ? π? 6.(2010· 吉林长春调研)若 sin α+cos α=tan α ? ?0<α<2?,则 α 的取值范围是__________. π 解析 由 sin α+cos α=tan α,0<α< , 2 2 ∴tan α=1+2sin αcos α=1+sin 2α, π ∵0<α< ,∴0<2α<π, 2 ∴0<sin2α≤1,∴1<tan2α≤2, π ∵0<α< ,∴tan α>0, 2 π π ∴1<tan α≤ 2,而 2< 3,∴ <α< . 4 3 π π? 答案 ? ?4,3? 7.(2009· 苏州二模)sin21° +sin22° +sin23° +?+sin289° =________. 解析 sin21° +sin22° +sin23° +?+sin289° =sin21° +sin22° +?+sin245° +?+sin2(90° -2° )+sin2(90° -1° ) 2 =sin21° +sin22° +?+( )2+?+cos22° +cos21° 2 =

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1 1 89 =(sin21° +cos21° )+(sin22° +cos22° )+?+(sin244° +cos244° )+ =44+ = . 2 2 2 89 答案 2 1-x π 8. (2010· 浙江嘉兴月考)已知 f(x)= , 若 α∈( , π), 则 f(cos α)+f(-cos α)=________. 2 1+x 解析 = f(cos α)+f(-cos α)= 1-cos α + 1+cos α 1+cos α 1-cos α

1-cos α 1+cos α 2 + = |sin α| |sin α| |sin α| π ∵α∈( ,π),∴sin α>0, 2 2 ∴f(cos α)+f(-cos α)= . sin α 2 答案 sin α 4 9.(2009· 北京)若 sin θ=- ,tan θ>0,则 cos θ=____________________________________. 5 4 解析 ∵sin θ=- ,tan θ>0,∴cos θ<0, 5 3 ∴cos θ=- 1-sin2θ=- . 5 3 答案 - 5 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2010· 泰州模拟)化简: 1-cos4α-sin4α (1) ; 1-cos6α-sin6α π π (2) 2sin( -x)+ 6cos( -x). 4 4 (cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α 解 (1)方法一 原式= (cos2α+sin2α)3-cos6α-sin6α 2 2 2cos α· sin α 2 = 2 2 2 2 = . 3cos αsin α(cos α+sin α) 3 (1-cos2α)(1+cos2α)-sin4α 方法二 原式= (1-cos2α)(1+cos2α+cos4α)-sin6α sin2α(1+cos2α-sin2α) = 2 sin α(1+cos2α+cos4α-sin4α) 2cos2α = 2 2 1+cos α+(cos α+sin2α)(cos2α-sin2α) 2cos2α 2cos2α 2 = 2 = . 2 2 2 = 1+cos α+cos α-sin α 3cos α 3 1 π 3 π (2)原式=2 2[ sin( -x)+ · cos( -x)] 2 4 2 4 π π π π =2 2[sin sin( -x)+cos cos( -x)] 6 4 6 4 π π π =2 2cos( - +x)=2 2cos(x- ). 6 4 12 π 11.(16 分)(2010· 盐城模拟)已知 sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈(0, ),求 sin α、tan α 2 的值. 解 由 sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,得
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4sin2αcos2α+2sin αcos2α-2cos2α=0 2cos2α(2sin2α+sin α-1)=0 2cos2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. π 因为 α∈(0, ),所以 sin α+1≠0,且 cos α≠0, 2 1 所以 2sin α-1=0,即 sin α= , 2 π 3 所以 α= ,即 tan α= . 6 3 π 5 12 . (16 分 )(2009· 福 建 宁 德 模 拟 ) 已 知 0<α< , 若 cos α - sin α = - ,试求 2 5 2sin αcos α-cos α+1 1-tan α 的值. 5 1 解 ∵cos α-sin α=- ,∴1-2sin α· cos α= , 5 5 4 ∴2sin α· cos α= , 5 4 9 ∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+ = . 5 5 π 3 ∵0<α< ,∴sin α+cos α= 5, 2 5 5 与 cos α-sin α=- 联立解得: 5 5 2 cos α= ,sin α= 5. 5 5 2sin αcos α-cos α+1 cos α(2sin αcos α-cos α+1) ∴ = 1-tan α cos α-sin α 5 ?4 5 ? × 5 ?5- 5 +1? 5 9 = = - . 5 5 5 - 5

