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交流电路分析_图文

正弦交流电路
基本概念
R、L、C元件

相量法
串、并联分析

交流功率

互感、谐振

正弦量的基本概念
一、正弦量的三要素

随时间按正弦规律变化的电压、电流等, 统称为正弦量。下面以正弦电流为例说明正弦 量的三要素。

i ? I m sin ??t ? ? ?
i

i Im t ?/? T

1. 振幅或最大值
其表示正弦量在整个 变化过程中所能达到 的最大数值。用 Im或 Um表示。

i Im t ?/? T

2. 周期T或频率f
周期或频率都是表示正弦量变化快慢的物理量。 正弦量每隔一定时间又重复原来的变化,这种 情况称为周期性。正弦量每变化一个循环所需 要的时间,叫周期(period)。用T表示,单位 为秒(S)。

周期的倒数表示正弦量在单位时间内变化的循 环数,叫频率(frequency),用符号f表示,单 位为赫兹(Hz)。
i

对正弦时间函数, 还可用角频率?表示 它变化的快慢。角 频率是正弦函数单 位时间内所变化的 角度(弧度数)。 其与周期及频率的 关系为: 2?
? ?
T

Im t ?/? T

? 2?f

( rad / s )

正弦量表示式中的 (?t+?),是确定正弦 量每瞬间的大小和正 负的角度,称为正弦 量的相位角。其中? 是正弦量在时的相位, 称为正弦量的初相。

i Im t ?/? T

由以上可看出,任一正弦量,当它的振幅、 角频率(或周期、频率)和初相确定后,该 正弦量就完全确定了。因此就将振幅、角频 率及初相称为正弦量的三要素。

二、同频率正弦量的相位差 i1 ? I m1 sin ??t ? ?1 ?
i2 ? I m 2 sin ??t ? ? 2 ?
? 12 ? ? 1 ? ?
2

两个同频率正弦量间存在相位差,表示它们在 变化过程中到达零值或振幅的先后顺序不同, 先到达零值或振幅的叫超前,反之叫滞后。
i i1 i2 0 i i1

?t 0
i2

?t

例:已知三个同频率正弦电压
u1 ? 141sin 100?tV u2 2? ? ? ? 141sin ?100?t ? ?V 3 ? ?

2? ? ? u3 ? 141sin ?100?t ? ?V 3 ? ?

(1)求它们的振幅、频率和周期;(2)求 每两个电压间的相位差,并指出相互间的超 前、滞后关系;(3)若选取u2为参考正弦量, 重新写出它们的解析式,并比较两两间的相 位差。

一、有效值的定义

交流量的有效值 (effective value)

一个周期交流量(电流或电压)和某一直流 量(电流或电压),分别作用于同一电阻R,若 在相同时间内它们所产生的热量相等,则称这个 直流量的值为交流量的有效值。以周期电流为例, 若其在一个周期内所产生的热量为
Q ? ? i ?t ?Rdt
2 0 T

Q? ? I RT
2

I ?

1 T

?

T

i

2

?t ?dt

0

即,交流量的有效值等于瞬时值的平方在一个 周期内的平均值、再取算术平方根,因此有效 值又称方均根值。

二、正弦量的有效值 仍以正弦交流电流为例,设

i ? I m sin ??t ? ? ?

代入上式,经过一系列的推导,得
I m ? 2I 或 I ? Im 2 Um 2

同理:

U m ? 2U 或 U ?

即正弦量有效值与其振幅间有固定的关系,因 此有效值也可作为正弦量的一个要素。则 i ? 2 I sin ??t ? ? i ?
u? 2U sin ??t ? ? u ?

正弦量的三要素 同频率正弦量的相位差 正弦量的有效值

正弦量的相量表示法
一、复数的表示形式
? A ? a ? jb ? A cos ? ? jA sin ? ? A?cos ? ? j sin ? ? ? Ae
j?

+j b

? A

A
? 0 a +1

? A??

二、正弦量的相量表示
i? 2 I sin ??t ? ? ?
j? ? I ? Ie ? I??

需要注意的是:二者之间只是关系,而不是 相等关系。或者认为只是一种表示符号。

例:写出下列正弦电压和电流的解析式所对应 的相量表示式。
u? i? 2 220 sin 314t ? 30 V
0

?

?

0 ? U ? 220?30 V 0 ? I ? 5? ? 60 A

2 5 sin 314t ? 60

?

