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2013年湖南省省重点高中自主招生测评数学试题卷


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2013 年湖南省省重点高中自主招生测评数学试题卷
时间:4 月 8 日 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号码写在答题卡和本试卷上,并认真核对答题卡条形码上 的准考证号码。 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效。 3.考生在答题卡上作答的要求如下: ⑴选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框,修改时不留痕迹; ⑵非选择题部分请按题号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无 效; ⑶请勿折叠答题卡,并保持字体工整、笔迹清晰、卡面整洁。 4.本试题卷共 6 页。如缺页、漏印、字迹模糊,考生须及时报告监考老师,否则后果自负。 时量:100 分钟 满分:120 分
[来源:Zxxk.Com]

一.单项选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1.当 k ? 0 , b ? 0 时, y ? kx ? b 的图象经过 ( (A) 第 1、2、3 象限 (B) 第 2、3、4 象限 )
[来源:学|科|网]

(C) 第 1、2、4 象限

(D) 第 1、3 、4 象限

2. 某星球的体积 约为 663542 1 km3 , 用科学计数法 (保留三个有效数字) 表示为 6.64 ?10n km3 , 则 n ?( A. 4 )
[来源:Zxxk.Com]

B. 5

C. 6

D. 7 )

3.将长方体截去一个几何体,得到的几何体如右图所示 ,则该几何体的左视图为(

4. 下列图形不一定相似的是( A.所有的矩形 C.所有的等边三角形



B.所有的等腰直角三角形 D.所有边数相等的正多边形

5. 如图,将长方形 ABCD 分割成 1 个灰色长方形与 194 个面积相等的小正方形。根据右图,若灰 色长方形之长与宽的比为 10:9,则 AD : AB ? ( A.10:9 C.12:11 B.8:7 D.52:47 )

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6. 如图所示,扇形 AOB 的圆心角为 120°,半径 为 2,则图中阴影部分的面 积为( A.



4? ? 3 3
4? 3 ? 3 2

B.

2? ? 3 3
2? 3 ? 3 2
2

C.

D.

7. 一次函数 y ? ax ? b 与二次函数 y ? ax ? bx ? c 在同一坐标系中的图像可能是(



A 8. 如图, 直线 y=-

B

C y

D
B' O' B

3 x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点, 把△AOB 3 )

绕点 A 顺时针旋转 60° 后得到△AO'B',则点 B'的坐标是( A.(4, 2 3) C.( 3,3) B.(2 3,4) D.(2 3,2 3)

x
O A

二、填空题(每小题 4 分,共 32 分) 9. 若α >0且 =2, =3,则 的值为

10. 如图 ,AB 是⊙ O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点, AD⊥CD 于点 D.∠AOC= 50? ,则∠ACD= 11. 分解因式: 9 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 12. 如图,已知反比例函数: y ? 。 。

k k1 k ,y ? 2 ,y ? 3 x x x

在 x 轴上方的图象,则 k1 , k 2 , k 3 的大小依次排列 为 。 (从大到小排列)

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13. 为了估计水库中的鱼的尾数, 可以使用以下的方法: 先从水库中捕出一定数量的鱼, 例如 2000 尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼 充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如 500 尾,查看其中有记号的鱼,设有 40 尾.试根 据上述数据,估计水库内鱼的尾数是 14.当宽为 3cm 的刻度尺的一边与圆相切时,另一边 与圆的两个交点处的读数如图所示(单位:cm) , 那么该圆的半径为 15. 观察下列各式:
2?3?5 2 ? 3 ? 5 ? 10 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 17 2 ? 3 ? ? ? 9 ? 26 ??

尾.

cm.

你会发现什么规律?请将你想到的规律,用只含一个字母n的式子表示出来. 。 16. 将矩形 ABCD 折叠,使得对角线的两个端点 A、C 重合,折痕所在直线交直线 AB 于点 E, 如果 AB = 4,BE = 1,那么∠CAB 的正切值是 三、解答题(共 56 分) 17. (本小题满分 10 分) 先化简,再求值: (
[来源:学*科*网] [来源:学+科+网 Z+X+X+K]



a?2 8 a?2 ,其中 a ? 2sin 60? ? 2tan 45? . ? )? 2 2 a a ? 2a 4 ? a

18. (本小题满分 10 分) 街头有这样的一个游戏;在不透明的箱子里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其 1 余都相同) ,其中白球有 2 个,黄球有 1 个,现知从中任意摸出一个是白球的概率为 . 2 ( 1)试求袋中蓝球的个数. (2)游戏规定:第一次任意摸一个球(不放回) ,第二次再摸一个球,两次摸到都是白球的 就中特等奖。请用画树状图法,求中特等奖的概率.