§3.3 和差倍角的三角函数

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 山东青岛模拟)cos 43° cos 77° +sin 43° · cos 167° 的值为________. 解析 原式=cos 43° cos 77° +sin 43° cos(90° +77° ) =cos 43° cos 77° -sin 43° sin 77° 1 =cos(43° +77° )=cos 120° =- . 2 1 答案 - 2 2.(2010· 南京模拟)已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 tan α=________. 解析 ∵cos(α+β)=sin(α-β), ∴cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β, 即 cos β(sin α-cos α)+sin β(sin α-cos α)=0,
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∴(sin α-cos α)(cos β+sin β)=0, ∵α、β 均为锐角, ∴cos β+sin β>0,∴sin α-cos α=0, ∴tan α=1. 答案 1 3.(2009· 湖北四校联考)在△ABC 中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则∠C 的大小 为________. 解析 两式平方相加可得 9+16+24sin(A+B)=37, 1 π 5 5 π 3 sin(A+B)=sin C= ,所以 C= 或 π.如果 C= π,则 0<A< ,从而 cos A> ,3cos A>1 2 6 6 6 6 2 π 与 4sin B+3cos A=1 矛盾(因为 4sin B>0 恒成立),故 C= . 6 π 答案 6 4.(2009· 湖南长沙调研)在锐角△ABC 中,设 x=sin A· sin B,y=cos A· cos B,则 x,y 的大 小 关系是________. 解析 方法一 ∵△ABC 为锐角三角形, π ∴A+B> ,∴cos(A+B)<0, 2 即 cos Acos B-sin Asin B<0, ∴cos Acos B<sin Asin B,即 y<x. 方法二 特殊值法 令 A=60° ,B=45° 3 2 6 x= × = 2 2 4 1 2 2 y= × = 2 2 4 ∴x>y. 答案 y<x sin 2α-cos 2α 5.(2009· 广东韶关模拟)已知 tan α=2,则 =________. 1+cos2α 2 2 2sin αcos α-(cos α-sin α) 解析 原式= (sin2α+cos2α)+cos2α 2sin αcos α-cos2α+sin2α = sin2α+2cos2α 2tan α-1+tan2α = tan2α+2 2×2-1+4 7 = = . 6 4+2 7 答案 6 1+tan x 1 6.(2010· 无锡模拟)若 =2 010,则 +tan 2x 的值为________. cos 2x 1-tan x 1+sin 2x (sin x+cos x)2 1 解析 +tan 2x= = cos 2x cos 2x cos2x-sin2x cos x+sin x 1+tan x = = =2 010. cos x-sin x 1-tan x 答案 2 010 7.(2010· 苏州调研)若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)· (1+ 3tan β)=4,则 α+β=________. 解析 由(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,
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tan α+tan β = 3, 1-tan αtan β 即 tan(α+β)= 3. 可得 π 又 α+β∈(0,π),∴α+β= . 3 π 答案 3 1 8.(2009· 江苏南通二模)已知 sin αcos β= ,则 cos αsin β 的取值范围是____________. 2 解析 方法一 设 x=cos αsin β, 1 则 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= +x, 2 1 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= -x. 2 ∵-1≤sin(α+β)≤1,-1≤sin(α-β)≤1, 1 3 1 -1≤ +x≤1 - ≤x≤ 2 2 2 ∴ ∴ 1 1 3 -1≤ -x≤1 - ≤x≤ 2 2 2 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 方法二 设 x=cos αsin β, 1 则 sin αcos βcos αsin β= x. 2 即 sin 2αsin 2β=2x. 1 1 由|sin 2αsin 2β|≤1,得|2x|≤1,∴- ≤x≤ . 2 2 1 1 答案 [- , ] 2 2 2 π 1 π 9.(2010· 苏、锡、常、镇四市调研)若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=________. 5 4 4 4 π π 解析 tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )] 4 4 π tan(α+β)-tan(β- ) 4 = π 1+tan(α+β)tan(β- ) 4 2 1 - 5 4 = 2 1 1+ × 5 4 3 = . 22 3 答案 22 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2008· 广东)已知函数 f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) (x∈R)的最大值是 1,其图象 π 1 ? 经过点 M? ?3,2?. (1)求 f(x)的解析式; π? 3 12 (2)已知 α、β∈? ?0,2?,且 f(α)=5,f(β)=13,求 f(α-β)的值. 解 (1)依题意知 A=1,则 f(x)=sin(x+φ).

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π 1? ?π ? 1 将点 M? ?3,2?代入得 sin?3+φ?=2, π 5 而 0<φ<π,∴ +φ= π. 3 6 π π x+ ?=cos x. ∴φ= ,故 f(x)=sin? ? 2? 2 π? 3 12 (2)依题意有 cos α= ,cos β= ,而 α、β∈? ?0,2?, 5 13 3?2 4 ∴sin α= 1-? ?5? =5, 12?2 5 sin β= 1-? ?13? =13, ∴f(α-β)=cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 3 12 4 5 56 = × + × = . 5 13 5 13 65 11.(16 分)(2010· 宿迁模拟)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= (1)求 cos(α-β)的值; π π 4 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- ,求 sin α 的值. 2 2 5 解 (1)a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β). |a-b|2=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2 =2-2cos(α-β), 16 5 ∴ =2-2cos(α-β),∴cos(α-β)= . 13 13 π π 4 (2)∵0<α< ,- <β<0 且 sin β=- , 2 2 5 3 ∴cos β= ,且 0<α-β<π. 5 5 12 又∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= . 13 13 ∴sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β 12 3 5 4 16 = × + ×(- )= . 13 5 13 5 65 12.(16 分)(2010· 常州模拟)求证: cos2α 1 = sin 2α. 1 α 4 -tan α 2 tan 2 cos2α cos2α 证明 方法一 左边= = α α α α cos sin cos2 -sin2 2 2 2 2 - α α α α sin cos sin cos 2 2 2 2 α α α α cos2αsin cos cos2αsin cos 2 2 2 2 = = α α cos α cos2 -sin2 2 2 α α 1 =sin cos cos α= sin αcos α 2 2 2 1 = sin 2α=右边. 4
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4 13 . 13

