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中考数学二次函数应用题(含答案)

中考数学二次函数应用题分类汇编
列方程(组)解应用题是中考的必考内容,必是中考的热点考题之一,列方程(组)解应用题的关键与难点是如 何找到能够表示题目全部含义的相等关系,所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中,题目所给出的全部条 件(包括所求的量)都要给予充分利用,不能漏掉,但也不能把同一条件重复使用,应用题中的相等关系通常有两 种,一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系,如“多” 、“少” 、“增加” 、“减少” 、 “快” 、“慢”等,另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系,这也是中考的重点和难点, 此时需全面深入的理解题意,结合日常生活常识和自然科学知识才能做到. 解应用题的一般步骤:
解应用题的一般步骤可以归结为:“审、设、列、解、验、答” . 1、“审”是指读懂题目,弄清题意,明确题目中的已知量,未知量,以及它们之间的关系,审题时也可以利 用图示法,列表法来帮助理解题意. 2、“设”是指设元,也就是未知数.包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目). 3、“列”就是列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然 后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程. 4、“解”就是解方程,求出未知数的值. 5、“验”就是验解,即检验方程的解能否保证实际问题有意义. 6、“答”就是写出答案(包括单位名称). 应用题类型: 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有:行程问题,工程问题,增产率问题,百分比浓度问题, 和差倍分问题,与函数综合类问题,市场经济问题等. 几种常见类型和等量关系如下: 1、行程问题:
基本量之间的关系:路程=速度×时间,即: s ? vt .
常见等量关系: (1)相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程. (2)追及问题(设甲速度快): ①同时不同地: 甲用的时间=乙用的时间; 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程. ②同地不同时: 甲用的时间=乙用的时间-时间差; 甲走的路程=乙走的路程.
2、工程问题: 基本量之间的关系:工作量=工作效率×工作时间. 常见等量关系:甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量. 3、增长率问题: 基本量之间的关系:现产量=原产量×(1+增长率). 4、百分比浓度问题: 基本量之间的关系:溶质=溶液×浓度. 5、水中航行问题: 基本量之间的关系:顺流速度=船在静水中速度+水流速度;
逆流速度=船在静水中速度-水流速度. 6、市场经济问题: 基本量之间的关系:商品利润=售价-进价;
商品利润率=利润÷进价; 利息=本金×利率×期数; 本息和=本金+本金×利率×期数.

一,基础类型题

中考数学二次函数应用题分类汇总

1. 一小球被抛出后,距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足下列函数关系式: h ? ?(5 t ?1)2 ? 6 ,则小

球距离地面的最大高度是( )

A.1 米

B.5 米

C.6 米

D.7 米

【答案】C

2. (广东株洲)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为 x 轴,出水点为原点,建立平面直角坐

标系,水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )

A.4 米

B.3 米

C.2 米

D.1 米

【答案】D

3. (山东聊城)某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见,每段护栏需要间距 0.4m

加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部 0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )

A.50m

B.100m C.160m

D.200m

【答案】C

4. (湖南怀化)出售某种手工艺品,若每个获利 x 元,一天可售出(8-x)个,则当 x=________元时,一天出售

该种手工艺品的总利润 y 最大.

【答案】4

5. (山东滨州)如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点 O 落在水平面上,

对称轴是水平线 OC。点 A、B 在抛物线造型上,且点 A 到水平面的距离 AC=4O 米,点 B 到水平面距离为 2 米,OC=8

米。

(1) 请建立适当的直角坐标系,求抛物线的函数解析式;

(2) 为了安全美观,现需在水平线 OC 上找一点 P,用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱 PA、PB 对

抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考

虑)时的点 P?(无需证明)

(3) 为了施工方便,现需计算出点 O、P 之间的距离,那么两根支柱用料最省时点 O、P 之间的距离是多少?

(请写出求解过程)

【答案】

解:(1)以点 O 为原点、射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系设抛物线的函数解析式为 y ? ax2 ,由题意知点

A 的坐标为(4,8)。且点 A 在抛物线上,所以 8=a×42 ,解得 a= 1 ,故所求抛物线的函数解析式为 y ? 1 x2 (2)找

2

2

法:延长 AC,交建筑物造型所在抛物线于点 D, 则点 A、D 关于 OC 对称。连接 BD 交 OC 于点 P,则点 P 即为所求。

(3)由题意知点 B 的横坐标为 2,且点 B 在抛物线上,所以点 B 的坐标为(2,2)又知点 A 的坐标为(4,8),所

以点 D 的坐标为(-4,8)设直线 BD 的函数解析式为

y=kx+b,则有

?2k ? b ? 2 ???4k ? b ? 8

解得

k=-1,b=4.

故直线 BD 的

函数解析式为 y=-x+4,把 x=0 代入 y=-x+4,得点 P 的坐标为(0,4)两根支柱用料最省时,点 O、P 之间的距

离是 4 米。

6、(衢州)某果园有 100 棵橘子树,平均每一棵树结 600 个橘子.根据经验估计,每多种一颗树,平均每棵树就会少 结 5 个橘子.设果园增种 x 棵橘子树,果园橘子总个数为 y 个,则果园里增种 10 棵橘子树,橘子总个数最多.

解答: 解:假设果园增种 x 棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树,∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子,∴这时平均每棵树就会少结 5x 个橙子,则平均每棵树结(600﹣5x)个橙子.∵果园橙子的总产量

为 y,∴则 y=(x+100)(600﹣5x)=﹣5x2+100x+60000,∴当 x=﹣ =﹣

=10(棵)时,橘子

总个数最多.故答案为:10.

点评: 此题主要考查了二次函数的应用,准确分析题意,列出 y 与 x 之间的二次函数关系式是解题关键. 7、(山西)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于 A,B 两点,桥拱最高点 C 到 AB 的距离为 9m,AB=36m,D,E 为桥拱底部的两点,且 DE∥AB,点 E 到直线 AB 的距离为 7m,则 DE 的长为_____m.

【答案】48

【解析】以 C 为原点建立平面直角坐标系,如右上图,依题意,得 B(18,-9),

设抛物线方程为: y ? ax2 ,将 B 点坐标代入,得 a=- 1 ,所以,抛物线方程为: y ? ? 1 x2 ,

36

36

E 点纵坐标为 y=-16,代入抛物线方程,-16= ? 1 x2 ,解得:x=24,所以,DE 的长为 48m。 36

例 2(广东省)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.

(1)解:设剪成两段后其中一段为 xcm,则另一段为(20-x)cm 由题意得:( x)2 ? ( 20 ? x)2 ? 17

4

4

解得:x1 ? 16 ,

x2 ? 4

当 x1 ?16 时,20-x=4 当 x2 ? 4 时,20-x=16

答:(略) (2)不能

整理得: x2 ? 20x ?104 ? 0 ∵ △= b2 ? 4ac ? ?16 ? 0 ∴此方程无解

理由是:( x )2 ? ( 20 ? x)2 ? 12

4

4

即不能剪成两段使得面积和为 12cm2

二,销售利润问题

1 .(南京市) 西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜,以 3 元/千克的价格出售,每天可售出 200 千克.为 了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克,每天可多售出 40 千克.另外,每 天的房租等固定成本共 24 元.该经营户要想每天盈利 200 元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
解:设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元,根据题意得:(3 ? 2 ? x)(200 ? 40x ) ? 24 ? 200 解这个方程得: 0.1
x1 ? 0.2 x2 ? 0.3 答:应将每千克小型西瓜的售价降低 0.2 或 0.3 元
2. (山东泰安)某商店经营一种小商品,进价为每件 20 元,据市场分析,在一个月内,售价定为每件 25 元时,可卖 出 105 件,而售价每上涨 1 元,就少卖 5 件。
(1)当售价定为每件 30 元时,一个月可获利多少元? (2)当售价定为每件多少元时,一个月的获利最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)获利:(30-20)[105-5(30-25)]=800(元)(2)设售价为每件 x 元时,一个月的获利为 y 元 由题意,得:y=(x-20)[105-5(30-25)]=-5x2+330x-4600=-5(x-33)2+845 当 x=33 时,y 的最大值是 845 故当售价为定价格为 33 元时,一个月获利最大,最大利润是 845 元。
3、(滨州)某商品的进价为每件 40 元.当售价为每件 60 元时,每星期可卖出 300 件,现需降价处理,且经市场调查: 每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:
(1)若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元,请写出 y 与 x 的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范
围;(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少? (3)请画出上述函数的大致图象.
答案】(1)y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=- 20x2 ?100x ? 6000 ,0≤x≤20;
(2)y=-20 (x ? 2.5)2 ? 6135 ,∴当 x==2.5 元,每星期的利润最大,最大利润是 6135 元;(3)图像略.
4、(孝感)在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫” 在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲.经试验发现,若每件按 24 元的价格销售时,每天能卖出 36 件; 若每件按 29 元的价格销售时,每天能卖出 21 件.假定每天销售件数 y(件)与销售价格 x(元/件)满足一个以 x 为自 变量的一次函数. (1)求 y 与 x 满足的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围); (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润 P 最大?

解答: 解:(1)设 y 与 x 满足的函数关系式为:y=kx+b.

由题意可得:

解得

故 y 与 x 的函数关系式为:y=﹣3x+108.

