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计算机学院2012级工程硕士《离散数学》课程试卷

湖北工业大学
2012 级工程硕士离散数学 试卷
一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1 .设

A ? {x | (x ? N )且 (x ? 5)}, B ? {x | x ? E ? 且x ? 7}(N :自然数

集,E+ 正偶数) 则 A ? B ? {0,1,2,3,4,6} 。 2.A,B,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 。 A C B

3.设 P,Q 的真值为 0,R,S 的真值为 1,则

?( P ? (Q ? ( R ? ?P))) ? ( R ? ?S ) 的真值=
4 . 公 式

1 的 主 合 取

。 范 式 为

( P ? R) ? (S ? R) ? ?P

。 5.若解释 I 的论域 D 仅包含一个元素,则 ?xP( x) ? ?xP( x) 6.设 A={1,2,3,4},A 上关系图为 在 I 下真值为 1 。

则 R2 = 7.设 A={a,b,c,d},其上偏序关系 R 的哈斯图为

1

则 R=

8 . 图 为

的 补 图

。 9.设 A={a,b,c,d} ,A 上二元运算如下: * a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c ,它们的逆 。

那么代数系统<A,*>的逆元是 ,有逆元的元素为 元分别为 。 10.下图所示的偏序集中,是格的为 C

二、选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 请在每小题的空格中填上惟一正确答案。错选、不选均无分。
1.下述命题公式中,是重言式的为(C ) 。 A) ( p ? q) ? ( p ? q) ; B) ( p ? q) ? (( p ? q)) ? (q ? p)) ; C) ?( p ? q) ? q ; D) ( p ? ?p) ? q ) 。

2. ?( p ? q) ? r 的主析取范式中含极小项的个数为(C

2

A )2; B) 3; 3.给定推理

C)5;

D)0;

E)8 。

① ?x( F ( x) ? G( x)) ② F ( y) ? G( y) ③ ?xF ( x) ④ F ( y) ⑤ G( y) ⑥ ?xG( x)

P US① P ES③ T②④I UG⑤

? ?x( F ( x) ? G( x)) ? ?xG( x)
推理过程中错在( C ) 。 A)①->②; B)②->③; C)③->④; D)④->⑤; E)⑤->⑥ 4.设 S1={1,2,…,8,9},S2={2,4,6,8},S3={1,3,5,7,9},S4={3,4,5}, S5={3,5},在条件 X ? S1 且 X ? S3 下 X 与( C )集合相等。 A)X=S2 或 S5 ; B)X=S4 或 S5; C)X=S1,S2 或 S4; D)X 与 S1,…,S5 中任何集合都不等。 5.设 R 和 S 是 P 上的关系, P 是所有人的集合, R ? {? x, y ?| x, y ? P ? x是y的父亲 },

S ? {? x, y ?| x, y ? P ? x是y的母亲 } 则 S ?1 ? R 表示关系 ( A
A) {? x, y ?| x, y ? P ? x是y的丈夫 }; B) {? x, y ?| x, y ? P ? x是y的孙子或孙女 }; C) ? ;

) 。

}。 D) {? x, y ?| x, y ? P ? x是y的祖父或祖母
6.下面函数( B )是单射而非满射。 A) f : R ? R, B) f : Z ? R, C) f : R ? Z , D) f : R ? R,
?

f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 1; f ( x) ? ln x ;
f ( x) ? [ x],[ x]表示不大于 x的最大整数;
f ( x) ? 2 x ? 1 。

其中 R 为实数集,Z 为整数集,R+,Z+分别表示正实数与正整数集。
3

7.设 S={1,2,3},R 为 S 上的关系,其关系图为

则 R 具有( D )的性质。 A)自反、对称、传递; B)什么性质也没有; C)反自反、反对称、传递; D)自反、对称、反对称、传递。 8.设 S ? {?,{1 }, {1, 2}} ,则有( A ) ? S 。 A){{1,2}} ;B){1,2 } ; C){1} ; D){2} 。 9.设 A={1 ,2 ,3 },则 A 上有( D )个二元关系。 A)23 ; B)32 ; C) 2 ; D) 2 。 10.全体小项合取式为( C ) 。 A)可满足式; B)矛盾式; C)永真式; D)A,B,C 都有可能。
23 32

三、证明题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分)
1)R 是集合 X 上的一个自反关系,求证:R 是对称和传递的,当且仅当 < a, b> 和<a , c>在 R 中有<.b , c>在 R 中,对 ?a, b, c ? X 。

2) f 和 g 都是群 <G1 ,★ >到 < G2, *> 的同态映射,证明 <C , ★> 是<G1, ★>的一个子群。 其中 C= {x | x ? G1且f ( x) ? g ( x)} 。

4

四、用 CP 规则证明(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分)
1. A ? B ? C ? D , D ? E ? F

?

A?F

2.

?x( P( x) ? Q( x)) ? ?xP( x) ? ?xQ( x)

5

五、计算题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分)
1.设集合 A={a,b,c,d}上的关系 R={<a , b > ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算 求出 R 的传递闭包 t (R)。

2.如下图所示的赋权图表示某七个城市 v1 , v2 ,?, v7 及预先算出它们之间的一些直接 通信线路造价,试给出一个设计方案, 使得各城市之间能够通信而且总造价最 小。

6

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