∴原式成立.

cos2α cos2αsin α 方法二 左边= = 2cos α 1+cos α 1-cos α - sin α sin α 1 1 = sin αcos α= sin2α=右边. 2 4 ∴原式成立. α α cos2αtan 2tan 2 1 2 2 方法三 左边= = cos α· α 2 α 1-tan2 1-tan2 2 2 1 1 = cos2α· tan α= cos αsin α 2 2 1 = sin 2α=右边. 4 ∴原式成立.

§3.4

三角函数的图象与性质
一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) π 1.(2009· 大连一模)y=sin(2x+ )的最小正周期是_____________________________. 6 π 2π 解析 ∵y=sin x 的周期为 2π,∴y=sin(2x+ )的周期为 =π. 6 2 答案 π x 2.(2010· 扬州模拟)y=2-cos 的最大值为__________,此时 x=________. 3 x x 解析 y=2-cos 的最大值为 3,此时 cos =-1, 3 3 x ∴ =2kπ+π,k∈Z,∴x=6kπ+3π(k∈Z). 3 答案 3 6kπ+3π(k∈Z) π 3.(2010· 盐城模拟)函数 y=tan( -x)的定义域是________________. 4 π π 解析 y=tan( -x)=-tan(x- ). 4 4 π π 要使 y=tan( -x)有意义,即 y=-tan(x- )有意义, 4 4 π π 3π 则 x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ (k∈Z). 4 2 4 3π 答案 {x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 4 4.(2009· 牡丹江调研)已知函数 y=2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的 平面图形,则这个封闭图形的面积是________. 解析 如图,y=2cos x 的图象在[0,2π]上与直线 y=2 围成封闭图形的面积为 S=4π,所以
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在[0,1 000π]上封闭图形的面积为 4π×500=2 000π.

答案 2 000π π π 5.(2010· 江苏盐城月考)已知函数 y=tan ωx 在(- , )内是减函数,则 ω 的取值范围是 2 2 ________________. π 解析 由已知条件 ω<0,又 ≥π, |ω| ∴-1≤ω<0. 答案 -1≤ω<0 π? ?π? ?π? ?π π? 6.(2008· 辽宁理,16)已知 f(x)=sin? ?ωx+3? (ω>0),f?6?=f?3?,且 f(x)在区间?6,3?上有最 小值,无最大值,则 ω=________. π? 解析 如图所示,∵f(x)=sin? ?ωx+3?, π? ?π? 且 f? ?6?=f?3?,

π π? 又 f(x)在区间? ?6,3?内只有最小值、无最大值, π π + 6 3 π ∴f(x)在 = 处取得最小值. 2 4 π π π ∴ ω+ =2kπ- (k∈Z). 4 3 2 10 ∴ω=8k- (k∈Z). 3 10 14 ∵ω>0,∴当 k=1 时,ω=8- = ; 3 3 π π? 10 38 14 , 内已存在最大值.故 ω= . 当 k=2 时,ω=16- = ,此时在区间? 6 3 ? ? 3 3 3 14 答案 3 7. (2009· 浙江宁波检测)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数, 若 f(x)的最小正周 π 5π ? ? ? 期是 π,且当 x∈? ?0,2?时,f(x)=sin x,则 f? 3 ?的值为________. 解析 由已知得: 5π? ? π π π π 3 2π- ?=f?- ?=f? ?=sin = . f? = f 3? ? 3? ?3? ?3? ? 3 2 3 答案 2 8.(2010· 连云港模拟)sin 2,cos 1,tan 2 的大小顺序是________________.
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sin 2>0,cos 1>0,tan 2<0. π ∵cos 1=sin( -1),sin 2=sin(π-2), 2 π π π 又 0< -1<π-2< 且 y=sin x 在(0, )上是增函数, 2 2 2 π 从而 sin( -1)<sin(π-2),即 cos 1<sin 2. 2 故 tan 2<cos 1<sin 2. 答案 tan 2<cos 1<sin 2 9.(2008· 全国Ⅱ理)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、N 两 点,则|MN|的最大值为________. 解析 设 x=a 与 f(x)=sin x 的交点为 M(a,y1), x=a 与 g(x)=cos x 的交点为 N(a,y2), 则|MN|=|y1-y2|=|sin a-cos a| ? π?? = 2? ?sin?a-4??≤ 2. 答案 2 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 5 3 10.(14 分)(2009· 福建莆田模拟)是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acos x+ a- 在闭区 8 2 π? 间? ?0,2?上的最大值是 1?若存在,求出对应的 a 值;若不存在,说明理由. 5 3 解 y=1-cos2x+acos x+ a- 8 2 2 a a 5 a 1 ?2 =-? ?cos x-2? + 4 + 8 -2 π 当 0≤x≤ 时,0≤cos x≤1, 2 a 若 >1,即 a>2,则当 cos x=1 时 2 5 3 20 ymax=a+ a- =1,∴a= <2(舍去). 8 2 13 a a 若 0≤ ≤1 即 0≤a≤2,则当 cos x= 时, 2 2 a2 5 1 ymax= + a- =1, 4 8 2 3 ∴a= 或 a=-4(舍去). 2 a 若 <0,即 a<0 时,则当 cos x=0 时, 2 5 1 ymax= a- =1, 8 2 12 ∴a= >0(舍去). 5 3 综上所述,存在 a= 符合题设. 2 x x x 11.(16 分)(2008· 陕西)已知函数 f(x)=2sin · cos + 3cos . 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; π? (2)令 g(x)=f? ?x+3?,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. x π? x x 解 (1)∵f(x)=sin + 3cos =2sin? ?2+3?, 2 2

