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宁波市2014年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷(含答案)


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宁波市 2014 年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷

数学试题
一、选择题(共 6 题,每题 4 分,共 24 分) 1、从 1,2,3,4,5 这五个数字任取两个数字,使其乘积为偶数的概率为( 4 (A) 5 7 (B) 10 3 (C) 5 1 (D) 2 )

解: 总数=4+3+2+1=10,符合条件的为:2× 1;2× 3;2× 4;2× 5;4× 1;4× 3; 7 3 7 4× 5 共 7 个(或只有 1× 3;1× 5;3× 5 共 3 个例外),∴概率为 或1- = 10 10 10 2、已知锐角△ ABC 角平分线 AD 与高线 BE 交于点 M,△ CDE 是等边三角形,则 S△DEM∶S△ABM 的值为( (A) 2∶2
C E D

) (C)1∶3 (D)1∶4

(B)1∶2

A

3、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 在第二象限,点 B 在 x 轴负半轴上,△ OAB 的面积是 k 9,P 是 AB 中点,若函数y= (x<0)的图像经过点 A、P,则 k 的值为( x (A)-6 (B)-4 (C)-3 (D)-2 )

B

∵∠C=600,∠BEC=900,∴∠EBC=300,又∠CDE=600,∴∠BED=300, ∴ED=BD=CD,∴AD 即是∠BAC 的平分线,又是 BC 上的中线, ∴AB=AC,∴△ABC 为正三角形,∴AD 与 BE 的交点为△的重心 ∴S△DEM∶S△ABM=1∶4。

1 设点 A 坐标为(m,n),点 B(a,0),∵S△OAB=9,∴- an=9, 2 m+a n ∵P 是 AB 的中点,∴点 P 坐标为( , ),∵k=xy,∴代入 A、P 坐标得: 2 2 (m+a)n (m+a)n k=mn,k= ,∴mn= ,∴3mn=an,∵-an=18,∴mn=-6 4 4 ∴k=-6 (本例考点为点与函数的关系、中点坐标的应用,中点坐标是解压轴题的重要工具) ※ 同类测试题: 如在直角坐标系中, 存在一个平行四边形, 其中平行四边形的三个项点的坐标为 ( 1, 3),(2,2)和(3,4),求另一顶点的坐标?21 世纪教育网版权所有 4、对于任意的有理数a,方程2x2+(a+1)x-(3a2-4a+b)=0的根总是有理数,则 b 的值为( (A)1 (B)-1 (C)2 (D)0 )

解:方程的△ =(a+1)2+8(3a2-4a+b)=(5a-3)2+8b-8≥0,∴当8b-8≥0时, 必定△ ≥0,即方程必有实根,∴b≥1,当b=1时,3a2-4a+1=(3a-1)(a-1),
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∴十字因式分解得方程为((x-a+1)(2x+3a-1)=0,∴b=1成立, 当b=2时,3a2-4a+b=3a2-4a+2不能因式分解,∴方程有可能为无理数解, (在一元二次方程中,运用方程的判别式和因式分解是解决方程有理根和整数根 重要工具,) ※同类测试题:使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积的值。 5、如图,△ ABC 内接于⊙O,过 BC 的中点 D 作直线 l∥AC,l 与 AB 交于点 E,与⊙O 交于点 G、F, 与⊙O 在点 A 处的切线交于点 P,若 PE=3,ED=2,EF=3,则 PA 的长度为( ( A) 2
P G E B D F C A



(B) 5

(C) 6

(D) 7

解:∵BD=CD,DE∥AC,∴AE=BE,又 PE=EF, ∴四边形 PBFA 是平行四边形,∴PA=BF,PB∥AF,PF∥AC ∴∠BPF=∠FAC,又∠FBC=∠FAC,∴∠FBC=∠BPF,21· cn· jy· com DF BF ∴△BFD∽△PFB,∴ = ,∴BF2=DF· PF=6。 BF PF ∴PA=BF= 6 。

(考点为中位线、平行四边形的判定,与圆有关的角的运用在解决圆问题中,具有相当重要的地位) 6、如图,已知锐角∠A=∠B,AA1、PP1、BB1 均垂直于 A1B1,垂足分别是 A1、P1、B1,且 AA1=17, AP+PB=13,BB1=20,A1B1=12,则 PP1 的长度为( (A)13 (B)14(C)15(D)16
B A P