(2)每天获得的利润为:P=(﹣3x+108)(x﹣20)=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3(x﹣28)2+192. 故当销售价定为 28 元时,每天获得的利润最大. 点评: 本题主要考查二次函数的应用的知识点,解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法,此 题难度不大. 5、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元,每星期可卖出 80 件.商家决定降价促销,根据 市场调查,每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?
解:(1) (130-100)×80=2400(元)(2)设应将售价定为 x 元,则销售利润 y ? (x ?100)(80 ? 130 ? x ? 20) 5
? ?4x2 ?1000x ? 60000 ? ?4(x ?125)2 ? 2500 .当 x ?125时, y 有最大值 2500. ∴应将售价定为 125 元,最大销售

6、某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出,平均每天能售出 8 台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商 场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低 50 元,平均每天就能多售出 4 台.
(1)假设每台冰箱降价 x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元,请写出 y 与 x 之间的函数表达式;(不要求写 自变量的取值范围)
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

解:(1)

y

?

(2400

?

2000

?

x)

? ??

8

?

4

?

x 50

? ??

,即

y

?

?

2 25

x2

?

24x

?

3200



(2)由题意,得 ? 2 x2 ? 24x ? 3200 ? 4800 .整理,得 x2 ? 300x ? 20000 ? 0 . 25

得 x1 ? 100,x2 ? 200 .要使百姓得到实惠,取 x ? 200 .所以,每台冰箱应降价 200 元.

(3)对于

y ? ? 2 x2 ? 24x ? 3200 25

,当

x ? ? 24 ? 150

2

?

? ??

?

2 25

? ??

时,

y最大值

?

(2400

?

2000

?

150)

? ??

8

?

4? 150 50

? ??

?

250? 20

?

5000 .

所以,每台冰箱的售价降价 150 元时,商场的利润最大,最大利润是 5000 元. 7.(山东菏泽)我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元,售价 20 元,多买优惠 ;凡是一次买 10 只以上的,每多买

1 只,所买的全部计算器每只就降低 0.10 元,例如,某人买 20 只计算器,于是每只降价 0.10×(20-10)=1(元),因此,

所买的全部 20 只计算器都按照每只 19 元计算,但是最低价为每只 16 元.

(1) 求一次至少买多少只,才能以最低价购买?

(2) 写出该专卖店当一次销售 x(时,所获利润 y(元)与 x(只)之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;

(3)若店主一次卖的只数在 10 至 50 只之间,问一次卖多少只获得的利润最大?其最大利润为多少?

解:(1)设一次购买 x 只,才能以最低价购买,则有:0.1(x-10)=20-16,解这个方程得 x=50;

?20x ?13x ? 7x(0<x≤50)

答:一次至少买 50 只,才能以最低价购买. (2)

y

?

???[(20 ?

? 13)

?

0.1( x

? 10)]

?

?1 10

x2

?

8x(10<x<50)



??16x ?13x=3x(x≥50)

(说明:因三段图象首尾相连,所以端点 10、50 包括在哪个区间均可)

(3)将 y ? ? 1 x2 ? 8x 配方得 y ? ? 1 (x ? 40)2 ?160 ,所以店主一次卖 40 只时可获得最高利润,最高利润为 160 元.

10

10

8、(武汉)某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果每件商品的售价每上涨 1 元,则
每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上涨 x 元( x 为正整数),每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;

(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么 范围时,每个月的利润不低于 2200 元? 【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题

【答案】解:(1) y ? (210 ?10x)(50 ? x ? 40) ? ?10x2 ?110x ? 2100 ( 0 ? x ≤15且 x 为整数);

(2) y ? ?10(x ? 5.5)2 ? 2402.5. a ? ?10 ? 0 ,? 当 x ? 5.5时, y 有最大值 2402.5.

0 ? x ≤15 ,且 x 为整数,当 x ? 5时,50 ? x ? 55 ,y ? 2400(元),当 x ? 6 时,50 ? x ? 56 ,y ? 2400
(元)? 当售价定为每件 55 或 56 元,每个月的利润最大,最大的月利润是 2400 元.
(3)当 y ? 2200 时, ?10x2 ?110x ? 2100 ? 2200 ,解得: x1 ? 1,x2 ? 10 .
? 当 x ?1 时,50 ? x ? 51,当 x ?10 时,50 ? x ? 60 .? 当售价定为每件 51 或 60 元,每个月的利润为 2200
元.当售价不低于 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元. 当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时,每个月的利润不低于 2200 元(或当售价分别为 51,52,53,
54,55,56,57,58,59,60 元时,每个月的利润不低于 2200 元). 9、(黄冈)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部售完.该公司的年产 量为 6 千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润 y1(元)与国内销售量 x(千件)的关系为:

y1=

若在国外销售,平均每件产品的利润 y2(元)与国外的销售数量 t(千件)的关系为

y2=(1)用 x 的代数式表示 t 为:t= 6﹣x ;当 0<x≤4 时,y2 与 x 的函数关系为:

y2= 5x+80 ;当 4 <x< 6 时,y2=100; (2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w(千元)与国内销售数量 x(千件)的函数关系式,并指出 x 的取值 范围;(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大?最大值为多少?

分析:(1)由该公司的年产量为 6 千件,每年可在国内、国外市场上全部售完,可得国内 销售量+国外销售量=6 千件,即 x+t=6,变形即为 t=6﹣x; 根据平均每件产品的利润 y2(元)与国外的销售数量 t(千件)的关系
及 t=6﹣x 即可求出 y2 与 x 的函数关系:当 0<x≤4 时,

y2=5x+80;当 4≤x<6 时,y2=100; (2)根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润,结合函数解析式,分三种情况

讨论:①0<x≤2;②2<x≤4;③4<x<6;

(3)先利用配方法将各解析式写成顶点式,再根据二次函数的性质,求出三种情况

下的最大值,再比较即可.

解答:

解:(1)由题意,得 x+t=6,∴t=6﹣x;∵

,∴当 0<

x≤4 时,2≤6﹣x<6,即 2≤t<6,此时 y2 与 x 的函数关系为:y2=﹣5(6﹣x)+110=5x+80; 当 4≤x<6 时,0≤6﹣x<2,即 0≤t<2,此时 y2=100.故答案为 6﹣x;5x+80;4,6;
(2)分三种情况:①当 0<x≤2 时,w=(15x+90)x+(5x+80)(6﹣x)=10x2+40x+480; ②当 2<x≤4 时,w=(﹣5x+130)x+(5x+80)(6﹣x)=﹣10x2+80x+480; ③当 4<x<6 时,w=(﹣5x+130)x+100(6﹣x)=﹣5x2+30x+600;

综上可知,w=



(3)当 0<x≤2 时,w=10x2+40x+480=10(x+2)2+440,此时 x=2 时,w 最大=600; 当 2<x≤4 时,w=﹣10x2+80x+480=﹣10(x﹣4)2+640,此时 x=4 时,w 最大=640; 当 4<x<6 时,w=﹣5x2+30x+600=﹣5(x﹣3)2+645,4<x<6 时,w<640; ∴x=4 时,w 最大=640.故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件,可使

公司每年的总利润最大,最大值为 64 万元.

10、(鞍山)某商场购进一批单价为 4 元的日用品.若按每件 5 元的价格销售,每月能卖出 3 万件;若按每件 6 元的价 格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 y(件)与价格 x(元/件)之间满足一次函数关系. (1)试求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少? 考点:二次函数的应用. 分析:(1)利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式; (2)根据“利润=(售价﹣成本)×售出件数”,可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式,然后求出其最大值.解 答:解:(1)由题意,可设 y=kx+b,

把(5,30000),(6,20000)代入得:

,解得:



所以 y 与 x 之间的关系式为:y=﹣10000x+80000; (2)设利润为 W,则 W=(x﹣4)(﹣10000x+80000)=﹣10000(x﹣4)(x﹣8)=﹣10000(x2﹣12x+32) =﹣10000[(x﹣6)2﹣4]=﹣10000(x﹣6)2+40000 所以当 x=6 时,W 取得最大值,最大值为 40000 元. 答:当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元. 11、(咸宁)为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学 毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已 知这种节能灯的成本价为每件 10 元,出厂价为每件 12 元,每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系近似满 足一次函数:y=﹣10x+500. (1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元? (2)设李明获得的利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于 25 元.如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元,那么政府 为他承担的总差价最少为多少元?

分析: (1)把 x=20 代入 y=﹣10x+500 求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价; (2)由利润=销售价﹣成本价,得 w=(x﹣10)(﹣10x+500),把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的 性质求出最大利润; (3)令﹣10x2+600x﹣5000=3000,求出 x 的值,结合图象求出利润的范围,然后设设政府每个月为他承担 的总差价为 p 元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值.

解答: 解:(1)当 x=20 时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,300×(12﹣10)=300×2=600,即政府这个月为他承 担的总差价为 600 元. (2)依题意得,w=(x﹣10)(﹣10x+500)=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10(x﹣30)2+4000 ∵a=﹣10<0,∴当 x=30 时,w 有最大值 4000.即当销售单价定为 30 元时,每月可获得最大利润 4000. (3)由题意得:﹣10x2+600x﹣5000=3000,解得:x1=20,x2=40.∵a=﹣10<0,抛物线开口向下,

∴结合图象可知:当 20≤x≤40 时,w≥3000.,又∵x≤25,∴当 20≤x≤25 时,w≥3000.设政府每个月为他承担 的总差价为 p 元,∴p=(12﹣10)×(﹣10x+500)=﹣20x+1000. ∵k=﹣20<0.∴p 随 x 的增大而减小,∴当 x=25 时,p 有最小值 500. 即销售单价定为 25 元时,政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元.

12、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销
发现,销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y ? kx ? b ,且 x ? 65 时, y ? 55 ; x ? 75 时, y ? 45 .

(1)求一次函数 y ? kx ? b 的表达式;

(2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最
大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围.

解:(1)根据题意得

?65k ??75k

? ?

b b

? ?

55,
解得
45.

k

?

?1,b

?

120

.所求一次函数的表达式为

y

?

