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数学:1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件(新人教A版选修2-2)


(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公 式 1.若 f ( x ) = c , 则 f '( x ) = 0; 公 式 2.若 f ( x ) = x n , 则 f '( x ) = nx n ?1 ; 公 式 3.若 f ( x ) = sin x , 则 f '( x ) = cos x ; 公 式 4.若 f ( x ) = cos x , 则 f '( x ) = ? sin x ; 公 式 5.若 f ( x ) = a x , 则 f '( x ) = a x ln a ( a > 0); 公 式 6.若 f ( x ) = e x , 则 f '( x ) = e x ; 1 公 式 7.若 f ( x ) = log a x , 则 f '( x ) = ( a > 0, 且 a ≠ 1); x ln a 1 公 式 8.若 f ( x ) = ln x , 则 f '( x ) = ; x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和 差 的导数 的导数,等于这两个函数的 法则 两个函数的和(差)的导数 等于这两个函数的 两个函数的和 导数的和(差 即 导数的和 差),即: f (x) ± g(x) ′ = f ′(x) ± g′(x)

[

]

法则2:两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数 法则 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 两个函数的积的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: f (x) ? g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) [ 法则3:两个函数的商的导数 等于第一个函数的导数 法则 两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 两个函数的商的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 乘第二个函数 减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即 再除以第二个函数的平方 即: ? f (x) ?′ f ′(x)g(x) ? f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) ? g(x) ? = 2 ? ? [ g(x)]

求函数y=x3-2x+3的导数 的导数. 例2.求函数 求函数 的导数
练习 : 1 (1). y = 4 ;(2). y = x x. x

例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 用(单位 : 元 )为 化到纯净度为x%时所需费

5284 (80 < x < 100).求净化到下纯度 c( x ) = 100 ? x 时, 所需净化费用的瞬时变化率 : (1) 90% ; (2)98% .

思 考 如 求 数y = ln( x + 2)的 数 ? 何 函 导 呢

若设u = x + 2( x > ?2), 则y = ln u.从而y = ln( x + 2 )可以 看成是由y = ln u 和u = x + 2( x > ?2 )经过 "复合" 得到

的, 即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作 y = f (u ), u 和 x 的关系记作 u = g ( x ), 那么这个"复合" 过程可表示为 y = f (u ) = f (g ( x )) = ln( x + 2).
2

我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过 "复合"得到的, 例如,函数y = (2 x + 3) 由y = u 2和u = 2 x + 3 "复合"而成, 等等.

一般地, 对于两个函数y = f (u )和u = g (x ), 如果通过变量u, u = g ( x )的复合函数composite fun ? ction), 记作y = f ( g ( x )). ( y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y = f (u )和

复合函数y = f (g ( x ))的导数和函数y = f (u ), u = g ( x )的 导数间的关系为y = y ? u .
' x ' u ' x

y 表示y对x的导数
' x

由此可得, y = ln (3 x + 2 )对x的导数等于y = ln u对u的 导数与u = 3 x + 2对x的导数的乘积, 即 1 3 . y = y ? u = (ln u ) (3x + 2) = ? 3 = 3x + 2 u
' x ' u ' x ' '

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

例4 求下 列函 数的导 数

(1) y = (2x + 3) ; (2) y = e ; (3) y = sin (πx +φ) (其中π,φ均为常数).
2 ?0.05x+1


' x

(1)函数y = (2 x + 3) 可以看作函数y = u 3和
2

u = 2 x + 3的复合函数. 由复合函数求导法则有

y = y ? u = (u
' u ' x

2 '

(2)函数 y = e ?0.05 x+1 可以看作函数 y = eu 和u =
? 0.05 x + 1的复合函数. 由复合函数求导法则有
' x ' u ' x

) ? (2 x + 3) = 4u = 8x + 12.
'

y = y ?u

= e

( ) ? (? 0.05x + 1)
u '

'

= ?0.05eu = ?0.05e ?0.05 x +1.

(3)函数y = sin (πx + φ )可以看作函数y = sin u和
u = πx + φ的复合函数.

由复合函数求导法则有
' ' ' y x = yu ? u x

= π cos u = π cos(πx + φ ).

= (sin u ) ? (πx + φ )
'

'

-4t +16t . (1)此物体什么时刻在始点 此物体什么时刻在始点? 此物体什么时刻在始点 (2)什么时刻它的速度为零 什么时刻它的速度为零? 什么时刻它的速度为零 所以t 解得: 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以 2(t-8)2=0,解得 令 即 所以 解得 t1=0,t2=8.故在 或t=8秒末的时刻运动物体在 故在t=0或 秒末的时刻运动物体在 故在 始点. 始点 (2) ∵ s′(t ) = t 3 ? 12t 2 + 32t , 令s′(t ) = 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t 解得 1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零 秒时物体运动的速度为零. 故在 和 秒时物体运动的速度为零
1 练习:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线 平 处的切线与直线m平 练习 已知曲线 y = x 3 在点 处的切线与直线

1 4 某运动物体自始点起经过t秒后的距离 满足s= t 例5.某运动物体自始点起经过 秒后的距离 满足 某运动物体自始点起经过 秒后的距离s满足 4 3 2

求直线m的方程 行且距离等于 10 ,求直线 的方程 求直线 的方程.

1 练习:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线 平 处的切线与直线m平 练习 已知曲线 y = x 3 在点 处的切线与直线

求直线m的方程 行且距离等于 10 ,求直线 的方程 求直线 的方程.

1 1 ′ = ( 3 )′ = ( x?3 )′ = ?3x?4; y 解: = 3 , y x x ∴ 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k = y′ | x =1 = ?3, 从而切线方程为 y ? 1 = ?3( x ? 1), 即3 x + y ? 4 = 0.
设直线m的方程为 设直线 的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 的方程为 由平行线间的距离公 式得: 式得
| b ? ( ?4) | 32 + 1 = 10 ?| b + 4 |= 10,∴ b = 6或 b = ?14;

故所求的直线m的方程为 故所求的直线 的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0. 的方程为 或


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