)2-1-c-n-j-y

M E
A1

N F
B1

P1

延长 BP 并AA1于 E,过 P 作 MN∥A1B1,∵AA1∥BB1,∠AEP=∠B=∠A,∴PA=PE ∴BE=PB+PA=PB+PE=13,EF=A1B1=12,∴BF= BE2-EF2= 132-122=5, ∴B1F=BB1-BF=20-5=15,∴EA1=15,∴AE=2,∴ME=1,∴PP1=MA1=16 二、填空题(共 6 题,每题 4 分,共 24 分) 3 7、已知a是方程x2-3x+1=0的根,则2a2-5a-2+ 2 的值为 a +1 1 ∵a2-3a+1=0,∴a2+1=3a,a+ =3 a 3 1 ∴原式=2(a2-3a+1)+a-4+ =a+ -4=3-4=-1, 3a a (本例代数的整式运算法,即以代数多项的值参与运算,而代数多项需根题型进行配制) 3+ 5 1 1 10 ※同类测试:已知x= ,求x +x5+ 5+ 10的值。 2 x x
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1 1 1 8、“*”表示一种运算,规定x*y= - 。若 1*3= ,则 2013*2014= xy (x+1)(y+A) 12 1 1 1 1*3= - = ,解得A=-1, 1× 3 (1+1)(3+A) 12 2013*2014= 1 1 - =0 2013× 2014 (2013+1)(2014-1)



9、如图,Rt△ ABC 的硬纸片,∠BAC=90° ,AB=3,BC=5,AD 为 BC 边上的高,从这张硬纸片上剪 下一个如图所示的内接正方形 EFGH,则正方形 EFGH 的边长为 .
21*cnjy*com

解:由勾股定理得 AC=4,由面积公式得 AB· AC=BC· AD,
A H G

12 HG AH ∴AD= ,设正方形的边长为x,∵HG∥BC,∴ = , 5 BC AB HE BH ∵HE∥AD,∴ = , AD AD
C

B

E

D

F

x x AH+BH 60 两式相加得: + = =1,解得x= 。 5 12 AB 37 5

10、如图,在△ ABC 中,AB=AC,CM 平分∠ACB,与 AB 交于点 M,AD⊥BC 于点 D,ME⊥BC 于 点 E,MF⊥MC 与 BC 交于点 F,若 CF=10,则 DE=
A M
【来源:21cnj*y.co*m】

B

F E

D G

解:取 CF 的中点 G,连接 MG,设 DE=x,EF=y, 可得 DC=CF-EF-DE=10-x-y,∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=DC=10-x-y,BE=BD-DE=10-2x-y……① C ∵FG=CG=5,∴EG=FG-EEF=5-y……②21 教育网 ∵MG 是 Rt△ MFC 斜边上的中线,∴∠FGM=2∠BCM=∠ACB

5 ∠FGM=∠B,又 ME⊥BG,∴BE=EG,∴由①、②得10-2x-y=5-y,∴x= 2 (本例题中信息量较多,容易使从误入歧途而不得解,但题中只有一个已知量即 CF ED 又在 CF 上,所以我们可设想在 BC 上存在某个隐性变量,只要消去此变量即可) 11、已知a,b是不为零的实数,对于任意实数x,y,都有 (a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay-k2+k+28≥0其中 k 是实数,则 k 的最大值为 解:不等式由两部分组,即(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay与-k2+k+28, 前者决定后者, (a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2+8bx+8ay+(2abxy-2abxy) =(ay+bx)2+(ax-by)2+8(ay+bx)=(ay+bx+4)2+(ax-by)2-16, ∴当-k2+k+28≥-16时,不等式恒成立,∴k2-k-12≤0,解得-3≤k≤4 ∴k的最大值为 4, (本例是代数求值中非负法的应用,即代数式表达成平方式,) .

