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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(四十二) 7.3平行关系


课时提升作业(四十二)
平 行 关 系 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·南昌模拟)已知α 1,α 2,α 3 是三个相互平行的平面,平面α 1, α 2 之间的距离为 d1,平面α 2,α 3 之间的距离为 d2,直线 l 与α 1,α 2,α 分别相交于 P1,P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
3

40 分)

【解析】选 C.如图所示,由于α2∥α3,同时被第三个平面 P1P3N 所截, 故有 P2M∥P3M,再根据平行线截线段成比例易知“P1P2=P2P3”是“d1=d2” 的充要条件.

2.如图,四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别为 AC,PC 上的点,且 MN∥平面 PAD, 则 ( )

A.MN∥PD

B.MN∥PA

C.MN∥AD

D.以上均有可能

【解析】 选 B.在四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别为 AC,PC 上的点,且 MN∥平

-1-

面 PAD,MN 平面 PAC,平面 PAC∩平面 PAD=PA,由直线与平面平行的性 质定理可得:MN∥PA. 【加固训练】下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是 ( )

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

【解析】选 A.由线面平行的判定定理知①②可得出 AB∥平面 MNP. 3.(2015·合肥模拟)设α ,β 是两个平面,l,m 是两条直线,下列命题中, 可判断α ∥β 的是 ( )

A.l α ,m α 且 l∥β ,m∥β B.l α ,m β 且 m∥α C.l∥α ,m∥β 且 l∥m D.l⊥α ,m⊥β 且 l∥m 【解析】选 D.选项 A,只有当 l 与 m 相交时,才有α∥β;选项 B,当 m∥ α时,α与β还可能相交;选项 C,α与β也可能相交;选项 D,结合线面 垂直的性质及面面平行的判定可知正确. 【加固训练】如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 上

-2-

的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则 (

)

A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 【解题提示】 先由条件得 EF 形状. 【解析】选 B.由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF 又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,所以 HG 四边形 EFGH 是梯形. 4.若直线 l 不平行于平面α ,且 l?α ,则 A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 【解析】 选 B.由题意知,直线 l 与平面α相交,则直线 l 与平面α内的直 线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项 B 是正确的. 5.(2015·杭州模拟)已知 a,b 表示不同的直线,α ,β 表示不同的平面, 则下列命题正确的是 ( )
-3-

BD,再证得 EF∥平面 BCD,进而判断 EFGH

BD,所以 EF∥平面 BCD.

BD,所以 EF∥HG 且 EF≠HG.所以

(

)

A.若 a∥α ,b∥β ,α ∥β ,则 a∥b B.若 a∥b,a α ,b β ,则α ∥β C.若 a∥b,α ∩β =a,则 b∥α 或 b∥β D.若直线 a 与 b 异面,a α ,b β ,则α ∥β 【解析】选 C.A:a 与 b 还可能相交或异面,此时 a 与 b 不平行,故 A 不 正确 ;B:α与β可能相交 ,此时设α∩β =m,则 a∥ m,b∥ m, 故 B 不正 确;D:α与β可能相交,如图所示,

故 D 不正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·抚州模拟)已知 m,n 是不同的直线,α ,β 是不重合的平面,给 出下列命题: ①若 m∥α ,则 m 平行于平面α 内的无数条直线; ②若α ∥β ,m α ,n β ,则 m∥n; ③若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则α ∥β ; ④若α ∥β ,m α ,则 m∥β . 其中,真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)

【解析】 由线面平行定义及性质知①正确.②中若 m α,n β,α∥β, 则 m,n 可能平行,也可能异面,故②错, ③中由 ? ? α∥β知③正确.

④由面面平行的性质知若α∥β,m α,则 m∥β,

-4-

④正确,故①③④为真命题. 答案:①③④ 7.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交 上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= .

【解析】 如图,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD,所以 MN∥PQ.因为 MN∥AC, 所以 PQ∥AC.又因为 AP= ,所以 = = = ,所以 PQ= AC= · a= a.