?x

?120



(2)W ? (x ? 60) (?x ?120) ? ?x2 ?180x ? 7200 ? ?(x ? 90)2 ? 900 ,

抛物线的开口向下,?当 x ? 90 时,W 随 x 的增大而增大,而 60≤ x ≤87 ,

?当 x ? 87 时,W ? ?(87 ? 90)2 ? 900 ? 891.

?当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元.

(3)由W ? 500 ,得 500 ? ?x2 ?180x ? 7200 ,整理得, x2 ?180x ? 7700 ? 0 ,解得, x1 ? 70,x2 ? 110 .

由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间,而 60≤ x ≤87 ,所以,销售单 价 x 的范围是 70≤ x ≤87 .
13、某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件 20 元,并且 每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始,保持每件 30 元的稳定价格销售,直到 11 周结束,该童装不再销售。
(1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系; (2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价 z(元)与周次 x 之间的关系为 z ? ? 1 (x ? 8)2 ? 12, 1
8
≤ x ≤11,且 x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大?并求最大利润为多少? )

解:(1)

y

?

?20 ??30

?

2(x

?1)

?

2x

?

18(1 ? x ? 6)(x为整数)......(2分) (6 ? x ?11)(x为整数)......(4分)

(2)设利润为 w

w

?

? ?? ? ?

y y

? ?

z z

? ?

20 30

? ?

2(x ?1) ? 1 (x ? 8)2

1 (x 8 ?12

? 8)2 ? 1(

?12 ? x ? 8)2

1 x2 ?14(1 ? x ? 6)(x为整数)....(.. 6分) 8 ?18(6 ? x ? 11)(x为整数)....(.. 8分)

??

8

8

w ? 1 x2 ?14 8

当x

?

5

时,w最大=17

1(元)....(9分) 8

w ? 1 (x ? 8)2 ?18 8

当x

?

11

时,w最大=18

?

9

?

18=19

1(元)....(10分) 8

综上知:在第 11 周进货并售出后,所获利润最大且为每件19 1 元…(10 分 8

14.(贵州省黔东南州)凯里市某大型酒店有包房 100 间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费 100 元时,包

房便可全部租出;若每间包房收费提高 20 元,则减少 10 间包房租出,若每间包房收费再提高 20 元,则再减少 10

间包房租出,以每次提高 20 元的这种方法变化下去。

(1)设每间包房收费提高 x(元),则每间包房的收入为 y1(元),但会减少 y2 间包房租出,请分别写出 y1、y2

与 x 之间的函数关系式。

(2)为了投资少而利润大,每间包房提高 x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y(元),请写出 y 与 x

之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由。

【答案】解:(1) y1 ? 100 ? x

1 y2 ? 2 x

(2) y ? (100 ? x) ? (100 ? 1 x) 2

即:y ? ? 1 (x ? 50)2 ?11250 2

因为提价前包房费总收入为 100×100=10000。

当 x=50 时,可获最大包房收入 11250 元,因为 11250>10000。又因为每次提价为 20 元,所以每间包房晚餐应提高 40

元或 60 元。

15、(重庆市江津区)某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售

价为每件 20 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,从第 6 周开始,保持每件 30 元的稳定价格销售,直到 11 周结束,

该童装不再销售。

(1)请建立销售价格 y(元)与周次 x 之间的函数关系;

(2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价 z(元)与周次 x 之间的关系为 z ? ? 1 (x ? 8)2 ? 12 , 8

1≤ x ≤11,且 x 为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大?并求最大利润为多少? 【关键词】二次函数极值

【答案】【答案】(1)

y

?

?20 ??30

?

2(

x

?1)

?

2x

?18

(1 ? (6 ?

x x

? 6)(x为整数) ? 11)(x为整数)

(2)设利润为 w

w

?

? ? ? ? ? ?

y ? z ? 20 x为整数 y ? z ? 30

? ?

2(x ?1) ? 1 (x ? 8)2

1 8
?

(x 12

? ?

8) 1

2
(

?12 ? x ? 8)2

1 8
?

x2 ?14(1 ? x ? 18(6 ? x ? 11)

6)

?

8

8

??( x为整数)

w ? 1 x2 ?14 8



x

?

5 时,

w最大

? 17

1 8

(元)

w ? 1 (x ? 8)2 ?18 8



x

? 11 时,

w最大

?

1 8

?9

?18

?11 8

?18

? 19

1 8

(元)

综上知:在第 11 周进货并售出后,所获利润最大且为每件19 1 元. 8

16、(黄冈市)新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳

能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司

经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次).公司累积获得的

利润 y(万元)与销售时间第 x(月)之间的函数关系式(即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之间的关系)对应的点都

在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段 OA、曲线 AB 和曲线 BC,其中曲线 AB 为抛物线的一部分,

点 A 为该抛物线的顶点,曲线 BC 为另一抛物线 y ? ?5x2 ? 205x ?1230 的一部分,且点 A,B,C 的横坐标分别

为 4,10,12 (1)求该公司累积获得的利润 y(万元)与时间第 x(月)之间的函数关系式; (2)直接写出第 x 个月所获得 S(万元)与时间 x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程); (3)前 12 个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?
【答案】(1)当 0 ? x ? 4 时,线段 OA 的函数关系式为 y ? ?10x ;当 4 ? x ? 10 时,

由于曲线 AB 所在抛物线的顶点为 A(4,-40),设其解析式为 y ? a?x ? 4?2 ? 40

在 y ? ?5x2 ? 205x ?1230 中,令 x=10,得 y ? 320 ;∴B(10,320)

∵ B ( 10 , 320 ) 在 该 抛 物 线 上 ∴ 320 ? a?10 ? 4?2 ? 40 解 得 a ? 10 ∴ 当 4 ? x ? 10 时 ,

y ? 10?x ? 4?2 ? 40 =10x2 ? 80x ?120

??10 x

( x ? 1,2,3,4) ,

综上可知, y ? ??10 x 2 ? 80 x ? 120 (x ? 5,6,7,8,9,10)



??? 5x2 ? 205 x ?1230(x ? 10,11,12) .

(2) 当 0 ? x ? 4 时, S ? ?10 当 5 ? x ? 10时, S ? 20x ? 90 当11? x ? 12时, S ? ?10x ? 210
(3) 10 月份该公司所获得的利润最多,最多利润是 110 万元. 不低于 2200 元). 17、(山东青岛)某商场要经营一种新上市的文具,进价为 20 元,试营销阶段发现:当销售单价是 25 元时,每天的 销售量为 250 件,销售单价每上涨 1 元,每天的销售量就减少 10 件
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式;[来源:学科网 ZXXK]
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大; (3)商场的营销部结合上述情况,提出了 A、B 两种营销方案 方案 A:该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元; 方案 B:每天销售量不少于 10 件,且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由 解析:(1)w=(x-20)(250-10x+250)=-10x2+700x-10000 (2)w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250 所以,当 x=35 时,w 有最大 值 2250, 即销售单价为 35 元时,该文具每天的销售利润最大 (3)方案 A:由题可得<x≤30,因为 a=-10<0,对称轴为 x=35,抛物线开口向下,在对称轴左侧,w 随 x 的增

大而增大,所以,当

x=30

时,w

取最大值为

2000

元,方案

B:由题意得

?x ? 45 ??250 ?10(

x

?

25)

?

10

,解得:45

?

x

?

49



在对称轴右侧,w 随 x 的增大而减小,所以,当 x=45 时,w 取最大值为 1250 元,因为 2000 元>1250 元, 所以选择方案 A。

18.为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为 5000 元/个,目

前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过 100 个,按原价付款;若一次购买 100 个以上,且

购买的个数每增加一个,其价格减少 10 元,但太阳能路灯的售价不得低于 3500 元/个.乙店一律按原价的 80℅销售.现

购买太阳能路灯 x 个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为 y1 元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为 y2 元. (1)分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式;

(2)若市政府投资 140 万元,最多能购买多少个太阳能路灯?

解:(1)由题意可知,当 x≤100 时,购买一个需 5000 元,故 y1 ? 5000x ;-------------------1 分

当 x≥100 时 , 因 为 购 买 个 数 每 增 加 一 个 , 其 价 格 减 少 10 元 , 但 售 价 不 得 低 于 3500 元 / 个 , 所 以

x≤ 5000 ? 3500 +100=250. 10

即 100≤x≤250 时,购买一个需 5000-10(x-100)元,故 y1=6000x-10x2;当 x>250 时,购买

?5000x 一个需 3500 元,故 y1 ? 3500x ;所以, y1 ? ??6000x ?10x2
??3500x

(0 ? x ? 100), (100 ? x ? 250), (x ? 250).

y2 ? 5 0 0 0? 8 0x%?

4 x0.0 0

(2) 当 0<x≤100 时,y1=5000x≤500000<1400000;当 100<x≤250 时,y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000;

所以,由 3500x ?1400000 ,得 x ? 400 ;由 4000x ?1400000 ,得 x ? 350 . 故选择甲商家,最多能购买 400 个路灯.

19 该款工艺品每天的销售量 y(件)与售价 x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系.

售价 x(元)



70

90



销售量 y(件)



3000

1000



(利润=(售价-成本价)×销售量)(1)求销售量 y(件)与售价 x(元)之间的函数关系式;(2)你认为如何定价才

能使工艺品厂每天获得的利润为 40000 元?

(1)设一次函数的关系式为

y

?

kx

?

b

,根据题意得

?3000 ??1000

? ?