0

?A

例:已知f=50HZ的三个正弦电流相量如下 式,写出它们对应的解析式。
0 ? I1 ? 10?0 A 0 ? I 2 ? 10? ? 120 A 0 ? I 3 ? 10?120 A

i1 ? i2 ? i3 ?

210 sin 100?tA

? ?A 210 sin ? 100?t ? 120 ?A
210 sin 100?t ? 120
0 0

三、相量图 在复平面上,用以表示正弦量的矢量图称为 相量图。如 u ? 2U sin ??t ? ? ? ? U ? U??
u

u

同频率正弦量所对应的相 量,在复平面上的相对位 置不随时间变化,因而可 以画在同一相量图上,图 中,任意两个相量间的夹 角就是二者所对应的正弦 量的相位差。

+j

? U
300

0

600

+1

I?

四、基尔霍夫定律的相量形式
? I ?0 ? ? U ?0 ?
+ u -
i 例:图示电路, ?
1

i

i1

R

i2

L

2 5 sin ?t ? 30
0

?

0

?A, i

2

?

2 5 sin ?t ? 120

?

0

?A,

? ? (1)求电流i;(2)作电流、电压的相量 图。
u? 210 sin ?t ? 30 V .

例:写出下列正弦量对应的相量及相量对应的正 弦量:

?1?u1 ? ?3?i1 ?

2100 cos ?tV 2 4 sin ??t ? 50 ?A
0

?2?u2 ?

2 30 sin ??t ? 120 ? V
0 0

?4?i2 ? ?14.14 sin ??t ? 45
? ?6?U 4 ? ? j100V

?A

? ? 50?300 V ?5?U 3

?7 ?I?3 ? ?50 ?

j86.6 A

?8?I?4 ?

j10 A

R、L、C元件的伏安相量形式
一、电阻元件的电压与电流的关系
i

设:

i?

2 I sin ??t ? ? i ?

+ uR - R

则由欧姆定律 u=Ri 得:
uR ? 2 RI sin ??t ?? i ? ? 2U R sin ??t ?? u ?

式中: U R ? RI ;? u ? ? i
? ? Ie j? i ? I?? I i
j? ? U R ? U R e u i ? RI ?? i

? ? U R ? RI

U R ? RI ;? u ? ? i

对电阻元件来讲,电压与电流同相。
u,i u i ?t 0 +j
? I
? U

? i= ? u +1

需要注意: (1)有效值公式与相量形式的区别; (2)电阻的电压与电流的相位关系,对 以后画相量图会很有用途;

二、电容元件的电压与电流的关系
i

设: 则由

uc ?
i?C duc dt

2U c sin ??t ?? u ?

+ uC - C

得:

i ?C ? ? ?

d dt

?

2U c sin ??t ? ? u ?

?

2?CU c cos ??t ? ? u ?

? ? ? 2?CU c sin ? ?t ? ? u ? ? 2? ?
2 I sin ??t ? ? i ?

i + uC -

C

I ? ?CU c ;? i ? ? u ?

?
2

? ? j?CU 或U = ? ? I C C

1 j?C

? I

在选择电压、电流的参考方向一致时, 电容电压比电流滞后900。
u,i

i

u

0

?t

+j

? I

? U

0

+1

定义:

Uc I

?

1

?c
1 Xc

?

1 2?fc

? Xc

容抗
容纳(S)

Bc ?

? ?C

例:已知电容C=57.8?F,外加电压

u ? 311 sin 314t ? 30 V
0

?

?

。 (1)求容抗XC和电流i;(2)若外 加电压的有效值不变,频率变为 500HZ,再求容抗和电流。

需要说明::

1、虽然电容元件的容抗XC与电阻R是 相当的,但二者的性质完全不同;容 抗不等于电压与电流的瞬时值之比, 即 。容抗只有在交流电路中 才有意义。
X
c

?

uc i

2、容抗XC的大小与电容C和电源频 率f成反比。电容元件具有“通高频、 阻低频、隔直流”的作用。

三、电感元件的电压与电流的关系
i

设:

i?

2 I sin ??t ? ? i ?
di dt

+ uL - L

则由

uL ? L

得:

uL ? L ? ? ?

d dt

?

2 I sin ??t ? ? i ?

?

2?LI cos ??t ? ? i ?

? ? ? 2?LI sin ? ?t ? ? i ? ? 2? ?
2U L sin ??t ? ? i ?

i +

uL


L

U L ? ?LI ;? u ? ? i ?