答案:

a

8.(2015· 北京模拟)设α ,β ,γ 是三个不同平面,a,b 是两条不同直线, 有下列三个条件:①a∥γ ,b β ;②a∥γ ,b∥β ;③b∥β ,a γ .如果 命题“α ∩β =a,b γ ,且 处填入的条件是 (把所有正确的题号填上). 【解题提示】逐个命题进行验证,从中作出判断. 【解析】①可以,由 a∥γ得 a 与γ没有公共点, 由 b β,α∩β=a,b γ知,a,b 在面β内,且没有公共点,故平行. ,则 a∥b”为真命题,则可以在横线

-5-

②a∥γ,b∥β,不可以.举出反例如下:使β∥γ,b γ,a β,则此时 能有 a∥γ,b∥β,但不一定 a∥b.这些条件无法确定两直线的位置关系. ③b∥β,a γ,可以,由 b∥β,α∩β=a 知,a,b 无公共点,再由 a γ,b γ,可得两直线平行. 答案:①③ (20 分钟 40 分)

1.(5 分)(2015· 长沙模拟)如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的取值范围是 ( )

A. C.

B. D.[ , ]

【解析】选 B.取 B1C1 的中点 M,BB1 的中点 N,连接 A1M,A1N,MN, 可以证明平面 A1MN∥平面 AEF,所以点 P 位于线段 MN 上.因为 A1M=A1N= = ,MN= = ,所以当点 P 位于

M,N 时,A1P 最大,当 P 位于 MN 中点 O 时,A1P 最小,此时 A1O= 围是 . = ,所以 ≤A1P≤ ,所以线段 A1P 长度的取值范

-6-

2.(5 分)(2015·厦门模拟)设α ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不 同的直线,给出下列条件: ①α ,β 都平行于直线 a,b; ②a,b 是α 内的两条直线,且 a∥β ,b∥β ; ③a 与 b 相交,且都在α ,β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β .其中可判定 α ∥β 的条件是 .(填序号)

【解析】对于①,满足条件的α,β可能相交;对于②,当 a∥b 时,α与 β可能相交;③设 a,b 确定平面γ,则α∥γ,β∥γ,则α∥β. 答案:③ 3.(5 分)如图所示,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,设 D 是 A1C1 上 的点且 A1B∥平面 B1CD,则 A1D∶DC1 的值为 .

【解析】设 BC1∩B1C=O,连接 OD,因为 A1B∥平面 B1CD 且平面 A1BC1∩平 面 B1CD=OD,所以 A1B∥OD,

因为四边形 BCC1B1 是菱形,所以 O 为 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点, 则 A1D∶DC1=1.

-7-

答案:1 4.(12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E,F,G 分别 是 BC,DC,SC 的中点,求证:

(1)直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1. 【解题提示】(1)题目中中点较多,可利用中位线证明平行. (2)在(1)的基础上证明△EFG 的两条边与平面 BDD1B1 平行. 【证明】 (1)如图,连接 SB,因为 E,G 分别是 BC,SC 的中点,所以 EG∥SB. 又因为 SB 平面 BDD1B1,EG?平面 BDD1B1,所以直线 EG∥平面 BDD1B1.

(2)连接 SD,因为 F,G 分别是 DC,SC 的中点,所以 FG∥SD. 又因为 SD 平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, 所以 FG∥平面 BDD1B1,且 EG 平面 EFG,FG 平面 EFG,EG∩FG=G, 所以平面 EFG∥平面 BDD1B1. 5.(13 分)(能力挑战题)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方 形,

-8-

PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别为 PC,PD,BC 的中点. (1)求证:PA∥平面 EFG. (2)求三棱锥 P-EFG 的体积. 【解析】(1)方法一:如图,取 AD 的中点 H,连接 GH,FH, 因为 E,F 分别为 PC,PD 的中点,所以 EF∥CD. 因为 G,H 分别为 BC,AD 的中点,所以 GH∥CD. 所以 EF∥GH.

所以 E,F,H,G 四点共面. 因为 F,H 分别为 DP,DA 的中点,所以 PA∥FH. 因为 PA?平面 EFG,FH 平面 EFG, 所以 PA∥平面 EFG. 方法二:因为 E,F,G 分别为 PC,PD,BC 的中点, 所以 EF∥CD,EG∥PB. 因为 CD∥AB,所以 EF∥AB. 因为 PB∩AB=B,EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 PAB. 因为 PA 平面 PAB,所以 PA∥平面 EFG.

-9-

(2)因为 PD⊥平面 ABCD,GC 平面 ABCD,所以 GC⊥PD.因为 ABCD 为正方 形,所以 GC⊥CD. 因为 PD∩CD=D,所以 GC⊥平面 PCD. 因为 PF= PD=1,EF= CD=1, 所以 S△PEF= EF×PF= . 因为 GC= BC=1,所以 VP-EFG=VG-PEF= S△PEF·GC= × ×1= . 【方法技巧】证明线、面平行的技巧 (1)若在待证平面内与直线平行的直线易找或作(一般用中点连接)时, 用判定定理证明. (2) 若在待证平面内不易寻找到与直线平行的直线时 ,则过该线 ,找或 作一平面,证明其与该平面平行,进而证得线面平行.

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