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函数的单调性、奇偶性及周期性综合训练卷


函数的单调性、奇偶性及周期性综合训练卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且最小值为 1,则 f(x)在[-b,-a]上是( ) A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最小值是-1 D.减函数且最大值是-1 2.函数 f ( x ) ? A. 0 ? a ?

1 2

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是( ) x?2 1 B. a ? C.a<-1 或 a>1 D.a>-2 2
a b a b

3.已知 0<a<b<1,设 a , a , b , b 中最大为 M,最小为 m,那么( ) A. M ? a a , m ? b b B. M ? b b , m ? a a C. M ? a b , m ? b a ) D. 2 ? 2 ? 2
a c

D. M ? b a , m ? a b

4.函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b) ,则必有( A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C. 2
?a

? 2c

5.若 f(x)是奇函数,那么 y=f(x)反函数一定是( ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数

D.无法确定其奇偶性

6.设 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-2)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.不具有单调性 D.单调性由 m 确定

7.函数 f ( x) ? loga | x ? 1 | 在(0,1)上递减,那么 f(x)在(1,+∞)上是( ) A.递减且无最小值 B.递增且无最大值 C.递减且有最小值 D.递增且有最大值 8.已知函数 f(x)的最小正周期是 8,且等式 f(4+x)=f(4-x)对一切实数 x 成立,则 f(x) ( ) A.是偶函数不是奇函数 B.是奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数 9.如果 f(x)对一切实数 x 均有 f(a+x)=f(b+x) ,则 f(x)是( ) A.对称轴为 x ? C.以 T ?

a?b 的函数 2

B.对称轴为 x ?

a?b 为周期的函数 2

| a ?b| 的函数 2 | a?b| D.以 T ? 为周期的函数 2

10.函数 y ?

4 x 2 ? 1 的单调性
1 1 4 4 1 1 D.在 [ ,?? ) 上单调递减,在 ( ?? ,? ] 上单调递增 2 2
B.在 [ ,?? ) 上单调递减,在 (?? , ] 上单调递增 )

1 1 4 4 1 1 C.在 [ ,?? ) 上单调递增,在 ( ?? ,? ] 上单调递减 2 2

A.在 [ ,?? ) 上单调递增,在 ( ?? ,? ] 上单调递减

11.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,则下列各点中,不在函数 y=f(x)图象上的点是( A.(-a,f(a) ) B.(-a,f(-a) ) C.(-a,-f(-a) ) D.(a,f(-a) ) 12.已知函数 f ( x) ?a n x ? an?1 x
n n?1

? ? ? a1 x ? a0 是奇函数,则 a0 等于( )
C.1
1

A.-1

B.0

D.不能确定

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.定义在[-1,1]上的函数 y=f(x)是减函数,且是奇函数,若 f (a2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,则实 数 a 的取值范围是_______。

1 ? a 是奇函数,则常数 a=_________。 3 ?1 x x ? (a>0 且 a≠1)的奇偶性是________。 15.函数 y ? x a ?1 2
14.已知 f ( x ) ?
x

16.已知函数 f(x)在(0,+∞)上有意义,且单调递增,并且满足:对任意的 x、y∈(0,+∞) ,都 有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则不等式 f(x)<0 的解集是_________. 三、解答题(74 分) 17.若 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,它们有相同的定义域,且 f ( x ) ? g ( x ) ? (x)的表达式。 (12 分) 18.已知函数 f ( x) ? x 3 ? x, x ? R (1)指出 f(x)在定义域 R 的奇偶性与单调性; (只须写出结论,无须证明) (2)若 a,b,c∈R,且 a+b>0,b+c>0,c+a>0, 证明:f(a)+f(b)+f(c)>0。 (12 分) 19 . 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 且 对 于 定 义 域 内 任 意 的 x1 ? x 2 , 有

1 ,求 f(x) ,g x ?1

f ( x1 ? x2 ) ?

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论。 (12 分) f ( x2 ) ? f ( x1 )
x y

20.设 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且在(0,+∞)是递增的, f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)设 f(2)=1,解不等式 f ( x) ? f (

1 ) ? 2。 (12 分) x?3

21.如图 1-3-1 由 A 城运物到 B 城,先走一段水路 AD,再走一段公路 DB,已知水路运费是公路运费的 一半,AC=40 公里,BC=30 公里,问码头 D 建在何处才能使运费最省?(12 分)

22.已知 f ( x) ? x ? c ,且 f [ f ( x)] ? f ( x ? 1) 。
2 2

(1)设 g(x)=f[f(x)],求 g(x)的解析式; (2)设? ( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问是否存在实数λ ,使? ( x) 在(-∞,-1)递减,且在(-1,0)上递增? (14 分)
2

参考答案 一、 1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C 11.C 12.B

二、13. 1 ? a ? 14.

? 3 ? 33 2

1 2

15.偶函数 16. (0,1) 三、17.解:∵ f ( x ) ? g ( x ) ?

1 1 ①,∴ f (? x) ? g (? x) ? ①′, x ?1 ? x ?1

∵f(x)是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ,g(x)是奇函数 ? g (? x) ? ? g ( x) , ∴①′ ? f ( x) ? g ( x ) ? ①+②得: f ( x ) ?