?
2

? ? j?LI或I= ? ? UL

1 j?L

? UL

在选择电压、电流的参考方向一致时, 电感电压比电流超前900。
u,i u

i

0

?t

+j

? U

? I

0

+1

定义:
UL I ? ?L ? 2?fL ? X L
1 XL ? 1
感抗

BL ?

?L

感纳(S)

例;已知电感L=25.4mH,外加电 压
u ? 311 sin 314t ? 60

?

0

?

(1)求感抗XL和电流i;(2)若 外加电压的有效值不变,频率变 为500HZ,再求感抗和电流。

需要说明:: 1、虽然电感元件的感抗XL与电阻R是 相当的,但二者的性质完全不同;感 抗不等于电压与电流的瞬时值之比, 即 。感抗只有在交流电路中 才有意义。
X
L

?

uL i

2、感抗XL的大小与电感L和电源频 率f成正比。电感元件具有“通低频、 阻高频”的作用。

正弦交流电路的功率
一、瞬时功率
i ?t u 0 u,i

i ? u ?

2 I sin ?t 2U sin ??t ? ? ?

p ? ui ? 2UI sin ??t ? ? ? sin ?t ? 2UI ? 1 2 ? UI cos ? ? UI cos?2?t ? ? ?

?cos??t ? ? ? ?t ? ? cos??t ? ? ? ?t ??

p ? UI cos ? ? UI cos?2?t ? ? ? ? UI cos ? ?1 ? cos 2?t ? ? UI sin ? sin 2?t

UIcos?

第一个分量是一个大小变化而传 输方向不变的瞬时功率分量。因 为这个瞬时功率分量恒为正值, 而且它的零值或最大值与电流的 零值或最大值同时出现,这与电 阻元件吸收的瞬时功率情况相同, 所以它代表网络的等效电阻所吸 收的瞬时功率。

?

2?

UIsin?

第二个分量是时间的正弦函数。在电流的一周期内,该瞬 时功率分量两次为正,两次为负。这说明,该瞬时功率分 量代表网络的储能元件与电源之间往返交换的瞬时功率。

二、平均功率(有功功率 active power)
定义: 网络吸收或发出的瞬时功率在一周期内的平均值叫 平均功率。 表达式:
P? 1 T
T

? pdt ? T ? ?UI cos ? ? UI cos?2?t ? ? ??dt
0 0

1

T

? UI cos ?

意义:

对无源网络而言,平均功率等于网络等效电阻吸 收的瞬时功率中的恒定分量,即网络等效电阻吸 收的平均,它反映了网络中的电能转换成其他形 式能量的平均速率,因此平均功率又称有功功率。

有关因素: 由上式看出,正弦交流电路的有功功率不仅与电压、 电流有效值有关,还与电压、电流相位差的余弦 (cos?)有关。 cos?称为电路的功率因数(power fector), ?角叫做功率因数角。对无源网络而言, 功率因数角就是它的阻抗角,它决定于电源的频率和 网络的参数。

三、无功功率( reactive power)
定义:

为定量地衡量电路与电源之间(或两部分电路之 间)能量交换的规模,把能量交换的最大速率定 义为无功功率。

表达式:

P ? UI sin ?

意义:
无功功率主要针对储能元件的特性,即能量往返一种 现象。电容、电感元件虽不消耗能量,但它的存在将 引起网络与电源之间的能量交换,从而增加了输电线 路的能量损耗。 注意: (1)无功功率是相对于有功功率而言的。无功功率 虽然不是“消耗”的功率,但不能把它理解为“无用” 的功率。它恰好是诸如变压器、电动机等一些电器设 备正常工作所必需的。 (2)无功功率亦有正、负区别。

四、视在功率( apparent power)
定义:

发电机、变压器等电气设备都是按照额定电压和额定电 流(均指有效值)进行设计、制造和使用的,通常把额 定电压与额定电流的乘积称为设备的额定容量。将电压 与电流有效值的乘积定义为视在功率或表观功率。 表达式: 意义:
S ? UI

用来表示该设备所能输出的最大功率。
功率的相互关系: S
? P
2

?Q

2

S ? P

P ? S cos ? Q ? S sin ? ? Ptg ?

Q

五、功率因数( power fecter)
重要性体现在:它直接影响发、变电设备容量的利 用率和输电线路的功率损耗。 例:一台额定容量为10000KVA的发电机,当负载的 cos?=0.6时,其输出的有功功率为600KW;而当将其功 率因数提高到0.8时,其输出的有功为800KW。 例:在输电电压U、输送有功功率P一定的情况下, 通过输电线路的电流为 I ? P
U cos ?