70k 90k

?b ?b

.............................................2



解得 k ? ?100,b ? 10000 ∴一次关系式为 y= -100x+10000.....................5 分 (2)由题意得 (x-60)(-100x+10000)=40000.即 x2 ?160x ? 6400 ? 0 ,解得, x1 ? x2 ? 80 .
答:当定价为 80 元时,才能使工艺品厂每天的利润为 40000 元. 20.某种商品的成本为 5 元/件,开始按 8 元/件销售,销售量为 50 件,为了获取最大利润,商家先后采取了提价与降

价两种措施进行试销.经试销发现:销售价每上涨 1 元每天销售量就减少 10 件;而降价后,日销售量利润 y (元)与

实际销售价 x (元)满足关系:y=198-6x(6≤x<8).

(1)求售价为7元/件时,日销售量为多少件? (2)求日销售利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价 x (件)的函数关系式;
(3)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.

解:(1)当售价为 7 元/件时,利润 y=198-42=156(元),此时销售 156 ? 78 (件);…2 分 7?5

(2)据题意,得

y

?

?198 ? 6x(6 ? x ? 8) ??[50 ?10(x ? 8)](x ?

5)(8

?

x

?

13)

?198 ? 6x(6 ? x ? 8)

=

? ??

10x

2

? 180x

?

650(8

?

x

?

13)

.…6



(3)由(2)得: 当6≤x<8时,y=198-6x,所以当 x=6时,y 最大=162; 当 x≥8时,y=-10(x-9)2+160,所以当 x=9时,y 极大=160;综上可知,当当 x=6时,y 最大=162.
21. (河北省)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为了投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下 成果:第一年的年产量为 x(吨)时,所需的全部费用 y(万元)与 x 满足关系式 y ? 1 x 2 ? 5x ? 90 ,投入市场后当
10

年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价 P甲 、 P乙 (万元)均与 x 满足一次函数关系。(注:年利润=年销售额-全

部费用)

(1)成果表明,在甲地生产并销售

x

吨时,

P甲

?

?

1 20

x

? 14

,请你用含

x

的代数式表示甲地当年的年销售额,

并求年利润 W甲 (万元)与 x 之间的函数关系式;

(2)成果表明,在乙地生产并销售

x

吨时,P乙

?

?

1 10

x

?

n(n

为常数),且在乙地当年的最大年利润为

35

万元。

试确定 n 的值;

(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨,根据(1),(2)中

的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?

解:(1)甲地当年的年销售额为 ?? ? ?

1 20

x2

? 14x ?? 万元, ?

W甲

?

?

3 20

x2

?

9x

?

90

。(2)在乙地生产并销售时,

W乙

?

?1 10

x2

?

nx

?

(1 10

x2

?

5x

?

90)

年利润 ? ? 1 x 2 ? (n ? 5)x ? 90 5

解得 n=15 或-5。经检验,n=-5 不合题意,舍去,所以 n=15。

4 ? ?? ? 1 ?? ? (?90) ? (n ? 5)2

由 ? 5?

? 35,

4 ? ?? ? 1 ??

? 5?

(3)在乙地生产并销售时,年利润

W乙

?

?

1 5

x2

? 10x

?

90



x=18

代入上式,得

W乙

?

25.2

(万元);



x=18

代入 W甲

?

?

3 20

x2

?

9x

? 90 得 W甲

?

23.4 (万元)。因为 W乙

?

W甲

,所以应选乙地。

22、(武汉)某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果每件商品的售价每上涨 1 元,

则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上涨 x 元( x 为正整数),每个月的销售利 润为 y 元.
(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;

(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么

范围时,每个月的利润不低于 2200 元?

【答案】解:(1) y ? (210 ?10x)(50 ? x ? 40) ? ?10x2 ?110x ? 2100 ( 0 ? x ≤15且 x 为整数);

(2) y ? ?10(x ? 5.5)2 ? 2402.5. a ? ?10 ? 0 ,? 当 x ? 5.5时, y 有最大值 2402.5.

0 ? x ≤15 ,且 x 为整数,当 x ? 5时,50 ? x ? 55 ,y ? 2400(元),当 x ? 6 时,50 ? x ? 56 ,y ? 2400
(元)? 当售价定为每件 55 或 56 元,每个月的利润最大,最大的月利润是 2400 元. (3)当 y ? 2200 时, ?10x2 ?110x ? 2100 ? 2200 ,解得: x1 ? 1,x2 ? 10 .
? 当 x ?1 时,50 ? x ? 51,当 x ?10 时,50 ? x ? 60 .? 当售价定为每件 51 或 60 元,每个月的利润为 2200
元.当售价不低于 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元.当售价不低于 51 元且不高于 60 元且

三,实际应用问题

1、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱 笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.设 AB 边的长为 x 米.矩形 ABCD 的面积为 S 平方米.
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围). (2)当 x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值.

(参公式:二次函数

y

?

ax2

? bx

?

c(a

?

0 ),当

x

?

?

b 2a

时,

y最大(小)值

?

4ac ? b2 4a

)

2、(南宁市)如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120 米,下底长180 米,上下底相距 80 米,在两

腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为 x 米. (1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积;
(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽; (3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例 系数是 5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最 少?最少费用是多少万元?

? ? 【 答 案 】 . 解 : ( 1 ) 横 向 甬 道 的 面 积 为 : 120 ?180 x ? 150x m2 ( 2 ) 依 题 意 : 2

2 ? 80 x

?150x

?

2x2

?

1 ?120 ?180 82

? 80

整理得:x2

?155x

? 750

?

0

x1

?

5,x2

? 150(不符合题意,舍去)?

? ? 甬道的宽为

5

米.(3)设建设花坛的总费用为

y

万元.

y

?

0.02

?

?120 ??

?180 2

?

80

?

160 x ?150 x ?2 x2

? ??

?5.7

x

? 0.04x2 ? 0.5x ? 240 当 x ? ? b ? 0.5 ? 6.25 时, y 的值最小.因为根据设计的要求,甬道的宽不能超过 2a 2? 0.04

6 米,?当x ? 6 米时,总费用最少.最少费用为: 0.04? 62 ? 0.5? 6 ? 240 ? 238.44 万元

3. (湖北武汉市)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为 30 米的 篱笆围成.已知墙长为 18 米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米.
(1)若平行于墙的一边的长为 y 米,直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取值范围; (2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值; (3)当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时,试结合函数图像,直接写出 x 的取值范围.

【答案】解:(1)y=30-2x(6≤x<15)(2)设矩形苗圃园的面积为 S 则 S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x ∴S=-2(x-7.5)2+112.5 由(1)知,6≤x<15∴当 x=7.5 时,S 最大值=112.5 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为 7.5 米时,这个苗圃园的面积最大,最大值为 112.5(3)6≤x≤11

4 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为 2∶1.在温室内,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,其它

三侧内墙各保留 1 m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是 288 m2?

分析: 解法一:(直接设元)
设矩形温室的长为 x m,宽为 y m


侧 蔬菜种植区域
空 地

??x ? 2 y ?1? 根据题意,得 ???? x ? 4?? y ? 2? ? 288 ?2?

将(1)代入(2),得 (2y-4)(y-2)

=288 (3)整理,得 y2-4y-140=0 解得 y1=-10,y2=14 将 10,y2=14 代入③,

y1=-



? ? ?

x1 y1

? ?

?20 ?10

(不合题意,舍去),

?x2

? ?

y

2

? ?

28 14

答:

当矩形

温室的长为 28 m,宽为 14 m 时,蔬菜种植区域的面积是 288 m2.解法二:(设一个未知数) 设矩形温室的宽为 x

m,则长为 2 x m

根据题意,得 (x-2)(2x-4)=288 整理,得 x2-4x-140=0

解得 x 1=-10(不合题意,舍去),x2=14. 所以 x=14,2x=2×14=28. 答:当矩形温室的长为 28 m,宽为 14 m 时,蔬菜种植区域的面积是 288 m2.

3(辽宁) 如图 1,在宽为 20m,长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要

使草坪的面积为 540m2 ,求道路的宽.(部分参考数据: 322 ?1024 , 522 ? 2704 , 482 ? 2304 )
解法(1):由题意转化为图 2,设道路宽为 x 米(没画出图形不扣分)
根据题意,
可列出方程为 ?20 ? x??32 ? x? ? 540

整理得 x2 ? 52x ?100 ? 0

解得 x1 ? 50 (舍去), x2 ? 2

图1

答:道路宽为 2 米 解法(2):由题意转化为图 3,设道路宽为 x 米,根据题意列方程得:

20?32 ??20 ? 32? x ? x2 ? 540

图2

整理得: x2 ? 52x ?100 ? 0

解得: x1 ? 2 , x2 ? 50 (舍去)

答:道路宽应是 2 米
图3 4. ( 重庆江津) 在“五个重庆”建设中,为了提高市民的宜居环境,某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中

四边形 ABCD 是矩形,分别以 AB、BC、CD、DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为 628 米,高矩形的边长

AB=y 米,BC=x 米.(注:取 π=3.14)

(1)试用含 x 的代数式表示 y;

(2)现计划在矩形 ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为 428 元,在四个半圆的区域上种植草坪

及铺设花岗岩,平均每平方米造价为 400 元; ①设该工程的总造价为 W 元,求 W 关于 x 的函数关系式;

D

C

A

B

②若该工程政府投入 1 千万元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案,若不能,请说明理由? ③若该工程在政府投入 1 千万元的基础上,又增加企业募捐资金 64·82 万元,但要求矩形的边 BC 的长不超过 AB 长的三分之二,且建设广场恰好用完所有资金,问:能还完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方 案,若不能,请说明理由·
【答案】(1) 由题意得 ? y+ ? x=6·28 ∵? =3.14 ∴3.14y+3.14x=628. ∴x+y=200.则 y=200-x;

(2) ①w=428xy+400? ( y )2+400? ( x )2

2

2

(200 ? x)2

x2

=428x(200-x)+400×3.14×

+400×3.14×

4

4

=200x2-40000x+12560000;

②仅靠政府投入的 1 千万不能完成该工程的建设任务,其理由如下:

由①知 w=200(x-100)2+1.056×107>107, 所以不能;

③由题意得

2
x≤

y,



2
x≤

(200-x) 解之得

3

3

x≤80 ∴0≤x≤80.

