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第三章导数练习题及答案:函数的极值


利用导数求函数的极值
例 求下列函数的极值:

1. f ( x) = x 3 ? 12 x ;2. f ( x) = x 2 e ? x ;3. f ( x ) =

2x ? 2. x +1
2

分析: 分析:按照求极值的基本方法,首先从方程 f ′( x ) = 0 求出在函数 f (x ) 定义域内所有 可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.
2 解:1.函数定义域为 R. f ′( x ) = 3 x ? 12 = 3( x + 2)( x ? 2).

令 f ′( x ) = 0 ,得 x = ±2 . 当 x > 2 或 x < ?2 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数在 (? ∞,?2 ) 和 (2,+∞ ) 上是增函数; 当 ? 2 < x < 2 时, f ′( x ) < 0 , ∴函数在(-2,2)上是减函数. ∴当 x = ?2 时,函数有极大值 f (?2) = 16 , 当 x = 2 时,函数有极小值 f ( 2) = ?16. 2.函数定义域为 R. f ′( x ) = 2 xe ? x ? x 2 e ? x = x ( 2 ? x )e ? x 令 f ′( x ) = 0 ,得 x = 0 或 x = 2 . 当 x < 0 或 x > 2 时, f ′( x ) < 0 , ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,0 ) 和 (2,+∞ ) 上是减函数; 当 0 < x < 2 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数 f (x ) 在(0,2)上是增函数. ∴当 x = 0 时,函数取得极小值 f (0) = 0 , 当 x = 2 时,函数取得极大值 f ( 2) = 4e ? 2 . 3.函数的定义域为 R.

f ′( x) =

2(1 + x 2 ) ? 2 x ? 2 x 2(1 ? x)(1 + x) = . ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2

令 f ′( x ) = 0 ,得 x = ±1 . 当 x < ?1 或 x > 1 时, f ′( x ) < 0 , ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,?1) 和 (1,+∞ ) 上是减函数; 当 ? 1 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数 f (x ) 在(-1,1)上是增函数. ∴当 x = ?1 时,函数取得极小值 f (?1) = ?3 , 当 x = 1 时,函数取得极大值 f (1) = ?1. 说明:思维的周密性是解决问题的基础,在解题过程中,要全面、系统地考虑问题, 说明: 注意各种条件 综合运用,方可实现解题的正确性.解答本题时应注意 f ′( x0 ) = 0 只是函数

f (x) 在 x0 处有极值的必要条件, 如果再加之 x0 附近导数的符号相反, 才能断定函数在 x0 处
取得极值.反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误.

复杂函数的极值
例 求下列函数的极值: 1. f ( x) = 3 x 2 ( x ? 5) ;2. f ( x ) = x 2 ? x ? 6 . 分析: 分析:利用求导的方法,先确定可能取到极值的点,然后依据极值的定义判定.在函 数 f (x ) 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点” ,除了确定其导数为零的点外,还必须确 定函数定义域内所有不可导的点. 这两类点就是函数 f (x ) 在定义内可能取到极值的全部 “可 疑点” . 解:1. f ′( x ) =

2 33 x

( x ? 5) + 3 x 2 =

2( x ? 5) + 3 x 5( x ? 2) = 3 . 33 x 3 x

令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = 2 ,但 x = 0 也可能是极值点. 当 x < 0 或 x > 2 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,0 ) 和 (2,+∞ ) 上是增函数; 当 0 < x < 2 时, f ′( x ) < 0 ,

∴函数 f (x ) 在(0,2)上是减函数. ∴当 x = 0 时,函数取得极大值 f (0) = 0 , 当 x = 2 时,函数取得极小值 f ( 2) = ?33 4 .

? 2 ? x ? x ? 6, ( x ≤ ?2或x ≥ 3), 2. f ( x ) ? ?? x 2 + x + 6, (?2 < x < 3), ?

?2 x ? 1, ( x < ?2或x > 3), ? ∴ f ′( x) ?? 2 x + 1, ( ?2 < x < 3), ?不存在, ( x = ?2或x = 3). ?
令 f ′( x ) = 0 ,得 x = 当 x < ?2 或

1 . 2

1 < x < 3 时, f ′( x) < 0 , 2

∴函数 f (x ) 在 (? ∞,?2 ) 和 ? ,3 ? 上是减函数; 当 x > 3或? 2 < x <

?1 ? ?2 ?

1 时, f ′( x ) > 0 , 2 ? ? 1? 2?

∴函数 f ( x ) 在 (3,+∞ ) 和 ? ? 2, ? 上是增函数. ∴当 x = ?2 和 x = 3 时,函数 f ( x ) 有极小值 0, 当x=

1 25 时,函数有极大值 . 2 4

说明: 说明:在确定极值时,只讨论满足 f ′( x0 ) = 0 的点附近的导数的符号变化情况,确定极 值是不全面的.在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值.本题 1 中 x = 0 处,2 中

x = ?2 及 x = 3 处函数都不可导, f ′(x) 在这些点处左右两侧异号, 但 根据极值的判定方法,
函数 f (x) 在这些点处仍取得极值.从定义分析,极值与可导无关.

根据函数的极值确定参数的值
例 已知 f ( x) = ax + bx + cx( a ≠ 0) 在 x = ±1 时取得极值,且 f (1) = ?1 .
3 2

1.试求常数 a、b、c 的值; 2.试判断 x = ±1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由.

分析: 分析:考察函数 f (x ) 是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极 值点与导数的关系,即极值点必为 f ′( x ) = 0 的根建立起由极值点 x = ±1 所确定的相关等 式,运用待定系数法求出参数 a、b、c 的值. 解:1.解法一: f ′( x) = 3ax + 2bx + c .
2

Q x = ±1 是函数 f (x) 的极值点,
∴ x = ±1 是方程 f ′( x) = 0 ,即 3ax + 2bx + c = 0 的两根,
2

由根与系数的关系,得

? 2b 1 ?? 3a = 0, ( ) ? ? ? c = ?1, (2) ? 3a ?
又 f (1) = ?1 ,∴ a + b + c = ?1 , 由(1)(2)(3)解得 a = 、 、 (3)

1 3 , b = 0, c = ? . 2 2

解法二:由 f ′( ?1) = f ′(1) = 0 得

3a + 2b + c = 0 , 3a ? 2b + c = 0

(1) (2) (3)

又 f (1) = ?1 ,∴ a + b + c = ?1 , 解(1)(2)(3)得 a = 、 、

1 3 , b = 0, c = ? . 2 2 1 3 3 3 2 3 3 2. f ( x ) = x ? x ,∴ f ′( x ) = x ? = ( x ? 1)( x + 1). 2 2 2 2 2

当 x < ?1 或 x > 1 时, f ′( x ) > 0 ,当 ? 1 < x < 1 时, f ′( x ) < 0. ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,?1) 和 (1,+∞ ) 上是增函数,在(-1,1)上是减函数. ∴当 x = ?1 时,函数取得极大值 f ( ?1) = 1 , 当 x = 1 时,函数取得极小值 f (1) = ?1 . 说明: 说明:解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构 进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化,在转化的过程中充分运用 了已知条件确定了解题的大方向.可见出路在于“思想认识” .在求导之后,不会应用

f ′(±1) = 0 的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍.


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