即输电线路的功率损耗
?P ? I R ?
2

P U
2

2 2

cos ?

R?k

1 cos ?
2

上节内容回顾:
有功功率:

W、KW 表示网络中等效电阻消耗的功率。

无功功率:

Var、KVar 表示网络中储能元件能量往返的规模。

视在功率:

VA、KVA 表示电气设备的额定容量。 S
?

Q

P

六、复功率 定义:
将电压相量与电流相量的共轭复数相乘,得到的表达 式,定义为正弦量的共轭复数。即
* ~ ? S ? U I ? U?? i ? ? ? I? ?? i ? UI??

? UI cos ? ? jUI sin ? ? P ? jQ

注意:
引入复功率的目的,只是为了将电压、电流的相量 直接应用于功率的计算,而复功率本身并不代表正 弦量,它只是相量法的一个辅助计算量。

功率的总结:
对任何一个正弦交流电路,有功功率、无功功率总是平衡的, 因此整个电路的复功率也是平衡的。但一般情况下,视在功 率是不平衡的。

例:图所示并联电路中,
外加电压的有效值为220V, Z1=10?,Z2=(3-j4) ? ,Z3=(8+j6) ? 。试求 各支路的有功、无功、视 在功率和功率因数以及电 路总的有功、视在功率和 功率因数。
(首先分别计算各支路的有功与无功功率, 再按功率平衡计算总的有功、无功功率。)

Z1

Z2

Z3

P ? 14520W ,Q ? ?4840Var S ? 15305VA, cos ? ? 0.9487

提高功率因数的方法及原理

例:有一感性负载,其额
定有功功率P=1100W、 cos?=0.5,接在U=220V 、 f=50HZ的正弦交流电源上。 (1)试求负载吸收的无功 功率Q1;(2)在负载两端 并联一个电容C,如图,试 作相量图说明功率因数提 高的情况;(3)欲使电路 的功率因数由原来的 cos?=0.5提高到cos??=0.8 , 试计算并联电容C。
i
+ u - i1 R ic L K C

解:(1)Q1=1905.2var
(2) 并联电容前后电路的有 功功率不变,但电路的 无功电流分量减小了, 即并联后使整个电路的 功率因数提高了;而且 总电流的有效值减小, 可使输电线路的功率损 耗减少。
(3)C ?
P U ?
2

? IC ? I a1

? U

? I
? I r1 ? I1

? Ir

? IC

?tg ?

? tg ? ? ? ? 71 ? F

例:某小水电站的发电机容量S=25KVA,供给小加
工厂及附近照明用电。已知加工厂电动机的总功率P1= 14KW,功率因数为0.8。问:(1)该发电机除供给电 动机用电外,还可以供给几只25W的电灯用电?(2) 如将电动机的功率因数提高到0.9,可以多供给几只 25W的电灯用电?

例:将功率为40W、功率因数为0.5的日光灯100只与功
率为100W的白炽灯(功率 因数为1)40只并联接在电压 U=220V的交流电源上。(1)求总电流及整个电路的 功率因数;(2)若把电路的功率因数提高到0.9,应并 联多大的电容?(3)求并联电容后总电流。

正弦电路重点内容总结
一、元件的伏安相量形式及元件特性;
二、串、并联电路的分析; 三、复阻抗及复导纳的概念;

四、网络的功率分析及计算;
五、功率因数的提高方法、原理及计算;

据基尔霍夫定律,按相量求解;

解 题 方 法 简 介

定性地画出电路所要求的相量图,再求 解; 有些情况下可用有效值去求解,会简 单些;

灵活地应用电压、电流、阻抗、功率 等三角形;

练习:

1、R、L、C三个元件串联,已知电流
i? 2 I sin ??t ? ? i ?A

为。试写出各元件的电压解析式及电流、各元 ? ? U ? U 件电压的相量 I 、 ? R 、U L 、 C。
Z ? ? 2 . 5 ? j 4 . 33 ??

2、已知某二端网络的复阻抗 Z ? ?2.5 ? j 4.33?? 。 Z 求(1)阻抗 及阻抗角? ;(2)复导纳Y 及导纳 Y 、导纳角 ? 。

例:在图示正弦交流电路中,已知 R
R1 ?

1

?