又根据题意得 w=200(x-100)2+1.056×107=107+6.482×105

整理得 (x-100)2=441 解之得 x1=79, x2=121 (不合题意舍去)

∴只能取 x=79, 则 y=200-79=121

所以设计的方案是: AB 长为 121 米,BC 长为 79 米,再分别以各边为直径向外作半圆·

5、(哈尔滨)某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为 AB(单位:米)。现以 AB 所在直线为 x 轴.以抛物线的对称轴 为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 O.已知 AB=8 米。设抛物线解析式为 y=ax2-4.
(1)求 a 的值; (2)点 C(一 1,m)是抛物线上一点,点 C 关于原点 0 的对称点为点 D,连接 CD、BC、BD,求 ABCD 的面积.

分析:(1)首先得出 B 点的坐标,进而利用待定系数法求出 a 继而得二次函数解析式(2)首先得出 C 点的坐标,再由

对称性得 D 点的坐标,由 S△BCD= S△BOD+ S△BOC 求出

解答:(1)解∵AB=8 由抛物线的对称性可知 0B=4∴B(4,0) 0=16a-4∴a= 1 (2)解:过点 C 作 CE⊥AB 于 E,过点 D 4

作 DF⊥AB 于 F∵a= 1 ∴ y ? 1 x2 ? 4 令 x=一 1.∴m= 1 ×(一 1)2—4= ? 15 ∴C(-1, ? 15 )∵点 C 关于原点对称

4

4

4

4

4

点为 D ∴D(1, 15 ).∴CE=DF= 15 S△BCD= S△BOD+ S△BOC = = 1 OB·DF+ 1 OB·CE= 1 ×4× 15 + 1 ×4× 15 =15

4

4

2

2

2

42

4

∴△BCD 的面积为 l5 平方米

6. (四川成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃,苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限),另三 边用木栏围成,建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD.已知木栏总长为 120 米,设 AB 边的长为 x 米,长方形 ABCD 的面积为 S 平方米.
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围).当 x 为何值时,S 取得最值(请指出是最大值 还是最小值)?并求出这个最值;
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆,其圆心分别为 O1 和 O2 ,且 O1 到 AB、BC、 AD 的距离与 O2 到 CD、BC、AD 的距离都相等,并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5 米宽的平直路面,
以方便同学们参观学习.当(l)中 S 取得最大值时,请问这个设计是否可行?若可行,求出圆的半径;若不可行,请说明 理由.

围墙 A

围墙

D

AJ

I

D

O1

O2

E

O1

O2 H

B

C

B

FG C

【答案】(1) S ? x(120 ? 2x) ? ?2(x ? 30)2 ? 1800 ,当 x ? 30 时,S 取最大值为 1800.

(2)如图所示,过 O1 、 O2 分别作到 AB、BC、AD 和 CD、BC、AD 的垂直,垂足如图,根据题意可知,

O1E ? O1F ? O1J ? O2G ? O2 H ? O2 I ;当 S 取最大值时,AB=CD=30,BC=60,





1 O1F ? O1J ? O2G ? O2 I ? 2 AB ? 15





O1E ? O2 H ? 15



∴ O1O2 ? EH ? O1E ? O2 H ? 60 ?15 ?15 ? 30 ,
∴两个等圆的半径为 15,左右能够留 0.5 米的平直路面,而 AD 和 BC 与两圆相切,不能留 0.5 米的平直路面.

7. (贵州贵阳)用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图○1 ○2 ○3 中的一种).

设竖档 AB=x 米,请根据以上图案回答下列问题:(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和,所有 横档和竖档分别与 AD、AB 平行)
(1)在图○1 中,如果不锈钢材料总长度为 12 米,当 x 为多少时,矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米?

(2)在图○2 中,如果不锈钢材料总长度为 12 米,当 x 为多少时,矩形框架 ABCD 的面积 S 最大?最大面积是多少?

(3)在图○3 中,如果不锈钢材料总长度为 a 米,共有 n 条竖档,那么当 x 为多少时,矩形框架 ABCD 的面积 S 最
大?最大面积是多少?

○1

○2

○3

【答案】解: (1)当不锈钢材料总长度为 12 米,共有 3 条竖档时,BC=123-3x=4-x, ∴x(4-x)=3.解得,x=1 或 3. (2)当不锈钢材料总长度为 12 米,共有 4 条竖档时,BC=123-4x,矩形框架 ABCD 的面积 S=x·123-4x=-43x2+4x. 当 x=-2×(4-43)=32时,S=3.∴当 x=32时时,矩形框架 ABCD 的面积 S 最大,最大面积为 3 平方米. (3)当不锈钢材料总长度为 a 米,共有 n 条竖档时,BC=a-3nx,矩形框架 ABCD 的面积
a S=x·a-3nx=-3nx2+a3x.当 x=-2×(3-3n)=2an时,S=1a22n∴当 x=2an时,矩形框架 ABCD 的面积 S 最大,最大面积为1a22n平方米
四,图型图表类问题
1、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y(元)与月份 x 之间满足函数关系 y ? ?50x ? 2600 ,

去年的月销售量 p(万台)与月份 x 之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表:

月份

1月

5月

销售量

3.9 万台

4.3 万台

(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少?

(2)由于受国际金融危机的影响,今年 1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了 m% ,且每月

的销售量都比去年 12 月

份下

降了 1.5m%.国家实施

“家

电下乡”政策,即对农村

家庭

购买新的家电产品,国家

按该

产品售价的 13%给予财

政补

贴.受此政策的影响,今

年3

至 5 月份,该厂家销往农

村的

这种电视机在保持今年 2

月份

的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台.若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共

给予了财政补贴 936 万元,求 m 的值(保留一位小数).

(参考数据: 34 ≈ 5.831, 35 ≈ 5.916 , 37 ≈ 6.083, 38 ≈ 6.164 )

解:(1)设 p 与 x 的函数关系为 p ? kx ? b(k ? 0) ,根据题意,得

???5kk??bb??34.9.,3. 解得

?k ??b

? 0.1, 所以,p
? 3.8.

?

0.1x

? 3.8 .设月销售金额为

w

万元,则 w

?

py

?

(0.1x

? 3.8)(?50x

?

2600)



化简,得 w ? ?5x2 ? 70x ? 9800 ,所以, w ? ?5(x ? 7)2 ?10125 .当 x ? 7 时, w 取得最大值,最大值为 10125.
答:该品牌电视机在去年 7 月份销往农村的销售金额最大,最大是 10125 万元.
(2)去年 12 月份每台的售价为 ?50?12 ? 2600 ? 2000 (元),去年 12 月份的销售量为 0.1?12 ? 3.8 ? 5(万台), 根据题意,得 2000(1? m%)?[5(1?1.5m%) ?1.5]?13%?3 ? 936 .令 m% ? t ,原方程可化为 7.5t2 ?14t ? 5.3 ? 0 .

14 ? ?t ?

(?14)2 ? 4? 7.5?5.3 2? 7.5

?

14 ? 15

37

.?t1

≈ 0.528 , t2

≈1.339

(舍去)答: m

的值约为

52.8.

2. (湖北荆州)2011 年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定民农户投资购买抗旱设备

的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.

型号

Ⅰ型设备

Ⅱ型设备

金额

投资金额 x(万元)

x

5

x

2

4

补贴金额 y(万元) y1=kx(k≠0)

2

y2=ax2+bx(a≠0)

2.4

3.2

(1)分别求出 y1 和 y2 的函数解析式;

(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资 10 万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出

按此方案能获得的最大补贴金额.

【答案】解:(1)由题意得:①5k=2,k= 2 5



y1

?

2 5

x



?4a ? 2b ? 2.4 ??16a ? 4b ? 3.2

,解之得:

???a ? ???b

? ?

?
8 5

1 5





y2

?

?1 5

x2

?

8 5

x (2)设购Ⅱ型设备投资 t 万元,购Ⅰ型设备投资(10-t)万元,共获补贴 Q

万元



y1

?

2 (10 ? t) 5

?

4?

2t, 5

y2

?

?1t2 5

?

8t 5

Q

?

y1

?

y2

?

4?

2t 5

?

1t2 5

?

8t 5

?

? 1 (t 5

? 3)2

?

29 5

∴当 t=3 时,Q 有最大值为 29 ,此时 10-t=7(万元) 5
即投资 7 万元购Ⅰ型设备,投资 3 万元购Ⅱ型设备,共获最大补贴 5.8 万元.

3、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表,请你解答下列问题:









甲种塑料

乙种塑料

出厂价

成本价

排污处理费

2100(元/吨) 2400(元/吨)

800(元/吨) 1100(元/吨)

200(元/吨) 100(元/吨) 每月还需支付设
备管理、 维护费 20000 元

(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 x 吨,利润分别为 y1 元和 y2 元,分别求 y1 和 y2 与 x 的函数关系式(注:

利润=总收入-总支出);

(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400 吨,若某月要生产甲、乙两种塑料共 700 吨,求该月生产

甲、乙塑料各多少吨,获得的总利润最大?最大利润是多少?

4、(鄂州)某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是 30 元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是 40 元时,

销售量是 600 件,而销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩具.

