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点、直线、圆与圆位置关系


穆彤学案

2012-03

点、直线、圆和圆的位置关系 (一)基础知识
1.点与圆的三种位置关系 如果圆 O 半径为 r,已知点 P 到圆心的距离 OP=d,则: 点 P 在圆外 ? d>r 点 P 在圆上 ? d=r 点 P 在圆内 ? d<r 2.过三点的圆 (1)不在同一直线上的三个点确定一个圆 (2)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三 条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心. 3.直线和圆的位置关系 (1)定义:如果直线和圆没有公共点,直线和圆相离;直线和圆只有一个公共 点,直线和圆相切;直线和圆有两个公共点,直线和圆相交. (2)等价条件:设圆半径为 r,圆心到直线距离为 d,则: 直线和圆相离 ? d>r 直线和圆相切 ? d=r 直线和圆相交 ? d<r 4.圆的切线 (1)切线的判定方法 ①用定义判断 ②用等价条件判断 ③用定理判断:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质 定理:圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线比必经过圆心 (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一 点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
1

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5.两圆的位置关系 设 R、r(R>r)为两圆的半径,d 为圆心距,则: 两圆相离 ? d>R+r 两圆外切 ? d=R+r 两圆相交 ? R-r<d<R+r 两圆内切 ? d=R-r 两圆内含 ? d<R-r 6.性质 相交两圆的连心线,垂直平分公共弦,且平分两外公切线所夹的角.相切的两圆 的连心线必过切点. 7.公切线 两圆的两条外公切线长相等;两条内公切线的长也相等. 8.公切线的条数与两圆的位置关系 两圆相离 ? 4 条公切线 两圆外切 ? 3 条公切线 两圆相交 ? 2 条公切线 两圆内切 ? 1 条公切线 两圆内含 ? 0 条公切线 9.常见辅助线 (1)连心线; (2)公共弦; (3)内、外公切线

(二)经典例题
1.如图,⊙O 的直径 AB=4,∠ABC= 30? ,BC=4 3 ,D 是线段 BC 的中点,试 判断点 D 与⊙O 的位置关系,并说明理由

2.(2009 湖北荆门市) 如图, 在□ABCD 中, ∠BAD 为钝角, AE⊥BC, 且 AF⊥CD.
2

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(1)求证:A、E、C、F 四点共圆; (2)设线段 BD 与(1)中的圆交于 M、N.求证:BM=ND.
A N F M B E C D

3.(1)如图,在 ? ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,求证:DE 是⊙O 的切线.

(2)已知:如图,O 为∠BAC 平分线上一点,OD⊥AB 与 D,以 O 为圆心,以 OD 为半径作圆 O,求证:⊙O 与 AC 相切

4.

3

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5. 1) ( 如图,? ABC 的内切圆与三边 AB、 BC、 分别切于 D、 F, CA E、 AB=11cm, BC=13cm,CA=14cm,求 AD、BE、CF 的长

(2)在 Rt ? ABC 中,∠C= 90? ,AC=3,BC=4,求 ? ABC 内切圆的半径.

6.(1)已知两圆的半径分别为 6 和 8,圆心距为 7,则两圆的位置关系是( A.外离 B.外切 C.相交 D.内含



(2)已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2( R ? r ) x ? d 2 ? 0 没有实数根,其中 R、r 分别为⊙O1, ⊙O2 的半径, 为两圆的圆心距, d 则⊙O1, ⊙O2 的位置关系 ( A.外离 7. B.外切 C.相交 D.内切 )

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(三)历年中考试题
1.(2011 上海)

2.(2006 安徽)

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3.设⊙O 的半径为 2,点 P 到圆心 O 的距离为 m,且满足方程 2 x ? 2 2 x ? m ? 1 ? 0 有实
2

数根,则定点 P 的位置为( A. 在⊙O 内 4.(2011 杭州) B. 在⊙O 外

) C. 在⊙O 上 D. 不在⊙O 外

5.(2011 日照)

6.(2009 年泸州)已知⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 5cm 和 3cm,圆心距 020=7cm,则两圆的 位置关系为( A.外离 ) B.外切 C.相交 D.内切

7.(2009 年益阳市)已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 1 和 4,如果两圆的位置关系为相交, 那么圆心距 O1O2 的取值范围在数轴上表示正确的是( )

0 1 2 3 4 5 A.

0 1 2 3 4 5 B.

0 1 2 3 4 5 C.

0 1 2 3 4 5 D.