解析

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2π ∴f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 x π ? 当 sin? ?2+3?=-1 时,f(x)取得最小值-2; x π? 当 sin? ?2+3?=1 时,f(x)取得最大值 2. (2)g(x)是偶函数.理由如下: x π? 由(1)知 f(x)=2sin? 2 ? +3?, π? 又 g(x)=f? ?x+3?, π π 1 x+ ? ? ∴g(x)=2sin?2? ? ? 3?+3? x π? x + =2cos . =2sin? 2 2 ? ? 2 x x ? ∵g(-x)=2cos? ?-2?=2cos2=g(x), ∴函数 g(x)是偶函数. 12.(16 分)(2010· 山东济宁第一次月考)设 a=?sin2

?

π+2x ,cos x+sin x?,b=(4sin x,cos x- 4 ?

sin x),f(x)=a· b. (1)求函数 f(x)的解析式; π 2π? (2)已知常数 ω>0,若 y=f(ωx)在区间? ?-2, 3 ?上是增函数,求 ω 的取值范围; 2π? ? π (3)设集合 A=?x|6≤x≤ 3 ?,B={x||f(x)-m|<2},若 A?B,求实数 m 的取值范围.
? ?

π+2x 解 (1)f(x)=sin2 · 4sin x+(cos x+sin x)· (cos x-sin x) 4 π ? 1-cos? ?2+x? =4sin x· +cos 2x 2 =2sin x(1+sin x)+1-2sin2x=2sin x+1, ∴f(x)=2sin x+1. (2)∵f(ωx)=2sin ωx+1,ω>0. π π 由 2kπ- ≤ωx≤2kπ+ , 2 2 2 k π π 2kπ π - , + ?,k∈Z. 得 f(ωx)的增区间是? ω 2 ω ω 2ω? ? π 2π? ∵f(ωx)在? ?-2, 3 ?上是增函数, π 2π? ? π π? ∴? ?-2, 3 ???-2ω,2ω?. π π 2π π ∴- ≥- 且 ≤ , 2 2ω 3 2ω 3 0, ? . ∴ω∈? ? 4? (3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2, 即 f(x)-2<m<f(x)+2. π 2 ∵A?B,∴当 ≤x≤ π 时, 6 3 不等式 f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立. ∴f(x)max-2<m<f(x)min+2,
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π? ?π? ∵f(x)max=f? ?2?=3,f(x)min=f?6?=2,∴m∈(1,4).

§3.5 三角函数的最值及应用

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) π 1.(2010· 连云港模拟)函数 y= 3sin( -2x)-cos 2x 的最小值为________. 3 π 1 3 π 解析 y= 3sin( -2x)-cos 2x= cos 2x- sin 2x=cos(2x+ ),其最小值为-1. 3 2 2 3 答案 -1 2π 2.(2010· 泰州模拟)若函数 y=2cos ωx 在区间[0, ]上递减,且有最小值 1,则 ω 的值可以 3 是________. 2 2 2 解析 由 y=2cos ωx 在[0,π]上是递减的, 且有最小值为 1, 则有 f( π)=1, 即 2×cos(ω× 3 3 3 2π 1 2 π 1 π)=1,即 cos ω= , πω= ,即 ω= . 3 2 3 3 2 1 答案 2 π π 3.(2010· 湖北黄石调研)设函数 f(x)=2sin( x+ ).若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成 2 5 立,则|x1-x2|的最小值为________. T 解析 f(x)的周期 T=4,|x1-x2|min= =2. 2 答案 2 4. (2009· 湖南株州模拟)函数 y=sin 2x 按向量 a 平移后, 所得函数的解析式是 y=cos 2x+1, 则模最小的一个向量 a=________. π 解析 ∵y=sin2(x+ )=cos 2x, 4 π ∴a=(- ,1). 4 π 答案 (- ,1) 4 π π 5. (2009· 广东惠州二模)函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0, |φ|< )在同一单调区间内的 x= 处取得最 2 9 1 4π 1 大值 ,在 x= 处取得最小值- ,则函数的解析式是________________________. 2 9 2 1 π 4π 2π 解析 由函数最大值可知 A= , 由于函数值当 x= 时最大, 当 x= 时最小, 可知 T= , 2 9 9 3 π 1 π 则 ω=3,再由 x= 时,y= 可确定 φ= . 9 2 6 1 π 答案 y= sin(3x+ ) 2 6 a+b, ab≤0, ? ? 6.(2010· 广西南宁检测)定义运算 a*b=?a 则函数 f(x)=(sin x)*(cos x)的 ?b, ab>0, ? 最小值为________.
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sin x+cos x, sin xcos x≤0 ? ? 解析 f(x)=? sin x ? ?cos x, sin xcos x>0