(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元(x>40),请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获

得利润 w 元,并把结果填写在表格中:

销售单价(元)

x

销售量 y(件)

1000﹣10x

销售玩具获得利润 w(元) ﹣10x2+1300x﹣30000

(2)在(1)问条件下,若商场获得了 10000 元销售利润,求该玩具销售单价 x 应定为多少元.

(3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元,且商场要完成不少于 540 件的销售任务,求

商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?

分析:(1)由销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩具得 y=600﹣(x﹣40)x=1000﹣x,

利润=(1000﹣x)(x﹣30)=﹣10x2+1300x﹣30000;(2)令﹣10x2+1300x﹣30000=10000,

求出 x 的值即可;(3)首先求出 x 的取值范围,然后把 w=﹣10x2+1300x﹣30000 转化

成 y=﹣10(x﹣65)2+12250,结合 x 的取值范围,求出最大利润.

解答:解:(1)

销售单价(元)

x

销售量 y(件)

1000﹣10x

销售玩具获得利润 w(元)﹣10x2+1300x﹣30000

(2)﹣10x2+1300x﹣30000=10000 解之得:x1=50,x2=80 答:玩具销售单价为 50 元 或 80 元时,可获得 10000 元销售利润,

(3)根据题意得
解之得:44≤x≤46 w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250 ∵a=﹣10<0,对称轴 x=65∴当 44≤x≤46 时,y 随 x 增大而增大. ∴当 x=46 时,W 最大值=8640(元) 答:商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元.
5 某商店购进一种商品,单价 30 元.试销中发现这种商品每天的销售量 p (件)与每件的销售价 x (元)

满足关系: p ? 100 ? 2x .若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?

每天要售出这种商品多少件? (1)题目中有 4 个量:进价、销售价、利润、销售量,这些量中存在的数量关系有:(销售价-进价)×销
售量=利润。

(2)题目中还给出了销售量 p(件)与每件的销售价 x(元)之间的函数关系: p ? 100 ? 2x (其中 x 为正

整数). (3)设每件的销售价为 x 元,每天出售商品 p 件

(4)两个等量关系:(销售价-进价)×销售量=利润、 p ? 100 ? 2x

解法一:设每件的销售价为 x 元,每天出售商品 p 件

根据题意,得

??? x ? 30? p ? 200 ?1?

? ?? P

?

100

?

2x

?2?

将(2)代入(1),得 (x ? 30)(100 ? 2x) ? 200 (3)

整理,得 x2 ? 80x ?1600 ? 0

解得 x=40

把 x=40 代入(2),得 p=20

?x ? 40



? ?

p

?

20

答:每件商品的售价应定为

40 元,每天要销售这种商品 20 件.解法二:设每件的销售价为 x 元,则每天出售商品(100-2x)件

根据题意,得 (x ? 30)(100 ? 2x) ? 200

整理,得 x2 ? 80x ?1600 ? 0 ?(x ? 40)2 ? 0,? x ? 40 (元)? p ? 100 ? 2x ? 20 (件)

答:每件商品的售价应定为 40 元,每天要销售这种商品 20 件.

6、(武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植

物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下

表):

温度 x /℃

…… -4 -2

0

2

4

4.5

植物每天高度增长量 y /mm …… 41

49

49

41

25 19.75

由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数,且这种函数是反

…… ……

比例函数、一次函数和二次函数中的一种.

(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种

函数的理由;

(2)温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大?

(3)如果实验室温度保持不变,在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm,

那么实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.

解析:

?c ? 49

?a ? ?1

(1)选择二次函数,设 y ? ax 2 ? bx ? c ,得 ??4a ? 2b ? c ? 49 ,解得 ??b ? ?2

??4a ? 2b ? c ? 41

??c ? 49

∴ y 关于 x 的函数关系式是 y ? ?x 2 ? 2x ? 49 .

不选另外两个函数的理由: 注意到点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以 y 不是 x 的反比例函数;

点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以 y 不是 x 的一次函

数.

(2)由(1),得 y ? ?x 2 ? 2x ? 49 ,∴ y ? ??x ? 1?2 ? 50 ,

∵ a ? ?1? 0 ,∴当 x ? ?1时, y 有最大值为 50. 即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3) ? 6 ? x ? 4 . 7、(达州)今年,6 月 12 日为端午节。在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种 进价为 2 元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题。

(1)小华的问题解答: 解析:(1)解:设实现每天 800 元利润的定价为 x 元/个,根据题意,得

(x-2)(500- x ? 3 ×10)=800 .………………………(2 分)整理得:x2-10x+24=0. 0.1
解之得:x1=4,x2=6.………………………(3 分)∵物价局规定,售价不能超过进价的 240%, 即 2×240%=4.8(元).∴x2=6 不合题意,舍去,得 x=4.答:应定价 4 元/个,才可获得 800 元的利润.………………………(4 分)(2)解:设每天利润为 W 元,定价为 x 元/个, 得
W=(x-2)(500- x ? 3 ×10)=-100x2+1000x-1600=-100(x-5)2+900.………………………(6 分) 0.1
∵x≤5 时 W 随 x 的增大而增大,且 x≤4.8,∴当 x=4.8 时,W 最大,W 最大=-100× (4.8-5)2+900=896>800 .………………………(7 分) 故 800 元不是最大利润.当定价为 4.8 元/个时,每天利润最大.………………………(8 分)

8、(铁岭)某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为 40 元.经过市场调查,一周的销售量 y 件与销售单

价 x(x≥50)元/件的关系如下表:

销售单价 x(元/件) …

55

60

70

75



一周的销售量 y(件)…

450

400

300

250



(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式: y=﹣10x+1000

(2)设一周的销售利润为 S 元,请求出 S 与 x 的函数关系式,并确定当销售单价在什么范围内变化时,一周的销售利

润随着销售单价的增大而增大?

(3)雅安地震牵动亿万人民的心,商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区,在商家购进该商品的贷款不超过

10000 元情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少元?

分析: (1)设 y=kx+b,把点的坐标代入解析式,求出 k、b 的值,即可得出函数解析式; (2)根据利润=(售价﹣进价)×销售量,列出函数关系式,继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的 销售单价的范围; (3)根据购进该商品的贷款不超过 10000 元,求出进货量,然后求最大销售额即可.

解答: 解:(1)设 y=kx+b, 由题意得,

,解得:

,则函数关系式为:y=﹣10x+1000;

(2)由题意得,S=(x﹣40)y=(x﹣40)(﹣10x+1000) =﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10(x﹣70)2+9000,∵﹣10<0, ∴函数图象开口向下,对称轴为 x=70,∴当 40≤x≤70 时,销售利润随着销售单价的增大而增大;

(3)当购进该商品的贷款为 10000 元时,y=

=250(件),此时 x=75,

由(2)得当 x≥70 时,S 随 x 的增大而减小,∴当 x=70 时,销售利润最大, 此时 S=9000,即该商家最大捐款数额是 9000 元.

点评: 本题考查了二次函数的应用,难度一般,解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题,从而来解决 实际问题.
9.(江苏盐城)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息: 请根据以上信息,解答下列问题:
(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元? (2)该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件.经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1 元,

这两种商品每天可各多销售 100 件.为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降 m 元. 在不考虑其他因素的条件下,当 m 定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利 润是多少?

信息 1:甲、乙两种商品的进货单价之和是 5 元; 信息 2:甲商品零售单价比进货单价多 1 元,
乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元.

信息 3:按零售单价购买 甲商品 3 件和乙商品 2 件, 共付了 19 元.

【答案】(1)设甲商品的进货单价是 x 元,乙商品的进货单价是 y 元.

根据题意,得???x3+(xy+=15)+2(2y-1)=19

解得???xy==23

答:甲商品的进货单价是 2 元,乙商品的进货单价

是 3 元. (2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为 s 元,则 s=(1-m)(500+100×0m.1)+(5-3-m)(300+100×0m.1)

即 s=-2000m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705.

∴当 m=0.55 时,s 有最大值,最大值为 1705.

答:当 m 定为 0.55 时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大,每天的最大利润是 1705 元.

10、(安徽省)某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店经营,了解到一种成本为 20 元/件的新型商品在第 x 天销售的相关信息如下表所示。

销售量 p(件)

P=50—x

销售单价 q(元/件)

当 1≤x≤20 时,q=30+ 1 x; 2

当 21≤x≤40 时,q=20+ 525 x

(1)请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件?

(2)求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式。

(3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?

五,函数图像类结合问题 1、(四川南充)某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售单价 x(元/件)与每天销售量 y(件)
之间满足如图所示的关系: (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的 利润最大,最大利润是多少?

y(件)
50 30

O

130 150 x(元/件)

解析:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b(k≠0).由所给函数图象得 ……………1′

?130k ? b ? 50 ??150k ? b ? 30

2′解得

?k ?? b

? ?

?1 180

∴函数关系式为 y=-x+180.

(2)W=(x-100) y=(x-100)( -x+

180=-x2+280x-18000

=-(x-140) 2+1600

当售价定为 140 元, W 最大=1600.

∴售价定为 140 元/件时,每天最大利润 W=1600 元

……………8′

2.某公司专销产品 A ,第一批产品 A 上市 40 天内全部售完.该公司对第一批产品 A 上市后的市场销售情况进行了跟

踪调查,调查结果如图所示,其中图 10 中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系;图 11 中的折线表示的是

每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系.

(1)试写出第一批产品 A 的市场日销售量 y 与上市时间 t 的关系式;

(2)第一批产品 A 上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大利润是多少万元?(说明理由)

y 日销售量/万件 60

y 销售利润/(元/件) 60



30 40 t/天



20

40

图 10

图 11

解:(1)由图 10 可得,当 0≤t ≤30 时,设市场的日销售量 y ? kt .

t/天

点 (30,60) 心图象上,?60 ? 30k .?k ? 2 .即 y ? 2t .当 30≤t ≤40 时,设市场的日销售量 y ? k1t ? b .