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※同类测试题:实数x,y满足方程3(x2+2x+3)(3y2+2y+1)=4 求x ,y的值 12、一个平面把空间分为 2 个部分,两个平面最多把空间分成 4 个部分,三个平面最多把空间分为 个部分,四个平面最多把空间分成 三、解答题(共 4 题,每题 13 分,共 52 分) 13、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与 x 轴有两个交点 A(-1,0),B(n,0),交 y 轴于点 C (0,p),已知p=-3a(n-2).2· 1· c· n· j· y (1)求点 B 坐标; (2)若抛物线上存在点 M,使△ ABM 为直角三角形,求a的取值范围. ⑴ 解:∵x=-1,x=n是方程ax2+bx+c=0的两根,故令函数为:y=a(x+1)(x-n) 展开得y=ax2+(a-an)x-an,∴当x=0时,p=-an,又已知p=-3a(n-2) ∴-an=-3a(n-2),得n=3,∴点 B 坐标(3,0), ∴y=a(x2-2x-3) ⑵由⑴得 AB=4,当∠AMB=900时,则 AB 是△ AMB 的外接圆的直径, ∴圆心 N 坐标为(1,0),设点 M 坐标(m,n),∴MN2=(m-1)2+n2=22=4…①, ∵点 M 是抛物线上的点,∴a(m2-2m-3)=n……②,由①得:m2-2m-4=-n2, 1 1 1 代入②得:-n2· a=n,∴n=- ,代入①得(m-1)2=4- 2,∴4- 2≥0, a a a 1 1 1 ∴a2≥ ,得a≤- (∵a>0,故舍去),a≥ 。 4 2 2 (根与函数系式的关系、两点距离的的确应用,它们都是解压轴题的基础和工具) ※两点距离的逆命题的应用: 测试题:求函数y= x2+2x+2+ x2-4x+8 求 y 的最小值。 14、某学生为了培养自己的自主学习能力,采用级别制的自我激励方法管理,级别标志是:全天自主 学习时间累计满 2 小时就算学习 1 天,学习满 5 天时,级别标志为 1 颗星星:又满 7 天时,再增加 1 颗星星,级别标志为 2 颗星星;……(得到第 n 颗星星要比得到第 n-1 颗星星时多耗时 2 天). 每够 4 颗星星就改用 1 个月亮,每够 4 个月亮就改用 1 个太阳(即 16 颗星星为 1 个太阳)。如果 从 2011 年 9 月 1 日入初中第一天开始,每天不间断学习至今天(2014 年 2 月 13 日),级别标志 是什么?www.21-cn-jy.com 解:2012 年 9 月 1 日至 2014 年 8 月 31 日共 365× 2 天,9 月(30),10(31),11(30) 12(31),1(31),2(13)共 166 天,∴总天数=730+166=896 天, 2n+3+5 每次天数累计之和 S=5+7+9+……+2n+3= × n,∴n(n+4)=896 2 ∴(n+2)2=900,∴n=28,即期间共得 28 个星,换算成月亮共 7 个,7=4+3
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个部分.21cnjy.com

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∴1 太阳,3 个月亮 15、 如图, 在四边形 ABCD 中, 已知 BA=AD=DC, AC≠BD, AC 与 BD 交于点 P, ∠ABC+∠BCD=120° , 求证:PB=PC。(提示:在解答本题时可能用到一下结论:对交互补的四边形内接于圆,简称四点共 圆)。【来源:21· 世纪· 教育· 网】 E 设∠ABD=a,∠ACD=?,则∵AB=AD,∴∠ADB=a,www-2-1-cnjy-com 又 AD=CD,∴∠DAC=?,∵∠APD=∠BPC,【出处:21 教育名师】 F ∴∠PBC+∠PCB=∠DAC+∠ADB=a+?,【版权所有:21 教育】 D A ∴∠ABC+∠BCD=2a+2?=1200,∴a+?=600, ∴∠BPC=1200, P 延长 BA、CD 交于点 E,可得∠BEC=600, B C 到此完成了一半的工作量,我们假设 PB=PC 成立, 那么延长 BD 至 F 使 PB=PF,则有∠BCF=900,又得 PF=PC,∴△PCF 是正三角形, ∴作延长 PD 至 F 使 PF=PC,∵∠DPC=600,∴△PCF 是正三角形,∴∠F=600, ∴∠E=∠F,∴B、C、F、E 四点共圆(同侧张角相等),∴∠ABF=∠ECF,又 AB=CD, ∠APB=∠F,∴△PAB≌△FDC,∴PB=CF,∵CF=PC,∴PB=PC (实际上当证得∠BPC=2∠A 时,我们就可以设想 P 是△ BCE 的外接圆的圆心,此类为无圆型四点共 圆,对共圆的判定及应用在本从的《四点共圆》中有详解,其中无圆 56 例,有圆 47 例)

16、已知 a 是方程x3-3x+q=0的一个实根(q是实数). (1)当 q 是何值时,上述方程恰好有两个不相等的实数根? (2)证明:当上述方程仅有一个实数根时,|q|>2.
y

q q 解:可得x2-3x=- ,∴函数y1=x2-3与函数y2=- 的交点 x x
x

O

个数为方程x3-3x+q=0的实根个数,不论反比例函数在 哪两个象限,y1与y2至少有一个交点(如图),当方程恰好 有两个不相等的实数根时,说明其中一点为两者的切点 即切点的两根相等,∴设方程为(x-m)(x-n)2=0,

m、n为方程的两根,展开得x3-(m+2n)x2+(n2+2mn)x-mn2=0,比较两方程系数

? ?m2+2n=0 得: ?n +2mn=-3,∴n2=1,∴n=± 1,∴m=-2n=± 2,∴q=-mn2=± 2 2 ?q=-mn ?
⑵当|q|>2从图象可知,反比例函数的图象从切点移开,此时两者只有一个交点 ※同类测试题:求方程x3-2x2=1根的个数及正负性。 (本题运用方程的组建技术,方程与函数相互转化,此类解题技术在本人《二次函数与方程》…… 二次函数与反比例函数的交点方程所章节中有详细分析)21· 世纪*

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