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北京市海淀区2014年高三一模数学(理科)试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (理科) 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.已知集合 A ? ?1, 2, ? , 集合B ? y y ? x 2 , x ? A , 则A ? ? 1? 2? ? ? B? D. ? ?1 ? B. ? 2? C. ? 1? ?2? 2.复数 z ? ?1 ? i ??1 ? i ? 在复平面内对应的点的坐标为 A. ? ? A. (1,0) B. (0, 2) C. ?0,1? D. (2,0) 3.下列函数 f ( x ) 图象中,满足 f ( ) ? f (3) ? f (2) 的只可能是 1 4 y y y y O 1 1 1 1 x O 1 x O 1 x O x A B C D ? x ? 1 ? t, ( t 为参数),则直线 l 的普通方程为 ? y ? ?1 ? t A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 5.在数列 ?an ?中,“ an ? 2an?1 , n ? 2,3, 4, ”是“ ?an ?是公比为 2 的等比数列”的 4.已知直线 l 的参数方程为 ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚 硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4 种 B.5 种 C.6 种 D.9 种 7.某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动, 在 11 日当天购物还可以再享受“每张订单金 额(6 折后)满 300 元时可减免 100 元”.某人在 11 日当天欲购入原价 48 元(单价)的商品共 42 件, 为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.4 8. 已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln( x ? 1) 上,若线段 AB 与曲线 M : y ? a ,则 1 相交且交点恰为线段 x AB 的中点,则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点.记曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______. 3 3 10. 函数 y ? x ? x 2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______. 8 主视图 侧视图 11.如图, AB 切圆 O 于 B , AB ? 3 , AC ? 1 ,则 AO 的长为_______. A C B 1 12. 已知圆 x ? y ? mx ? ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线相切,则 m ? _______. 4 2 2 O 13.如图,已知 ?ABC 中, ?BAD ? 30 , ?CAD ? 45 , AB ? 3, AC ? 2 , 则 A BD ? _____________. DC D B 14.已知向量序列: a1 , a2 , a3 , , an , 满足如下条件: | a1 |? 4 | d |? 2 , 2a1 ? d ? ?1 且 an ? an?1 ? d ( n ? 2,3, 4, ). 若 a1 ? ak ? 0 ,则 k ? ________; | a1 |,| a2 |,| a3 |, ,| an |, 中第_____项最小. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin (Ⅰ)求 g (0) 的值; C π π x cos x ,过两点 A(t , f (t )), B(t ? 1, f (t ? 1)) 的直线的斜率记为 g (t ) . 6 6 3 3 (II)写出函数 g (t ) 的解析式,求 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围. 2 2 16. (本小题满分 13 分) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、 乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的 数据,制表如下: 甲公司某员工 A 乙公司某员工 B 3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 7 0 1 4 4 2 2 2 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的 部分每件 7 元. (Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (Ⅱ)为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所得的劳务费 记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. (本小题满分14分) 如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30° ,∠ABC=90° ,D为AC中点, AE ? BD 于 E ,延长AE交BC 于F,将 ? ABD沿BD折起,使平面ABD ? 平面BCD,如图2所示. (Ⅰ)求证:AE⊥平面BCD; (Ⅱ)求二面角 A–DC –B 的余弦值. (Ⅲ)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM /

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