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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(2)


湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(二) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为 . . . ,最小值是 . 2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是 2 5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数 . y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有 个零点. 7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 . 8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中 (第 7 题) 的一种.其中镀 2 金 2 银的概率是 . 9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? ,且 cos ? ? 10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10 . 10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是 a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1 . 二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C : x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 4 3 4 x2 OM ? OA ? OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. 5 5 2 12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 . 13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3x 都是完全平方数. 2 2 高中数学竞赛(预赛)训练试题(二)详细解答 一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为 . 提示与答案:x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 提示与答案:与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [ . k?

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