? ? 2sin? ?x+4?,kπ+2≤x≤kπ+π,k∈Z, =? π ?tan x,kπ<x<kπ+2,k∈Z,
可得最小值为-1. 答案 -1 7.(2010· 苏州调研)一半径为 10 的水轮,水轮的圆心距水面 7,已知水轮每分钟旋转 4 圈, 水轮上点 P 到水面距离 y 与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ω+φ)+7(A>0,ω>0),则 A= ________,ω=________. 解析 由已知 P 点离水面的距离的最大值为 17, ∴A=10, 又水轮每分钟旋转 4 圈, 60 2π ∴T= =15,∴ω= . 4 15 2π 答案 10 15 8. (2009· 徐州二模)函数 y=(sin x-a)2+1, 当 sin x=a 时有最小值, 当 sin x=1 时有最大值, 则 a 的取值范围是________________. 解析 ∵函数 y=(sin x-a)2+1 当 sin x=a 时有最小值, ∴-1≤a≤1, ∵当 sin x=1 时有最大值, ∴a≤0,∴-1≤a≤0. 答案 [-1,0] 9.(2009· 江苏)函数 y=Asin(ω x+φ )(A、ω 、φ 为常数,A>0,ω >0) 在闭区间[-π ,0]上的图象如图所示,则ω = . 解析 由函数 y=Asin(ω x+φ)的图象可知

π

π

T π 2 π ? (? ) ? (? π) ? , 2 3 3 3

2 π. 3 2π 2 ?T ? ? π,? ? ? 3. ? 3 ?T ?
答案 3 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) A A π 10.(14 分)(2010· 镇江模拟)已知函数 f(x)= - cos(2ωx+2φ) (A>0,ω>0,0<φ< ),且 y=f(x) 2 2 2 的最大值为 2,其图象上相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 φ; (2)计算 f(1)+f(2)+?+f(2 008). A A 解 (1)∵y= - cos(2ωx+2φ), 2 2 A A 且 y=f(x)的最大值为 2,A>0,∴ + =2,A=2. 2 2 又∵其图象上相邻两对称轴间的距离为 2,ω>0, 1 2π ? π ∴ ? =2,ω= . 2?2ω? 4 2 2 ?π ?πx+2φ?. ∴f(x)= - cos?2x+2φ? = 1 - cos ? ?2 ? 2 2
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π ? ∵y=f(x)过(1,2)点,∴cos? ?2+2φ?=-1. π ∴ +2φ=2kπ+π,k∈Z. 2 π 即 φ=kπ+ ,k∈Z. 4 π π 又∵0<φ< ,∴φ= . 2 4 π π? π π (2)∵φ= ,∴f(x)=1-cos? ?2x+2?=1+sin2x. 4 ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 又∵y=f(x)的周期为 4,2 008=4×502, ∴f(1)+f(2)+?+f(2 008)=4×502=2 008. 11.(16 分)(2010· 辽宁瓦房店月考)如图所示,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似 满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

解 (1)由图知,这段时间的最大温差是 30℃-10℃=20℃. (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ)+b 的半个周期的图象.

π 1 2π ? ? ? 14 ? 6, 解得 ? ? , 8 2 ? 1 1 由图知, A ? ? (30 ? 10) ? 10, b ? ? (30 ? 10) ? 20, 2 2 π 这时 y ? 10 sin( x ? ? ) ? 20, 8 3π . 将 x=6,y=10 代入上式,可取φ= 4
综上,所求的解析式为

π 3π y ? 10 sin( x ? ) ? 20, x ? [6,14]. 8 4
12. (16 分)(2010· 吉林延吉模拟)如图, 在一个奥运场馆建设现场, 现准备把一个半径为 3 m 的球形工件吊起平放到 6 m 高的平台上,工地上有一个吊臂长 DF=12 m 的吊车,吊车底 座 FG 高 1.5 m.当物件与吊臂接触后,钢索 CD 的长可通过顶点 D 处的滑轮自动调节并 保持物件始终与吊臂接触. 求物件能被吊车吊起的最大高度, 并判断能否将该球形工件吊 到平台上?