1 ②, ? x ?1

1 , x ?1 x ①-②得: g ( x ) ? 2 。 x ?1
2

18.解: (1)f(x)是定义域 R 上的奇函数且为增函数。 (2)由 a+b>0 得 a>-b,由增函数 f(a)>f(-b),且奇函数 f(-b)=-f(b) ,得 f(a)+f(b)>0。同理可得 f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0。 相加得:f(a)+f(b)+f(c)>0。 19.解:∵ f ( x1 ? x2 ) ?

1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 )

?

1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) ?? ? ? f ( x1 ? x2 ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 )

设 x ? x1 ? x2 ,则 ? x ? x2 ? x1 ,∴f(-x)=-f(x) ; 又∵f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)为奇函数。 20. (1)证明: f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,令 x=y=1, 则有:f(1)=f(1)-f(1)=0,

x y

x 1 f ( xy) ? f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? f ( x) ? [ f (1) ? f ( y )] ? f ( x) ? f ( y ) 。 1 y y
(2)解:∵ f ( x) ? f (

1 ) ? f ( x) ? [ f (1) ? f ( x ? 3)] x?3
3

? f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ? 3x) ,
∵2=2×1=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4) , ∴ f ( x) ? f (

1 ) ? 2 等价于: f ( x 2 ? 3x) ? f (4) ①, x?3

且 x>0,x-3>0[由 f(x)定义域为(0,+∞)可得]。 ∵ x( x ? 3) ? x 2 ? 3x ? 0 ,4>0,又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴① ? x ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4 。又 x>3,
2

∴原不等式解集为:{x|3<x≤4}。 21.解:设 AD=x 公里,则 CD=40-x 公里, BD ?

(40 ? x) 2 ? 30 2 公里。设每公里的水路费用 m,则

2 2 每公里的路费为 2m,由 A 城到 B 城的货物的总运费为: M ? mx ? 2m (40 ? x) ? 30 ①。令 y ?

M 显 m

然要求 M 最小值,只要求 y 最小值即可。把①整理得: 3x 2 ? 2(160? y) x ? (10000? y 2 ) ? 0 ①′,对方 程 ① ′ ? ? 0 ? 4(16 ? y) 2 ? 12(10000? y) 2 ? 0 ? y ? 40 ? 30 3 或 y ? 40 ? 30 3 ? 0 ( 舍 去 ) 。把 。 y ? 40 ? 30 3 代入①′解得 x ? 10(4 ? 3) ? 23 (公里) 答:将码头建在离 A 城约 23 公里处,运费最省。 22.解: (1)∵ f ( x) ? x 2 ? c ,∴ f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? c , ∴ g ( x) ? f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? c) ? ( x 2 ? c) 2 ? c 。 又 f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? c ? ( x 2 ? c) 2 ? c ? c ? 1 , ∴ g ( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 。 (2) ? ( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ? ? ( x 2 ? c) ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? 2 ? ? , 任取 x1 ? x 2 ,
4 4 2 2 2 则 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? x1 ? (2 ? ? ) x12 ? x2 ? (2 ? ? ) x 2 ? ( x12 ? x2 )(x12 ? x2 ? 2 ? ? ) ①。 2 2 ? ( x) 在 (??,?1) 上递减 ? x2 ? x1 ? ?1 ? x12 ? x2 ? x12 ? x2 ? 0 , x1 ? x 2 且 ? ( x) 递减 ? ①<0,又 2 x12 ? x2 ? 0,

则: x1 ? x2 ? 2 ? ? ? 0 恒成立 ? ? ? x1 ? x2 ? 2 ,
2 2 2 2 2 2 x2 ? x1 ? ?1 ? 1 ? x12 ? x2 ? x12 ? x2 ? 2 ? 4 ? ? ? 4 ①′。

4

2 2 ? ( x) 在(-1,0)上递增 ? ?1 ? x2 ? x1 ? 0 ? x12 ? x2 ? x12 ? x2 ? 0。 2 x1 ? x 2 且 ? ( x) 递增 ? ①>0,又 x12 ? x2 ? 0, 2 2 则 x1 ? x2 ? 2 ? ? ? 0 恒成立 2 2 2 ? ? ? x12 ? x2 ? 2 , ? 1 ? x2 ? x1 ? 0 ? 0 ? x12 ? 2 2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 ? ? ? 4

②′,由①′、②′知 ? ? 4 。 [解题点拨] 7.本题实质是复合函数单调性问题,在全体定义域内 f(x)是分段复合函数,故要分段讨论 f(x)的 单调性。 12.充分利用隐含条件:定义域为 x ? R ,故 f(0)=0。 16.对于 f(x)的表达式无法直接求出,则 f(x)<0 就无法象解别的具体的不等式一样求解,常可尝 试利用函数单调性来求解,但先得把 0 化成 f(a)的形式。 22.本题综合性较强,考查的是复合函数解析式求法、恒等式成立的条件、复合函数单调性等知识点。 对于第(2)问,通常可用函数单调性定义来求解,也可以从复合函数角度结合二次函数性质来求解。

5


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