(30,60)



(40,0)

在图象上,∴

?60 ? 30k1 ? b ??0 ? 40k1 ? b

解得 k1 ? ?6,b ? 240 .

? y ? ?6t ? 240 .综上可知,当 0≤t ≤30 时,市场的日销售量 y ? 2t ;

当 30≤t ≤40 时,市场的日销售量 y ? ?6t ? 240 .(2)方法一:由图 10 知,当 t ? 30 (天)时,市场的日销
售量达到最大 60 万件;又由图 11 知,当 t ? 30 (天)时产品的日销售利润达到最大 60 万元/件,所以当 t ? 30 (天)
时,市场的日销售利润最大,最大值为 3600 万元.方法二:由图 11 得,
当 0≤t ≤20 时,每件产品的日销售利润为 y ? 3t ;当 20≤t ≤40 时,每件产品的日销售利润为 y ? 60 .

①当 0≤t ≤20 时,产品的日销售利润 y ? 3t ? 2t ? 6t2 ;?当 t ? 20时,产品的日销售利润 y 最大等于 2400 万元.

②当 20≤t ≤30 时,产品的日销售利润 y ? 60? 2t ? 120t .?当 t ? 30 时,产品的日销售利润 y 最大等于 3600 万元;

③当 30≤t ≤40 时,产品的日销售利润 y ? 60? (?6t ? 240) ;?当 t ? 30 时,产品的日销售利润 y 最大等于 3600

万元.
综合①,②,③可知,当 t ? 30 天时,这家公司市场的日销售利润最大为 3600 万元.(9 分)
3. (四川重庆)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响,从去年 1 至 9 月,该配件的原

材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格 y1(元)与月份 x(1≤x≤9,且 x 取整数)之间的函数关系如下表:

月份 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

价格 y1(元/件)

560

580

600

620

640

660

680

700

720

随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10 至 12 月每件配件的原材料价格 y2(元)与月份 x(10≤x≤12,且 x 取整数)之间存在如图所示的变化趋势:

(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出 y1 与 x 之间的函数关 系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出 y2 与 x 之间满足的一次函数关系式;
(2)若去年该配件每件的售价为 1000 元,生产每件配件的人力成本为 50 元,其它成本 30 元,该配件在 1 至 9 月的 销售量 p1(万件)与月份 x 满足关系式 p1=0.1x+1.1(1≤x≤9,且 x 取整数),10 至 12 月的销售量 p2(万件)p2=-0.1x+ 2.9(10≤x≤12,且 x 取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;
(3)今年 1 至 5 月,每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元,人力成本比去年增加 20%,其它成本没有变 化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 a%,与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 0.1 a%.这样, 在保证每月上万件配件销量的前提下,完成 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务,请你参考以下数据,估算出 a 的整数 值.(参考数据:992=9801,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025)
【答案】(1)y1 与 x 之间的函数关系式为 y1=20x+540,y2 与 x 之间满足的一次函数关系式为 y2=10x+630. (2)去年 1 至 9 月时,销售该配件的利润 w= p1(1000-50-30-y1)=(0.1x+1.1)(1000?50?30?20x?540) =(0.1x+1.1)(380?20x)=-2x2+160x+418=-2( x-4)2+450,(1≤x≤9,且 x 取整数)∵-2<0,1≤x≤9,∴当 x =4 时,w 最大=450(万元);去年 10 至 12 月时,销售该配件的利润 w= p2(1000-50-30-y2) =(-0.1x+2.9)(1000-50-30-10x-630)=(-0.1x+2.9)(290-10x)=( x-29)2,(10≤x≤12,且 x 取整数), 当 10≤x≤12 时,∵x<29,∴自变量 x 增大,函数值 w 减小,∴当 x=10 时,w 最大=361(万元),∵450>361, ∴去年 4 月销售该配件的利润最大,最大利润为 450 万元. (3)去年 12 月份销售量为:-0.1×12+0.9=1.7(万件), 今年原材料的价格为:750+60=810(元),今年人力成本为:50×(1+20﹪)=60(元), 由题意,得 5×[1000(1+a﹪)-810-60-30]×1.7(1-0.1a﹪)=1700,
设 t= a﹪,整理,得 10t2-99t+10=0,解得 t=99±209401,∵972=9409,962=9216,而 9401 更接近 9409.∴ 9401 =97.

∴t1≈0.1 或 t2≈9.8,∴a1≈10 或 a2≈980.∵1.7(1-0.1a﹪)≥1,∴a2≈980 舍去,∴a≈10. 答:a 的整数值为 10. 4. (江苏无锡)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:张经理的采购价 y (元/吨)与采购量 x (吨) 之间函数关系的图象如图中的折线段 ABC 所示(不包含端点 A,但包含端点 C)。
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)已知老王种植水果的成本是 2800 元/吨,那么张经理的采购量为多少时,老王在这次买卖中所获的利润 w 最大?最大利润是多少?

y

8 000 A B

4 000

C

0 20 40 x

【答案】

解:(1)当 0 < x ≤ 20 时,y = 8000. 当 20 < x ≤ 40 时,设 BC 满足的函数关系式为 y = kx + b,则

???2400kk

+ +

b b

= =

8 4

000 000



解得 k = ?200,b = 12 000,∴y = ?200x + 12 000.(2)当 0 < x ≤ 20 时,老王获得的利润为 w = (8000

? 2800)x =5 200x ≤ 104 000,此时老王获得的最大利润为 104 000 元. 当 20 < x ≤ 40 时,老王获得的利润为 w = (?200x

+ 12 000 ? 2800)x = ?200(x2 ? 46x) = ?200(x ? 23)2 + 105 800.∴当 x = 23 时,利润 w 取得最大值,最大值为 105 800

元.∵105 800 > 104 000,∴当张经理的采购量为 23 吨时,老王获得的利润最大,最大利润为 105 800 元.

5. (四川南充)某工厂在生产过程中要消耗大量电能,消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系,经过测算,

工厂每千度电产生利润 y(元/千度)与电价 x(元/千度)的函数图象如图:

(1)当电价为 600 元千度时,工厂消耗每千度电产生利润是多少?

(2)为了实现节能减排目标,有关部门规定,该厂电价 x(元/千度)与每天用电量 m(千度)的函数关系为 x=10m+500,

且该工厂每天用电量不超过 60 千度,为了获得最大利润,工厂每天应安排使用多少度电?工厂每天消耗电产生利润最

大是多少元?

y(元/千度) 300

200

x(元/千度)

O

500

【答案】解:(1)工厂每千度电产生利润 y(元/千度)与电价 x(元/千度)的函数解析式为:y=kx+b 该函数图象过点(0,300),(500,200)



?200 ? 500k ? b ??300 ? b

,解得

??k ?

?

?

1 5

??b ? 300

∴y=- 1 x+300(x≥0) 5

当电价 x=600 元/千度时,该工厂消耗每千度电产生利润 y=- 1 *600+300=180(元/千度) 5

(2)设工厂每天消耗电产生利润为 w 元由题意得:W=my=m(- 1 x+300)=m [- 1 (10m+500)+300]

5

5

化简配方,得:w=-2(m-50)2+5000 由题意,m≤60, ∴当 m=50 时,w 最大=5000 即当工厂每天消耗 50 千度电时,工厂每天消耗电产生利润为 5000 元.

6、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发

现这种水产品的每千克售价

y1

(元)与销售月份

x

(月)满足关系式

y

?

?

3 8

x

?

36

,而其每千克成本

y2

(元)与销

售月份 x (月)满足的函数关系如图所示.
(1)试确定 b、c 的值; (2)求出这种水产品每千克的利润 y (元)与销售月份 x (月)之间的函数关系式;

(3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

y2(元)
25 24

y2

?

1 8

x2

?

bx

?

c

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x(月) 第 8 题图

解:(1)由题意:

???25

?

1 8

?

32

?

3b

?

c

? ?24

?

1

?

42

?

4b

?

c

?? 8

解得

???b

?

?1

7 8

? ???c

?

29

1 2

(2)

y ? y1 ? y2

?

?

3 8

x

?

36

?

? ??

1 8

x2

?

15 8

x

?

29

1 2

? ??

? ? 1 x2 ? 3 x ? 6 1 82 2





3



y ? ? 1 x2 ? 3 x ? 6 1 ? ? 1 (x2 ?12x ? 36) ? 4 1 ? 6 1 ? ? 1 (x ? 6)2 ?11∵ a ? ? 1 ? 0 ,∴抛物线开口向下.在对称

8 2 28

22 8

8

轴 x ? 6 左侧 y 随 x 的增大而增大.由题意 x ? 5 ,所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大.

最大利润 ? ? 1 (4 ? 6)2 ?11 ? 10 1 (元).

8

2

7、(滨州)某商品的进价为每件 40 元.当售价为每件 60 元时,每星期可卖出 300 件,现需降价处理,且经市场

调查:每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:

(1)若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元,请写出 y 与 x 的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范

围;

(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少?

(3)请画出上述函数的大致图象.

答案】(1)y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=- 20x2 ?100x ? 6000 ,0≤x≤20;

(2)y=-20 (x ? 2.5)2 ? 6135 ,∴当 x==2.5 元,每星期的利润最大,最大利润是 6135 元;(3)图像略.
8.(江苏省)某加油站五月份营销一种油品的销售利润 y (万元)与销售量 x(万升)之间函数关系的图象如图中折线
所示,该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为 4 万元,截止至 15 日进油时的销售利润为 5.5 万元.(销售利润=(售 价-成本价)×销售量)
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题:
(1)求销售量 x 为多少时,销售利润为 4 万元;
(2)分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式;

(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在 OA.AB.BC 三段所表示的销售信息中,哪一段的利润 率最大?(直接写出答案)

【关键词】一次函数的实际问题
【答案】.解法一:(1)根据题意,当销售利润为 4 万元,销售量为 4 ? (5 ? 4) ? 4 (万升).