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吊车能把球形工件吊上的高度 y 取决于吊臂的张角θ ,由图可知,

y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5=DFsin θ ? 所以 y′= 12cos? ?

3 3 ? 3 ? 105 ? 12sin ? ? ? 3 ? 1.5. cos ? cos ?

3 ? sin ? , cos 2?

由 y′=0,得 12cos? ?

3sin ? , cos2? 4 3cos3? ? sin ? ,4 3 ? tan ? (1 ? tan2? ),

? tan ? ? 3 , ? ? 60?.
当 0°<θ <60°时,y′>0,y 单调递增, 同理,当 60°<θ <90°时,y′<0,y 单调递减, 所以θ =60°时,y 取最大值.

y max ? 12sin ? ?

3 ? 3 ? 1.5 ? 3 3 ? 1.5 ? 6.7(m). cos ?

所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到 6 m 高的桥墩上.

§3.6 解三角形

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 江苏靖江调研)在△ABC 中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则 A=________. 解析 ∵(a+b+c)(b+c-a) =(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc, ∴b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 1 π ∴cos A= = ,∴A= . 2bc 2 3 π 答案 3 2.(2010· 宿迁模拟)在△ABC 中,已知 acos A=bcos B,则△ABC 的形状为____________. cos A b 解析 由已知 acos A=bcos B 得 = , cos B a b sin B cos A sin B 又由正弦定理,得 = ,所以 = , a sin A cos B sin A 整理得 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2B. 因为 A、B 为三角形内角, 所以 2A=2B 或 2A=π-2B, π 所以 A=B 或 A+B= , 2 即△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形 3.(2010· 江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的 形状为_____________________________________________________. 解析 设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形
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的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角, 那么它为锐角三角形. 答案 锐角三角形 4.(2010· 浙江绍兴模拟)△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果 a,b,c 3 成等差数列,∠B=30° ,△ABC 的面积为 ,那么 b=__________. 2 解析 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 平方得 a2+c2=4b2-2ac. 3 又△ABC 的面积为 ,且∠B=30° , 2 1 1 1 3 故由 S△= acsin B= ac· sin 30° = ac= , 2 2 4 2 得 ac=6,∴a2+c2=4b2-12. 由余弦定理 a2+c2-b2 4b2-12-b2 b2-4 3 cos B= = = = . 2ac 4 2 2×6 2 解得 b =4+2 3. 又∵b 为边长,∴b=1+ 3. 答案 1+ 3 5 5.(2008· 四川,7)△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= b,A=2B, 2 则 cos B=________. a sin A 解析 由正弦定理得 = , b sin B 5 sin A 5 ∴a= b 可化为 = . 2 sin B 2 sin 2B 5 5 又 A=2B,∴ = ,∴cos B= . sin B 2 4 5 答案 4 6. (2010· 南通模拟)一船以每小时 15 km 的速度向东航行, 船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏 东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔 的距离为________km. 解析 如图,由已知 AB=60 km ∠MAB=30°,∠AMB=45°, 在△AMB 中,由正弦定理得

BM 60 ? sin 30? sin 45? ? BM ? 30 2 (km)
答案

3 2

7.(2009· 福建泉州二模)如图所示,我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察 所分别位于地面 C 处和 D 处,已知 CD=6 000 m,∠ACD=45° , ∠ADC=75° ,目标出现于地面 B 处时测得∠BCD=30° ,∠BDC=15° , 则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号). 解析 ∵∠ACD=45° ,∠ADC=75° , ∴∠CAD=60° . 在△ACD 中,由正弦定理可得
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2 2 AD CD = ,∴AD=6 000× =2 000 6. sin 45° sin 60° 3 2 BD CD 在△BCD 中,由正弦定理得 = , sin 30° sin 135° 1 ×6 000 2 ∴BD= =3 000 2 2 2 在 Rt△ABD 中,由勾股定可得 AB2=BD2+AD2, ∴|AB|= (3 000 2)2+(2 000 6)2=1 000 42(m). 答案 1 000 42 m 8.(2009· 江西宜泰模拟)线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小. 解析 如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶 到 E,则 AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD=200-80t,问题就 是求 DE 最小时 t 的值. 由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)· 50t =12 900t2-42 000t+40 000.

70 时,DE 最小. 43 70 答案 43
当t ? 9.(2009· 广东改编)已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 a=c= 6+ 2,且∠A=75° ,则 b=________. 2+ 6 解析 sin A=sin 75° =sin(30° +45° )=sin 30° cos 45° +sin 45° · cos 30° = . 4 由 a=c= 6+ 2可知,∠C=75° , 1 所以∠B=30° ,sin B= . 2 2+ 6 1 a 由正弦定理得 b= · sin B= × =2. sin A 2+ 6 2 4 答案 2 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) π 1 10.(14 分)(2009· 安徽)在△ABC 中,C-A= ,sin B= . 2 3 (1)求 sin A 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π 解 (1)由 C-A= 和 A+B+C=π, 2 π π 得 2A= -B,0<A< . 2 4 故 cos 2A=sin B, 1 3 即 1-2sin2A= ,sin A= . 3 3