8. (2009 年湖州)已知 ⊙O1 与 ⊙O2 外切,它们的半径分别为 2 和 3,则圆心距 O1O2 的长是 ( ) B. O1O2 =5 C.1< O1O2 <5 D. O1O2 >5

A. O1O2 =1

9. (2009 年遂宁)如图,把⊙O1 向右平移 8 个单位长度得⊙O2,两圆相交于 A.B,且 O1A⊥O2A,则图中阴影部分的面积是( )

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A.4π-8 C.16π-16

B. 8π-16 D. 16π-32

10. (2010 浙江绍兴)如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O1,⊙O2 均与⊙O 的弧 AB 相切,且 O1O2∥l1( l1 为水平线),⊙O1,⊙O2 的半径均为 30 mm,弧 AB 的最低点到 l1 的距离 为 30 mm,公切线 l2 与 l1 间的距离为 100 mm.则⊙O 的半径为(
单位:mm

)

l2 A B

l1
第 10 题图

A.70 mm 11.(2011 舟山)

B.80 mm

C.85 mm

D.100 mm

12.(2009 成都)如图,A、B、c 是⊙0 上的三点,以 BC 为一边,作∠CBD=∠ABC,过 BC 上一 点 P,作 PE∥AB 交 BD 于点 E.若∠AOC=60°,BE=3,则点 P 到弦 AB 的距离为_______.
A C O P B E D

13.(2009 年贵州省黔东南州)如图,⊙O 的半径为 5,P 为圆内一点,P 点到圆心 O 的距离 为 4,则过 P 点的弦长的最小值是_____________

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14.(2009 年益阳市)如图, AB 与⊙O 相切于点 B,线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D,∠ AOB=60°,BC=4cm,则切线 AB= cm.

15.(2009 年南充) △ ABC 中, AB ? 10cm,AC ? 8cm,BC ? 6cm ,以点 B 为圆心、6cm 为半径作 ⊙B ,则边 AC 所在的直线与 ⊙B 的位置关系是 .

16.(2010 重庆市潼南县)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6 , BC=4, ⊙O 是以 AB 为直径的 圆,则直线 DC 与⊙O 的位置关系是 .

17.(2010 湖北孝感)P 为⊙O 外一点,PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B,∠APB=50°,点 C 为 ⊙O 上一点(不与 A、B)重合,则∠ACB 的度数为 18.(2009 襄樊市)已知 ? O1 和 ? O2 的半径分别为 3cm 和 2cm, O1O2 ? 1cm, ? O1 与 且 则

? O2 的位置关系为



⊙ ⊙ 19. (2009 年浙江省绍兴市) 如图, A , B 的半径分别为 1cm, 2cm, 圆心距 AB 为 5cm. 如
果 ⊙A 由 图 示 位 置 沿 直 线 AB 向 右 平 移 3cm , 则 此 时 该 圆 与 ⊙B 的 位 置 关 系 是 _____________.

20.(2009 威海)如图,⊙O1 和⊙O2 的半径为 1 和 3,连接 O1O2,交⊙O2 于点 P,O1O2=8, 若将⊙O1 绕点 P 按顺时针方向旋转 360° ,则⊙O1 与⊙O2 共相切_______次. 21.(2009 年崇左)如图,正方形 ABCD 中, E 是 BC 边上一点,以 E 为圆心. EC 为半径 的半圆与以 A 为圆心, AB 为半径的圆弧外切,则 sin ?EAB 的值为 .

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D

C E

A

B

22.(2010 四川巴中)⊙O1 与⊙O2 的半径分别是方程 x 2 ? 7 x ? 11 ? 0 的两根,如果两圆外 切,那么圆心距 a 的值是 23.(2010 福州)

24.(2009 柳州)如图 10,AB 是⊙O 的直径,C 是弧 BD 的中点,CE⊥AB,垂足为 E,BD 交 CE 于点 F. (1)求证: CF ? BF ; (2)若 AD ? 2 ,⊙O 的半径为 3,求 BC 的长.

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25.(2010 济宁)

26.(2011 福州)

27.(2009 安顺)

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28.(2011 盐城)

29.(2011 菏泽)

30.(2011 十堰)

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31.(2010 湖北十堰)如 图 , 已 知 ⊙ O 1 与 ⊙ O 2 都 过 点 A,AO1 是⊙O2 的切线,⊙O1 交 O1O2 于点 B,连结 AB 并延长交⊙O2 于点 C,连结 O2C. (1)求证:O2C⊥O1O2; (2)证明:AB·BC=2O2B·BO1; (3)如果 AB·BC=12,O2C=4,求 AO1 的长. A O1 O2

B

C

32.(2010 湖北黄石)在△ABC 中,分别以 AB、BC 为直径⊙O 1 、⊙O 2 ,交于另一点 D. ⑴证明:交点 D 必在 AC 上; ⑵如图甲,当⊙O 1 与⊙O 2 半径之比为 4︰3,且 DO 2 与⊙O 1 相切时,判断△ABC 的形状, 并求 tan∠O 2 DB 的值; ⑶如图乙,当⊙O 1 经过点 O 2 ,AB、DO 2 的延长线交于 E,且 BE=BD 时,求∠A 的度数.

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