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2018年学习导数及其运算教材课件PPT_图文

第一节 导数及其运算 1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬 时速度、加速度、光滑曲线切线的 斜率等);掌握函数在一点处的导数 的定义和导数的几何意义;理解导 考 函数的概念. 纲 2.熟记基本导数公式(C,xm(m为有理 点 数),sin x,cos x,ex,ax,ln x, 击 logax的导数),掌握两个函数和、差 、积、商的求导法则,了解复合函 导数的几何意义、物理意 义、切线问题是高考的 热点提 热点,常在小题中考查, 示 有时也融在解答题中来 考查. 1.导数的概念 已知函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增 量 Δx,那么函数 y 相应地有增量. f(x0+Δx)-f(x0) . Δy=_________________ Δy 比值 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+Δx 之 Δx 间的平均变化率,即 0 0 Δy =________________. Δx Δx f(x +Δx)-f(x ) Δy 如果当 Δx→0 时, 有极限,我们就说函数 Δx y=f(x)在点 x0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处 的导数(或变化率),记 _______________ 作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f(x0+Δx)-f(x0) Δy f′(x0)=Δ lim =Δ lim . x→0 Δx x→ 0 Δx 如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说 f(x)在开区间(a,b)内可导,由这些导数值 构 成 的 函 数 叫 做 f(x) 在 区 间 (a , b) 内 的 _________ 导函数 ,记作 f′(x)或 y′,即 f′(x)=y′ f(x+Δx)-f(x) Δy =Δ lim =Δ lim . 导函数简称导 x→0 Δx x→0 Δx 数. 可导 ,那么函数 y 如果函数 y=f(x)在点 x0 处______ =f(x)在点 x0 处连续. 2.求导数的方法 (1)求函数的增量 Δy=f(x+Δx)-f(x). Δy f(x+Δx)-f(x) (2)求平均变化率 = . Δx Δx Δy (3)取极限,得导数Δ lim =f′(x). x→0 Δx 3.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意 义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的 切线的斜率 .即斜率为 f′(x0),在 _______________ 点 P 处的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x- x0) 4.几种常见函数的导数 0 C 为常数); (1)C′=__( n-1 n nx ; (2)(x )′=______ (3)(sin x)′=______ cos x ; (4)(cos x)′=_______ -sin x ; 1 (5)(ln x)′=___ x; 1 log ae; (6)(logax)′=________ x (7)(ex)′=____ ex ; axln a (8)(ax)′=________. 5.导数的四则运算法则 u′±v′ (1)和(差)的导数:(u± v)′=______________ 推 广到有限个函数的情形: u′+v′+…+ω′ (u+v+…+ω)′=___________________ ; u′v+uv′ (2)积的导数:(uv)′=____________ ; cu′ (c 为常数); 特例:(cu)′=______ u′v-uv′ ?u? ? 2 (3)商的导数:? (v≠0). v ? ?′=____________ v ? ? 6.复合函数的导数 设函数 u = φ(x) 在点 x 处有导数 u′x = φ′(x),函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处 有导数 y′u=f′(u), 则复合函数 y=f[φ(x)] y′u· u′x 在点 x 处有导数,且 y′x=___________. 1.已知函数 y=f(x)=x2+1,在 x=2, Δx=0.1 时,Δy 的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 【解析】 Δy=f(2+Δx)-f(2) =(2+Δx)2+1-(22+1)=22+4Δx+(Δx)2 2 +1-2 -1 =4Δx+(Δx)2=4×0.1+(0.1)2 =0.4+0.01=0.41. 【答案】 B f(x0+2Δx)-f(x0) 2.若Δ lim =1, x→0 3Δx 则 f′(x0)等于( ) 2 3 A. B. 3 2 C.3 D.2 f(x0+2Δx)-f(x0) 【解析】 Δ lim =1 x→0 3Δx f(x0+2Δx)-f(x0) f′(x0)=Δ lim x→0 2Δx f(x0+2Δx)-f(x0) =Δ lim x→0 2 · 3△x 3 f(x0+2Δx)-f(x0) 3 3 = Δ lim = . 2 x→0 3Δx 2 【答案】 B 3. 函数 y=xcos x-sin x 的导数为( ) A.xsin x B.-xsin x C.xcos x D.-xcos x 【解析】 ∵y′ = (xcos x - sin x)′ = (xcos x)′-(sin x)′ =x′cos x+x(cos x)′-cos x =cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 【答案】 B 4. 设 y= 1+a+ 1-x, 则 y′=______. 【解析】 ∵y= 1+a+ 1-x, ∴y′ = ( 1+a + 1-x )′ = ( 1+a )′ + ( 1-x)′ (1-x)′ -1 1 =0+ = =- = 2 1-x 2 1-x 2 1-x 1-x . 2(x-1) 1-x 【答案】 2(x-1) 5. 曲线 y=sin x 在点 ______. 【解析】 ?π 1? ? P?6,2? ?处的切线方程是

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