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6 . 3 BC AC sin A 又由正弦定理,得 = ,BC= · AC=3 2. sin A sin B sin B π π ∵C-A= ,∴C= +A, 2 2 π ? sin C=sin? ?2+A?=cos A, 1 1 ∴S△ABC= AC· BC· sin C= AC· BC· cos A 2 2 1 6 = × 6×3 2× =3 2. 2 3 11.(16 分)(2009· 山东泰安第二次月考)在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1) 海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命 以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏 东 30° 的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间. 解 如图所示,设缉私船追上走私船需 t 小时, (2)由(1)得 cos A= 则有 CD= 10 3t, ,BD=10t. 在△ABC 中, ∵AB= 3 -1,AC=2, ∠BAC=45°+75°=120°. 根据余弦定理可求得 BC= 6 . ∠CBD=90°+30°=120°. 在△BCD 中,根据正弦定理可得 sin∠BCD=

BD ? sin?CBD 10t ? sin 120? 1 ? ? , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°,∠BDC=30°, ∴BD=BC= 6 ,则有 10t= 6 ,t=

6 =0.245(小时)=14.7(分钟). 10

所以缉私船沿北偏东 60°方向, 需 14.7 分钟才能追上走私船. 12.(16 分)(2010· 淮安模拟)在 2008 年北京奥运会垒球比赛前,中国教练布置战术时,要求 击球手与连接本垒游击手的直线成 15° 的方向把球击出.根据经验及测速仪的显示,通常 情况下球速为游击手最大跑速的 4 倍.问按这样的布置,游击手能不能接着球? 解 如图,设游击手能接着球,接球点为 B,而游击手从点 A 跑出,本垒为 O 点. 设从击出球到接着球的时间为 t,球速为 v,则∠AOB=15°, OB=vt,AB≤

v ·t. t

在△AOB 中,由正弦定理,得 sin∠OAB=

OB AB ? ,, sin ?OAB sin 15?

OB sin 15? 6? 2 ? ? 6 ? 2, , AB 4 而 ( 6 ? 2 ) 2 ? 8 ? 4 3 >8-4×1.74>1,
即 sin ∠OAB>1, ∴这样的∠OAB 不存在,
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因此游击手不能接着球.

§3.7 三角函数的综合应用

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) π 2 1.(2009· 济宁期末)已知 a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈( ,π),若 a· b= ,则 2 5 π tan(α+ )的值为________. 4 解析 a· b=cos 2α+2sin2α-sin α =1-2sin2α+2sin2α-sin α 2 =1-sin α= , 5 3 π ∴sin α= ,又 α∈( ,π), 5 2 4 3 ∴cos α=- ,tan α=- , 5 4 3 - +1 4 tan α + 1 π 1 ∴tan(α+ )= = = . 4 1-tan α 3 7 1-(- ) 4 1 答案 7 2.(2008· 江苏)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值是________. 1 1 解析 设 BC=x,则 AC= 2x,根据面积公式得 S△ABC= AB· BCsin B= ×2x 1-cos2B, 2 2 根据余弦定理得 AB2+BC2-AC2 4+x2-( 2x)2 4-x2 cos B= = = ,将其代入上式得 2AB· BC 4x 4x 128-(x2-12)2 4-x2?2 S△ABC=x 1-? = , 16 ? 4x ?

? 2x+x>2, 由三角形三边关系有? ?x+2> 2x,
解得 2 2-2<x<2 2+2, 故当 x=2 3时,即 x2-12=0 时, S△ABC 取得最大值 2 2. 答案 2 2 3.(2009· 肇庆期末)定义运算 a*b=a2-ab-b2,则 sin π π π π π π sin *cos =sin2 -sin cos -cos2 12 12 12 12 12 12 π π 1 π π =-(cos2 -sin2 )- ×2sin cos 12 12 2 12 12 π 1 π =-cos - sin 6 2 6 1+2 3 =- . 4 解析
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π π *cos =________. 12 12

