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函数奇偶性的应用精彩练习题


函数奇偶性的应用 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.如果偶函数在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上( A.有最大值 C.没有最大值 B.有最小值 D.没有最小值 )

2.已知 f(x)=ax3+bx-4,其中 a,b 为常数,若 f(-2)=2,则 f(2)的值等于 ( A.-2 ) B.-4 C.-6 D.-10

3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=x2+|x|-1,那么 x<0 时,f(x)的解析式为 f(x)=( A.x2-|x|+1 C.-x2-|x|-1 ) B.-x2+|x|+1 D.-x2-|x|+1

4.若 f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数 ,
3 5 则 f(-2 )与 f(a2+2a+2 )的大小关系是( 3 5 A.f(-2 )>f(a2+2a+2 ) 3 5 B.f(-2 )<f(a2+2a+2 ) 3 5 C.f(-2 )≥f(a2+2a+2 ) 3 5 D.f(-2 )≤f(a2+2a+2 )

)

5.若 p(x),g(x)都是 R 上的奇函数,f(x)=ap(x)+bg(x)+2 在(0,+∞) 上有最大值 5,则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 C.最小值-1 B.最大值-5 D.最大值-3 )

二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 6.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
f(x 1 )?f(x 2 ) x 1 ?x 2

<0,则 f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为

.

7.若 f(x)是偶函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则 f(x-1)<0 的解集 是 .

8.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b)>0,则 a+b 0(填“>” “<”或“=” ).

三、解答题(9 题,10 题 14 分,11 题 18 分) 9. 设定义在 [-2,2] 上的奇函数 f(x) 在区间 [ 0,2] 上单调递减 , 若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围. 10.(2013·唐山高一检测)已知定义在 R 上的函数 f(x)=x2+ax+b 的图 象经过原点,且对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1-x)成立. (1)求实数 a,b 的值. (2)若函数 g(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足当 x≥0 时,g(x)=f(x), 试求 g(x)的解析式. 11.(能力挑战题)已知 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2+3x+2. 若当 x∈[1,3]时,f(x)的最大值为 m,最小值为 n,求 m-n 的值.

答案解析
1.【解析】选 A.偶函数图象关于 y 轴对称,在[-2,-1]上有最大值,那 么该函数在[1,2]上也有最大值. 2.【解析】选 D.令 F(x)=f(x)+4=ax3+bx,显然 F(x)=ax3+bx 为奇函

数,F(-2)=f(-2)+4=6,F(2)=f(2)+4=-6,故 f(2)=-10. 3.【解析】选 D.设 x<0,则-x>0,f(-x)=x2+|x|-1, ≧f(-x)=-f(x), ?-f(x)=x2+|x|-1,f(x)=-x2-|x|+1.
5 3 3 4.【解析】选 C.a2+2a+2 =(a+1)2+2 ≥2 ,f(x)为偶函数,且在[0,+≦)上 3 3 5 是减函数,所以 f(-2 )=f(2 )≥f(a2+2a+2 ).

【变式备选】若函数 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上 单调递减,则( A.f(3)+f(4)>0 C.f(-2)+f(-5)<5 ) B.f(-3)-f(-2)<0 D.f(4)-f(-1)>0

【解析】 选 D.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,则 f(4)=f(-4).又 f(x) 在[-6,0]上单调递减,-4<-1,所以 f(-4)>f(-1),故 f(4)-f(-1)>0. 5.【解析】选 C.≧p(x),g(x)都是奇函数, ?f(x)-2=ap(x)+bg(x)为奇函数. 又 f(x)在(0,+≦)上有最大值 5, ?f(x)-2 在(0,+≦)上有最大值 3, ?f(x)-2 在(-≦,0)上有最小值-3, ?f(x)在(-≦,0)上有最小值-1.
1 )?f(x 2 ) 6.【解析】由已知f(xx <0,得 f(x)在 x∈[0,+≦)上单调递减 ,由偶 1 ?x 2

函数性质得 f(3)<f(-2)<f(1). 答案:f(3)<f(-2)<f(1) 【拓展提升】判断 f(x1)-f(x2)符号时的常见形式

(1)[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号.
f(x 2 ) (2)f(xx11)? >0,则 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号. ?x 2

7.【解析】偶函数的图象关于 y 轴对称,先作出 f(x)的图象,如图所 示,

由图可知 f(x)<0 的 解集为 {x|-1<x<1}, ?f(x-1)<0 的解集为 {x|0<x<2}. 答案:{x|0<x<2} 8.【解题指南】根据 f(x)的奇偶性和单调性,将 f(a)+f(b)>0,化为关 于 a,b 的关系式,求解可得答案. 【解析】f(a)+f(b)>0,?f(a)>-f(b). 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ?f(a)>f(-b),又≧f(x)为减函数, ?a<-b,?a+b<0. 答案:< 9.【解析】由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(m)>f(-m+1).

又≧f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[-2,2]上为奇函数,?f(x)在 [-2,2]上为减函数. ?
?1 ≤ m ≤ 3, ?2 ≤ ?m + 1 ≤ 2, ?2 ≤ m ≤ 2, 即 ?2 ≤1 m ≤ 2, m < 2, ?m + 1 > ,

1 得-1≤m<2 .

10.【解析】(1)≧函数图象经过原点,?b=0, 又因为对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(1-x)成立. ?f(x)的对称轴为 x=1, ?a=-2. (2)当 x≥0 时,g(x)=f(x)=x2-2x, 当 x<0 时,-x>0,g(-x)=(-x)2 -2(-x) =x2+2x, ≧g(x)为奇函数,?g(-x)=-g(x), ?g(x)=-x2-2x, ?g(x)= x
? 2x, x ≥ 0, ?x 2 ? 2x, x < 0.
2

11.【解题指南】可由 x<0 时的解析式求出 x∈[-3,-1]上的最大值和 最小值,再根据函数为奇函数,确定出函数在 x∈[1,3]的最小值和最 大值,从而求 m-n 的值. 【解析】≧x<0 时,f(x)=x2+3x+2
3 2 1 =(x+2 ) -4,

?当 x∈[-3,-1]时,
3 1 f(x)min=f(-2 )=-4 ,f(x)max=f(-3)=2.

≧函数为奇函数,

1 ?函数在 x∈[1,3]上的最小值和最大值分别是-2,4 , 1 ?m 为4 ,n 为-2. 1 9 ?m-n=4 -(-2)=4 . 9 即 m-n 的值为4 .


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