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19. (本小题满分 12 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交 BC 于 D,E 为 AB 上一点,DE=DC,以 D 为圆心,以 DB 的长为半径画圆。 求证: (1)AC 是⊙D 的切线; (2)AB+EB=AC。

20. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,A(0,3) ,B(3,0) ,过 B 作直线 BC ? x轴 ,一个动点 N 自 OA 的中点 M 出发,沿直线先到达 x 轴上的 E 点,再到直线 BC 上的 F 点,最后到达点 A。 (1) 求多边形 AMEF 面积的最小值; (2) 求使 N 点运动的总路径最短的 E 点、F 点的坐标,并求出这 个最短的总路径的长。

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21. (本小题满分 12 分) 某公司计划投资 A、B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润 W 与投资量 x 成正比 例,其关系如图 1,B 产品的利润 P 与投资量 x 的算术平方根成正比例,其关系如图 2,(注:利 润与投资量单位:万元) (Ⅰ)分别将 A、B 两产品的利润 W , P 表示为投资量 x 的函数关系式; (Ⅱ)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品中,公司获得的总利润为 y 万元。 问:怎样分配这 10 万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

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2013 年省重点高中自主招生测评-----数学
参考答案
一.单项选择题(每小题 4 分,共 32 分)

1-8 DCDA DACB 二、填空题(每小题 4 分,共 32 分)
9.

2 3

10. 25? 14. 25 6

11. (3x ? y ? 2)(3x ? y ? 2)

12. k1 , k3 , k2
2

13. 25000 16.

15. 2 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1) ? 1

2 6 或 (只填一个记 2 分,有一个填错不计分) 2 2

三、解答题(共 56 分)
17(本小题满分 10 分)
a?2 解:原式 ? ? ? ? ? a(a ? 2) ? a …………………………………………(3 分) 8 ? (a ? 2)(a ? 2) ? ? a?2

?

1 (a ? 2)2 a .…………………………………………(6 分) ? ? a(a ? 2)(a ? 2) a ? 2 a ? 2
1 3?2?2 ? 3 .……………(10 分) 3

当 a ? 2sin 60? ? 2 tan 45? ? 3 ? 2 时,原式= 18(本小题满分 10 分) 解:⑴设蓝球个数为 x 个 ,则由题意得 答:蓝球有 1 个 (2)
白1 白2

2 1 ? 2 ?1? x 2

, x ?1

……………………………………(3 分)





…………(5 分) …………………(8 分) ………………(9 分)

白2 黄 蓝

白1 黄 蓝

白 1白 2 蓝

白1 白2 黄



两次摸到都是白球的概率 =

2 1 = 12 6

答:中特等奖的概率为

1 。 6

…………………………………………(10 分)

19(本小题满分 12 分) 证明: (1)过点 D 作 DF⊥AC 于 F ∵AD 是∠A 的平分线,∴∠BAD=∠FAD 在△ADB 与△ADF 中,∠B=∠AFD=90°,∠BAD=∠FAD,AD=AD ∴△ADB≌△ADF ……………(3 分) ∴DF=DB,DF 是⊙D 的半径,∴AC 是⊙D 的切线……………(6 分) (2)在 Rt△EDB 与 Rt△CDF 中,DF=DB,DE=DC

A

E F B D C

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∴Rt△EDB≌Rt△CDF ……………(10 分) ∴EB=FC 又 AB=AF,∴AC=AF+FC=AB+EB……………(12 分) 20(本小题满分 12 分) 解: (1)由题设可知 M 的坐标是 ? 0, ? ,连接 MF, 则多边形 AMEF 的面积=三角形 AMF 的面积+三角形 MEF 的面积 易知三角形 AMF 的面积=

? ?

3? 2?

1 9 ? AM ? 3= 2 4
9 …………………(5 分) 4
? ? 3? ?、 2?

当 E,F 重合时,MEF 为一条线段,面积为 0, 所以,多边形 AMEF 面积的最小值为

(2)取点 M 关于 x 轴的对称 P,及点 A 关于对称轴 BC 的对称点 Q ,则 P ? 0,? Q(6,3)。

? ME+EF+FA=PE+EF+FQ
当 P,E,F,Q 四点在一条直线上时,总路径最短。…………………(8 分) 则直线 PQ 与 x 轴的交点 E、与对称轴 BC 的交点 F 为所求的点,其最短距离为线段 PQ。 设直线 PQ 的解析式为 y ? ax ? 则有 6a ?

3 2

3 3 3 3 ∴ y ? x? ? 3 ,∴ a ? 2 4, 4 2 3 当 x=3 时, y ? ;当 y=0 时,x=2 4 3 ∴ E(2,0),F(3, ) 4 9 ∵ AQ =6,AP = 2
2

…………………(10 分)

9? 15 ∴ A'M' = AP 2 ? AQ 2 ? 6 2 ? ? ? ? ? ,即 ME+EF+FA 的最小距离为 ?2? 2

15 。……(12 2

分) 21(本小题满分 12 分) 解:(1)设投资 x 万元,A 产品的利润为 W 万元,B 产品的利润为 P 万元。
1 由题意设 W =k1x, P =k2 x ,由图知当 x=1。5 时, W =0.3,∴k1= . 5

又当 x=9 时,P=2.4,∴k2=

4 1 4 .从而 W= x (x≥0),P= x (x≥0) 5 5 5

……………(5 分)

(2)设 B 产品投入 x 万元,则 A 产品投入 10-x 万元,设企业总利润为 y 万元. y=W+P=

10 ? x 4 ? x (0≤x≤10) 5 5

……………(8 分)

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x =t,则 y=

1 10 ? t 2 4 2 14 ? t =- (t-2) + (0≤t≤ 10 ) . 5 5 5 5

……………(10 分)

当 t=2 时,ymax=

14 =2.8,此时 x=4. 5

答:当 A 产品投入 6 万元,B 产品投入 4 万元时,该企业获得最大利润为 2.8 万元……(12 分)
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