1+2 3 答案 - 4 4.(2009· 广州第二次联考)已知 a,b,x,y∈R,a2+b2=4,ax+by=6,则 x2+y2 的最小值 为________. 解析 因为 a2+b2=4,可设 a=2sin α,b=2cos α, 则 xsin α+ycos α=3. y 故 x2+y2sin(α+φ)=3(其中 tan φ= ) x 3 2 2 即 x +y = , sin(α+φ) 故 x2+y2的最小值为 3. 即 x2+y2 的最小值为 9. 答案 9 5.(2010· 宿州模拟)若函数 f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是偶函数,则 cos 2α=________. 解析 ∵f(x)=(cos α-2sin α)sin x+(sin α-2cos α)cos x 是偶函数,故 cos α-2sin α=0, cos α=2sin α, ∴cos2α+sin2α=5sin2α=1, 1 3 即 sin2α= ,cos 2α=1-2sin2α= . 5 5 3 答案 5 1 1 6.(2010· 泰州调研)函数 f(x)=(sin2x+ )· (cos2x+ )的最小值是________. 2 009sin2x 2 009cos2x (2 009sin4x+1)(2 009cos4x+1) 解析 f(x)= 2 0092sin2xcos2x 2 4 4 2 009 sin xcos x+2 009(sin4x+cos4x)+1 = 2 0092sin2xcos2x 2 010 2 =sin2xcos2x+ - 2 0092sin2xcos2x 2 009 2 ≥ ( 2 010-1). 2 009 2 答案 ( 2 010-1) 2 009 7. (2009· 福建文)已知锐角△ABC 的面积为 3 3, BC=4, CA=3, 则角 C 的大小为________. 1 解析 由题知, ×4×3×sin C=3 3, 2 3 ∴sin C= . 2 π π 又∵0<C< ,∴C= . 2 3 答案 60° 8.(2010· 苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”,小时候在水上打“水漂”的游戏一定 不会忘记吧.现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源,在 t 秒内,它们引发的 2π 水面波动可分别由函数 y1=sin t 和 y2=sin(t+ )来描述,当这两个振动源同时开始工作 3 时,要使原本平静的水面保持平静,则需再增加一个振动源(假设不计其他因素,则水面 波动由几个函数的和表达),请你写出这个新增振动源的函数解析式______________. 2π 解析 因为 y1+y2+y3=sin t+sin(t+ )+y3=0 3 1 3 即 sin t+ cos t+y3=0, 2 2

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4π 所以 y3=sin(t+ )时符合题意. 3 2π 本题也可为 y3=sin(t- )(答案不惟一). 3 4π 答案 y3=sin(t+ ) 3 9.(2010· 南通模拟)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 (如图).如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ, 那么 cos 2θ 的值等于____________.

解析 ∵大正方形面积为 25,小正方形面积为 1, ∴大正方形边长为 5,小正方形的边长为 1. ∴5cos θ -5sin θ =1, ∴cos θ -sin θ = ∴1-sin 2θ =

1 . 5

1 24 ,∴sin 2θ = . 25 25

∵θ 是直角三角形中较小的锐角, ∴0<θ <

π π ,0 ? 2? ? . 4 2
2

∴cos 2θ = 1 ? sin 2? ? 答案

7 . 25

7 25

二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2008· 福建)已知向量 m=(sin A,cos A),n=( 3,-1),m· n=1,且 A 为锐角. (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos 2x+4cos Asin x (x∈R)的值域. 解 (1)由题意得 m· n= 3sin A-cos A=1, π ? 即 2sin? ?A-6?=1, π? 1 所以 sin? ?A-6?=2, π π π 由 A 为锐角得 A- = ,所以 A= . 6 6 3 1 (2)由(1)知 cos A= , 2 所以 f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x 1?2 3 =-2? ?sin x-2? +2. 因为 x∈R,所以 sin x∈[-1,1], 1 3 因此,当 sin x= 时,f(x)有最大值 ; 2 2 当 sin x=-1 时,f(x)有最小值-3.
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3? 所以所求函数 f(x)的值域是? ?-3,2?. 3 11. (16 分)(2010· 苏、 锡、 常、 镇四市调研)已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+ (ω∈R, 2 π x∈R)的最小正周期为 π,且图象关于直线 x= 对称. 6 (1)求 f(x)的解析式; π (2)若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在[0, ]上只有一个交点,求实数 a 的取值范围. 2 3 解 (1)∵f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+ 2 3 1 3 π = sin 2ωx- (1+cos 2ωx)+ =sin(2ωx- )+1, 2 2 2 6 ∵函数 f(x)的最小正周期为 π, 2π ∴ =π,即 ω=± 1, |2ω| π ∴f(x)=sin(± 2x- )+1. 6 π ①当 ω=1 时,f(x)=sin(2x- )+1, 6 π π ∴f( )=sin +1 不是函数的最大值或最小值, 6 6 π ∴其图象不关于 x= 对称,舍去. 6 π ②当 ω=-1 时,f(x)=-sin(2x+ )+1, 6 π π ∴f( )=-sin +1=0 是最小值, 6 2 π ∴其图象关于 x= 对称. 6 π 故 f(x)的解析式为 f(x)=1-sin(2x+ ). 6 π (2)∵y=1-f(x)=sin(2x+ )在同一坐标系中作出 6 π y=sin(2x+ )和 y=a 的图象: 6

由图可知,直线 y=a 在 a∈ [ ? ∴a∈ [ ?

1 1 , ) 或 a=1 时,两曲线只有一个交点, 2 2

1 1 , ) 或 a=1. 2 2

12.(16 分) (2009·浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3. 2 5
(1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.
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A 2 5 (1)因为 cos = , 2 5 A 3 4 所以 cos A=2cos2 -1= ,sin A= . 2 5 5 解 又由 AB ? AC ? 3 得 bccos A=3, 所以 bc=5, 1 因此 S△ABC= bcsin A=2. 2 (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 所以 b=5,c=1,或 b=1,c=5. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=20, 所以 a=2 5.

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