3 X L,

3 X C,电压有效值U=100V。试作相量图,

并根据相量图求uab的有效值及uab比u超前的相 位差。

u
R1 a R2 b XC

XL



谐振与互感电路
一、谐振电路的一般概念:
具有电感和电容的无源二端网络,在一定条件下形成 端口电压与电流同相,即网络的阻抗角?=0,电路呈 阻性,这种现象称谐振(resonance)。

1、串联谐振
(1)条件
?L ?
1

i

R

L

+ +uR- +uL-
u
?C

+ uC -

C



?0 ?
L ?

1 LC

f0 ?

1 2? LC

1

? C
2

C ?

1

? 2L

(2)特点 ?电路的阻抗
Z0=R

串联谐振时,整个电路对外呈现阻性。与非谐振状态 相比,串联谐振时的电路等效阻抗值最小。

定义:

X L ? X C ? ?0 L ?

1

? 0C

?

L C

??

谐振电路的特性阻抗。

定义:

谐振时的感抗(或容抗)与电阻的比值, 称为谐振电路的品质因数。
Q?

?0 L
R

?

1

? 0CR

?

?
R

?

1 R

L C

?电路的电流
? ? ? ? U ?U I0 Z0 R

在电源电压不变的情况下,串联谐振时的电路电流 为最大,且与电压同相。

?电路中各元件的电压
? ? ? U R=RI 0=U

? ? j? LI ? j?I ? j ? U ? jQU ? ? ? ? UL 0 0 0 R 1 ? ? ? ? ? j?I ? ? j ? U ? ? jQU ? ? ? UC I0 0 j? 0 C R

UL=UC=QU
若电路中的感抗或容抗较大,而电阻较小,则Q值很 大。在振情况下,电感和电容两端将产生为外加电压 Q倍的高电压,因此串联谐振又叫电压谐振。

针对串联谐振的特点,可将微弱的信号电压输入到串联 谐振回路,而在电容或电感两端获得一个较高的输出电 压。但在电力系统中,由于工作电压较高,若使电路处 于或接近谐振状态,则会使电感或电容两端产生过电压, 可能引起设备的绝缘损坏,因此在电力系统中应避免串 联谐振或接近谐振的情况发生。

频 率 特 性 和 谐 振 曲 线

X

XC

XL

I

O

?0 X=XL-XC

?

O

?0

?

例:当图示电路发生谐振时,电压表的读数V1=150V, V2=120V。问总电压的有效值U为多少伏?
V1


u -

线圈
C
V2

? U1

? UL

? UR
? ? U2 ? UC

? I

具有互感的正弦交流电路
一、互感及互感系数
N1 ?11 ?12 N2 ?21 ?22

M 12 ?

M 21

i2 ? ? ? ? 21 ? ? i1 ? ?

? 12 ?

i1

i2

互感的大小与两个线圈的匝数、几何尺寸、 周围媒质的性质以及两个线圈的相对位置 有关。

二、互感电压及同名端
uM 1 ? uM 2 ? d? 12 dt d? 21 dt ?M ?M di2 dt di1 dt

思考:自感与互感 电压各与什么因素 有关?
N2
?21 ?22

N1
?11 ?12 i1 * a b i2

*
c

d

N1
?11 ?12 i1 * a b i2 c

N2

?21 ?22

* d

为了将电流增大和电流减小两种 情况下的互感电压用同一个关系 式表达出来,选择电流 i1的参考 方向与互感电压 uM2 的参考方向 对同名端一致。
i1
* M * uM2 i1 * M

i1 *

M * uM2

*
uM2

uM 1 ? M uM 2

di2 ? ? dt ? ? di1 ? ? M dt ? ?

? ? U M 1 ? j?MI 2 ? ? ? ? ? ? U M 2 ? j?MI1 ?

三、互感元件
互感元件是具有磁场联系和相互约束 的两个电感元件,在电压、电流的参 考方向对同名端一致的条件下,每个 电感元件的电压与电流的关系为
+
u1 -

i1
* L1

M *

i2
+ u2

L2



? I1
+

j?M *

? I2
+
2

? U1

* j?L1

? j?L2 U

注意:





互感电流与互感电压参考方向的选择; 列方程时要将互感电压考虑在内;

例:根据图所示互感线圈 的同名端及电流、电压的 参考方向,写出原边和副 边回路的电压方程。

? I1
+

j?M

? I2
+ j?L2 * R2

* j?L1

? U1


? U2


R1

? ? ? U1 ? ?R1 ? j?L1 ?I1 ? j?MI 2 ? ? ? ? ? ? U 2 ? ?R2 ? j?L2 ?I 2 ? j?MI1 ? ?

注意:
方程中两个互感电压的方向。


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