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二倍角与半角公式


二倍角的 正弦、余弦、正切公式

复习回顾:两角和与差的三角公式
cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? .简记:C (? ? ?)

sin?? ? ? ? ? sin? cos? ? cos? sin? .简记:S (? ? ?)
tan? ? tan ? tan( ? ??)? ,简记:T?? ? ? ? 1 ? tan? tan ?
你能否利用上述公式,推出sin2α、 cos2α、tan 2α的 公式?

二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?,简记S 2? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ,简记C 2? 2 tan ? k? ? ? tan 2? ? (? ? ? 且? ? k? ? ) ,简记T2? 2 1 ? tan ? 2 4 2
对于C2α能否有其它表示形式?

cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2

二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如4α 是2α的两倍,α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍,α/3 是α/6的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式。因 此,要理解“二倍角”的含义,即当α=2β时,α就是β 的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角 公式。

公式的简单运用
5 ? ? [课本例题] 已知 sin2? ? , ? ? ? , 求 sin4? , cos 4? , tan4? . 13 4 2 ? 12 ? ? ? ? [同型练习 ] 已知 cos ? ? , ? ? , ? ?, 求 sin? , cos? , tan? . 2 13 2 ? 2 ? 4 [课本例题]在△ABC中, cos A ? , tan B ? 2, 求 tan (2 A ? 2 B ). 5 3 1 ?? ? [提高练习 ] 已知 sin x ? , x ? ? , ? ?, tan ( ? ? y ) ? , 求 tan (x ? 2 y ). 5 2 ?2 ?

公式的逆向运用
1.求下列各式的值: 2 tan15? 2 (1) sin22.5? cos 22.5?; ( 2) ; ( 3 ) 1 ? 2 sin 75? 2 1 ? tan 15? 2.化简下列各式: 3? 1 ? tan ?? ?? ? ? 4 ? 4 ? 2 (1) sin ? cos ; ( 2) ; (3) sin? ? ? ? cos? ? ? ? 3? 2 2 4? ?4 ? ? tan 2 ? 5? 3.求值: (1) cos cos ; ( 2) cos36? cos72? 12 12
2

完成课本135页练习

公式的变式 2 1 ? sin2? ? (sin ? ? cos? )

? 1 ? cos2? ? 2 sin ?
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2 2

升幂降角

?

平方功能

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 si n ? ? 2
2

?

降幂升角

?

半角公式

升降幂功能与平方功能的应用
1.化简下列各式: (1) 1 ? si n40?; ( 2) 1 ? si n? ; (3) 1 ? cos 20?; ( 4) 1 ? cos? 1 ? si n2? ? cos 2? 1 ? si n2? ? cos 2? 2.化简: (1) ; ( 2) 1 ? si n2? ? cos 2? 1 ? si n2? ? cos 2? si n2? ? cos 2? 3.证明: ? tan? 2 2 cos 2? ? 2 si n ? ? cos? 1 4.已知 si n x ? cos x ? ,0 ? x ? ? , 求 si n2 x和 cos 2 x . 3

探究:半角公式
问题:能否由二倍角公式及其变式,推导出半角公式 (即α/2) ? 1 ? cos? cos ? ? 1 ? cos 2? 2 cos ? ? 2 2

2 ? 1 ? cos? 1 ? cos 2? 2 si n ? ? si n ? ? 2 2 2 ? ? sin 公式前的? 号,取决于 ? 1 ? cos? 2 t an ? ?? 2 2 cos ? 1 ? cos? 所在的象限,注意讨论. 2

tan

?
2

?

si n cos

?

?

2 ??? ? 2

你还能写出其它的形式吗?

探究:半角公式
tan

?
2

?

si n cos

? ?
2 ? 2

2 si n

?
2

cos

?
2 ?

sinα
C

2 cos2 2 si n
2

?

si n? 1 ? cos? α

α 2

tan

?
2

?

si n cos

?

?

2 ? 2

1 ? cos? ? ? ? si n? 2 si n cos 2 2 2

?

2

2
A O

1 α
D

B

1+cosα cosα

1-cosα

轻的浮上来

1 ? cos? sin? 1 ? cos? tan ? ? ? ? 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin?
重的沉下去

?

问题:用tan
?

?
2

表示 sin ? , cos ? , tan ? .
? ? ? ?

2 si n cos 2 tan 2 2 ? 2 . si n? ? 2 si n cos ? 2 2 si n2 ? ? cos2 ? 1 ? tan2 ? 2 2 2 cos? ? cos
2 ?

