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三、简单曲线的极坐标方程_图文

三、简单曲线的极坐标方程

在平面直角坐标系中,平面曲线C 可以用方程f(?,?)=0表示。曲线和方程 满足如下关系: (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都 在曲线C上。 那么,在极坐标系中,平面曲线是否 可应用方程f(?,?)=0 表示呢?

1.圆的极坐标方程

探 究
如图,半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(?,?)满足 的条件? M (?,?)
?

O

?

C(a,0)

A

x

如图,圆经过极点O,设圆和极轴 的另一个交点为A,那么 OM ? OAcos?MOA 即 ? ? 2acos? ① 可以验证点O、A的坐标满足等式① 。 于是,等式① 就是圆上任意一点
的极坐标(?,?) 满足的条件。另一方 面,可以验证,坐标符合等式①的点 都在这个圆上。

一般的,在极坐标中,如果曲线C上的点与方 程f(?,?)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符 合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线C上。 则曲线C的方程是f(?,?)=0 。 因此①就是圆心在C(a,0),半径为a的圆的极坐 标方程。 可以看出,在求曲线方程是,关键是找出曲线上 的点满足的几何条件,将它用坐标表示,在通过代 数变换进行化简。而且,与求圆的直角坐标方程相 比,求它的极坐标方程更加简便,因为在极坐标系 下,圆上点的坐标所满足的条件更容易表示,代数 变换也更加直接。

例1、已知圆O的半径为r,建立怎样的坐标系,可以使 圆的极坐标方程更简单?

M

解:如果以圆心O为极点, ? 从O出发的一条射线为极 O 轴建立坐标系,那么圆 上各点的几何特征就是 它们的极径都等于半径r, 设M( ?,? )为圆上任意一点,则 。 MO ? r ,即? ? r 显然,使极点与圆心重合时的圆的 极坐标方程在形式上比① 简单。

A

x

题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为2;

?=2

(2)中心在C(a,0),半径为a;

?=2acos ? ?=2asin ?

(3)中心在(a,?/2),半径为a; (4)中心在C(?0,?0),半径为r。 ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2

练习2 极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ =sinθ的两个圆的圆心距是多少

2 2

1.小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程

2.直线的极坐标方程

新课引入: 思考:在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程 为 x=3 ; 过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程 为 x=3 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线 x=a 方程为_______ 特点:所有点的横坐标都是一样, 纵坐标可以取任意值。

怎样求直线的极坐标方程?

答:与直角坐标系里的情况一样,求 直线的极坐标方程就是找出直线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授

探究:直线l过极点,从极轴到直线l的
? 角为 ,求直线l的极坐标方程。 4
? 4

M

如图,以极点为分界点,直线l上 ﹚ o 的点的极坐标分成射线OM、射 线ON两部分,先看射线OM。 所求的射线上任一点的极角都是 ? / 4 ,其极径 可以取任意的非负数。 ? ? ? ( ? ? 0) 故所求射线的极坐标方程为: 4 5? 射线ON上任意一点对 极角都是 ,因此射线 4 5? ON的极坐标方程为: ?? ? 0 ? ??
4

x

? 故过极点,倾斜角为 的直线的极 4

坐标方程为: ? 5 ? ? 或? ? ?
4 4

和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来,极坐标系里的 直线表示起来很不方便,要用两条射 线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
?? ?
4 ( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于 极轴的直线L的极坐标方程。 M 解:如图,设点 M ( ? , ? ) ? 为直线L上除点A外的任 ? ﹚ 意一点,连接OM, o A x Rt ? MOA 由 有 OM cos ?MOA ? OA

即 ? cos ? ? a

可以验证,点A(a,0)的坐标也满足上式。 因此,这就是所求直线的极坐标方程

求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

例3设点P的极坐标为 ( ?1 ,?1 ),直线 l 过 点P且与极轴所成的角为 ? ,求直线 l 的 极坐标方程。
? ?1 P

M

o

? ﹚ ? ﹚
1

x

解:如图,设点 M ( ? , ? ) 为直线上除 点P外的任意一点,连接OM 则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1 设直线L与极轴交于点A。则在?MOP

?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 )
由正弦定理 得 ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 )
?1 ? ? sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? )



显然点P的坐标也是它的解。因此①为直线l的极坐标 方程

小结:直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点,且垂直于极轴

3、过某个定点,且与极轴成一定
的角度


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