2

? si n

2 ?

2

?

cos si n

2

? ?
2

? si n ? cos

2

? ?
2 ? 2

1 ? tan

2

? ?
2. 2

2

2

2

1 ? tan

2

tan? ?

2 tan

?
2 .
2

万 能 公 式

1 ? tan

?

2

基本公式(一)
cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? .简记:C (? ? ?) sin?? ? ? ? ? sin? cos? ? cos? sin? .简记:S (? ? ?)
tan? ? tan ? tan( ? ??)? ,简记:T?? ? ? ? 1 ? tan? tan ?

? ? a b ? a sin x ? b cos x ? a ? b ? sin x ? cos x ? 2 ? 2 2 2 a ?b ? a ?b ? b 2 2 ? a ? b sin(x ? ? ) 其中tan? ? a
2 2

基本公式(二)
sin 2? ? 2 sin ? cos ?,简记S2 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?, 简记C 2 ? 2 tan ? k? ? ? tan 2? ? (? ? ? 且? ? k? ? ) , 简记T2 ? 2 1 ? tan ? 2 4 2

? 1 ? cos? ? 1 ? cos? cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2 ? sin ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? 2 tan ? ?? ? ? 2 cos ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? 2

问题:用tan
?

?
2

表示 sin ? , cos ? , tan ? .
? ? ? ?

2 si n cos 2 tan 2 2 ? 2 . si n? ? 2 si n cos ? 2 2 si n2 ? ? cos2 ? 1 ? tan2 ? 2 2 2 cos? ? cos
2 ?

2

? si n

2 ?

2

?

cos si n

2

? ?
2

? si n ? cos

2

? ?
2 ? 2

1 ? tan

2

? ?
2. 2

2

2

2

1 ? tan

2

tan? ?

2 tan

?
2 .
2

万 能 公 式

1 ? tan

?

2

作业讲评(3月25日)
α 4 α 3 1. 已 知 sin ? ,cos ? ? ,则 角 α 所 在 的 象 限 是 : _____. 2 5 2 5 α α α 法 一:? sin ? 0, cos ? 0, ? ?II 2 2 2 π α 从 而 2kπ ? ? ? 2kπ?π , 即 4kπ ?π?α? 4kπ? 2π , 2 2 7 2α 又 cosα ? 2cos ? 1 ? ? ? 0, ?α?III. 2 25 α α 法 二: sinα? 2sin cos ? 0, cosα ? 0, ?α?III. 2 2 α 2 α 3 2π α 3π 法 三: ?II, 且 ? sin ? , ? 2kπ? ? ? 2kπ? , 2 2 2 2 3 2 4 4π 3π ? 4kπ? ?α? 4kπ? ,故 α ?III. 3 2

作业讲评(3月25日)
1 2.已知sin? ? cos? ? ,0 ? ? ? ? , 则sin2? , cos2?的值依次是() 3 ? 3? 解析: 易知? ? ( , ),? sin 2? ? 0, cos 2? ? 0,? 选C. 2 4 2 8. cos360 cos720 ? _______ . 4.已知tan

?

? 3, 则cos?为: ______.

作业讲评(3月25日)
9.(1)化简: sin500 (1 ? 3 tan100 ); 1 ? (2)已知sin( ? ? ) sin( ? ? ) ? , 且? ? ( , ? ), 求sin4? . 4 4 6 2 4 5? 7? sin2x ? 2sin x 10.已知cos( ? x) ? ? , ?x? ,求 . 4 5 4 4 1 ? tan x
2

?

?

?

作业讲评(3月26日)

π π 1 2. 已 知 cos( ?θ )cos( ?θ )? ,则 sin4 θ? cos4 θ? _____. 4 4 4 2 2 C 5. 已 知 关 于 x的 方 程 x ? xcosA? cosB? 2sin ? 0的 两 根 2 之 各 等 于 两 根 之 积 的半 一, 则 Δ ABC一 定 是 __ __三 角 形 . 1? cos(3π -θ ) 3π 6.化 简 ( ?θ? 2π )? __________ _. 2 2
0 3 ? 4sin20 ? 8sin3 200 9.求 的值. 0 0 2sin100 cos80

作业讲评(3月26日)
? sin2? ? cos ? 10.(1)已知tan( ? ?) ? 2, 求 的值. 4 1 ? cos 2? ? ? (2) 已知tan2? ? ?2 2 , ? ? ? , 4 2 2 ? 2cos ? sin ? ? 1 2 求 . ? 2 sin( ? ?) 4
2


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