答:销售量 x 为 4 万升时销售利润为 4 万元.(2)点 A 的坐标为 (4,4) ,从 13 日到 15 日利润为 5.5 ? 4 ?1.5(万
元),
所以销售量为 1.5 ? (5.5 ? 4) ? 1(万升),所以点 B 的坐标为 (5,5.5) .设线段 AB 所对应的函数关系式为

y

?

kx

?

b

,则

?4 ? ??5.5

4k ? ? 5k

b, ? b.

解得

?k ??b

? ?

1.5, ?
?2.

线段

AB

所对应的函数关系式为

y

?

1.5x

?

2(4



x

≤ 5)





15

日到 31 日销售 5 万升,利润为1?1.5 ? 4? (5.5 ? 4.5) ? 5.5(万元).? 本月销售该油品的利润为 5.5 ? 5.5 ?11(万

元),所以点 C 的坐标为 (10,11) .

设线段

BC

所对应的函数关系式为

y

?

mx

?

n

,则

?5.5 ? 5m ??11 ? 10m

? ?

n,解得 n.

?m ? 1.1, ??n ? 0.

所以线段 BC 所对应的函数关系式为 y ? 1.1x(5 ≤ x ≤10) .

(3)线段 AB . 解法二:(1)根据题意,线段 OA 所对应的函数关系式为 y ? (5 ? 4)x ,即 y ? x(0 ≤ x ≤4) .

当 y ? 4 时, x ? 4 .答:销售量为 4 万升时,销售利润为 4 万元. (2)根据题意,线段 AB 对应的函数关系式

为 y ? 1? 4 ? (5.5 ? 4)?(x ? 4) ,即 y ? 1.5 x ?2(4 ≤x ≤5) . 把 y ? 5.5 代入 y ? 1.5x ? 2 ,得 x ? 5,所以点 B

的坐标为 (5,5.5) .截止到 15 日进油时的库存量为 6 ? 5 ?1(万升).当销售量
大于 5 万升时,即线段 BC 所对应的销售关系中, 每升油的成本价 ? 1? 4 ? 4? 4.5 ? 4.4 (元).所以,线段 BC 所对应的函数关
5
系为
y ? (1.5?5 ? 2) ? (5.5 ? 4.4)(x ? 5) ?1.1x(5≤ x ≤10) . 线段 AB .
9、(黄冈市)新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机,及时调整投资方向, 瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场 占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐 步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次).公司累积获得的利 润 y(万元)与销售时间第 x(月)之间的函数关系式(即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之间的关系)对应的点都在如图

所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段 OA、曲线 AB 和曲线 BC,其中曲线 AB 为抛物线的一部分,点 A 为该抛
物线的顶点,曲线 BC 为另一抛物线 y ? ?5x2 ? 205x ?1230 的一部分,且点 A,B,C 的横坐标分别为 4,10,12
(1)求该公司累积获得的利润 y(万元)与时间第 x(月)之间的函数关系式; (2)直接写出第 x 个月所获得 S(万元)与时间 x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程); (3)前 12 个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?
【答案】(1)当 0 ? x ? 4 时,线段 OA 的函数关系式为 y ? ?10x ;当 4 ? x ? 10 时,

由于曲线 AB 所在抛物线的顶点为 A(4,-40),设其解析式为 y ? a?x ? 4?2 ? 40

在 y ? ?5x2 ? 205x ?1230 中,令 x=10,得 y ? 320 ;∴B(10,320)

∵ B ( 10 , 320 ) 在 该 抛 物 线 上 ∴ 320 ? a?10 ? 4?2 ? 40 解 得 a ? 10 ∴ 当 4 ? x ? 10 时 ,

y ? 10?x ? 4?2 ? 40 =10x2 ? 80x ?120

??10 x

( x ? 1,2,3,4) ,

综上可知, y ? ??10 x 2 ? 80 x ? 120 (x ? 5,6,7,8,9,10)



??? 5x2 ? 205 x ?1230(x ? 10,11,12) .

(2) 当 0 ? x ? 4 时, S ? ?10 当 5 ? x ? 10时, S ? 20x ? 90 当11? x ? 12时, S ? ?10x ? 210
(3) 10 月份该公司所获得的利润最多,最多利润是 110 万元. 六,二次函数杂题

有关增长率问题

求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义.一般地,如果某种量原来是 a ,每次以相同的增长率

(或减少率) x 增长(或减少),经过 n 次后的量便是 a(1? x)n (或 a(1? x)n ).

例 1(湖北黄冈市)市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒 200 元下调至 128 元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
解 设这种药品平均降价的百分率是 x.由题意,有 200(1﹣x)2=128,则(1﹣x)2=0.64 ∴1﹣x=+0.8, ∴x1=0.2=20%, x2=1.8(不合题意,舍去),答:这种药品平均每次降价 20%
例 2 某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元,到 2007 年盈利 2160 万元,且从 2005 年到 2007 年,每年盈利的年增长

率相同.

(1)该公司 2006 年盈利多少万元?

(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计 2008 年盈利多少万元?

分析: (1)数量关系:在这个问题中有三个量:基数(原有部分),增长部分、增长率,其中,增长率= 增长部分
基数
(2)列表:设年盈利平均增长率为 x

基数

增长部分

200

/

/

5

200 1500
6

1500x

200

1500(1+x)

1500(1+x)x

7

总数
1500 1500+1500x=1500
(1+x) 2160

(3)2007 年的盈利为:1500(1+x)+1500(1+x)x =1500(1+x)(1+x)=1500(1+x)2 (4)等量关系:2007 年的盈利=2160 即 1500(1+x)2=2160,它是一元二次方程。 解:(1)设年盈利的平均增长率为 x ,
根据题意,得 1500(1? x)2 ? 2160 解得 x1 ? 0.2,x2 ? ?2.2 (不合题意,舍去) ?1500(1? x) ? 1500(1? 0.2) ? 1800 答:2006 年该公司盈利 1800 万元.

(2) 2160(1? 0.2) ? 2592

答:预计 2008 年该公司盈利 2592 万元.

想一想:如果我们不设“年盈利平均增长率为 x”,直接设“2006 年该公司盈利 x 万元”行不行? 2005 年,2006 年,2007 年该公司的盈利数分别为:1500,1500(1+x),1500(1+x)2。我们发现这三个数

很有意思,

1500?1?
1500

x?

=1+x,

1500?1? x?2 1500?1? x?

=1+x,即

1500?1?
1500

x?

=

1500?1? x?2 1500?1? x?

。也就是说:

2006 年盈利数:2005 年盈利数=2007 年盈利数:2006 年盈利数这样我们可以直接设:2006 年该公司盈利 x

万元。

新解:设 2006 年该公司盈利 x 万元根据题意,得 1500 ? x (注意:这个方程我们没有见过,但是可 x 2160
以利用我们学过的“比例的基本性质”去解。)整理,得 x2=1500×2160, 解得 x=±1800(负值舍去)
经检验,x=±1800 都是原方程的解答:2006 年该公司盈利 1800 万元。 3、 (滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形.其中,抽屉底面周长为 180cm,高为 20cm.请 通过计算说明,当底面的宽 x 为何值时,抽屉的体积 y 最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计).

考点: 二次函数的应用.
分析: 根据题意列出二次函数关系式,然后利用二次函数的性质求最大值.
解答: 解:已知抽屉底面宽为 x cm,则底面长为 180÷2﹣x=(90﹣x)cm. 由题意得:y=x(90﹣x)×20=﹣20(x2﹣90x)=﹣20(x﹣45)2+40500 当 x=45 时,y 有最大值,最大值为 40500. 答:当抽屉底面宽为 45cm 时,抽屉的体积最大,最大体积为 40500cm3.

点评: 本题考查利用二次函数解决实际问题.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出, 第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数 a 的绝对值是较小的整数时,用配方 法较好,如 y=﹣x2﹣2x+5,y=3x2﹣6x+1 等用配方法求解比较简单.

4、(潍坊市)为了改善市民的生活环境,我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在 Rt△ ABC 内修建 矩形水池 DEFG ,使顶点 D、E 在斜边 AB 上, F、G 分别在直角边 BC、AC 上;又分别以 AB、BC、AC 为直径
作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月部分栽植花草;其余空
地铺设地砖.其中 AB ? 24 3米, ?BAC ? 60? .设 EF ? x 米, DE ? y 米.
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式; (2)当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积最大?最大面积是多少? (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当 x 为何值时,矩形 DEFG

的面积等于两弯新月面积的 1 ? 3

答 案 : ( 1 ) 在 Rt △ ABC 中 , 由 题 意 得 AC= 12 3 米 , BC=36 米 , ∠ ABC=30 ° , 所 以

AD ? DG ? x ? 3 x, BE ? EF ? 3x ,



tan 60? 3 3

tan 30?

AD+DE+BE=AB,





y ? 24 3 ? 3 x ? 3x ? 24 3 ? 4 3x, ( 0 < x < 8 ) .(2) 矩 形 DEFG 的 面 积

3

3

S ? xy ? x(24 3 ? 4 3x) ? ? 4 3x 2 ? 24 3x ? ? 4 3(x ? 9)2 ? 108 3. 所以当 x=9 时,矩形 DEFG 的面积最大,

3

3

3

最大面积为108 3 平方米.(3)记 AC 为直径的半圆\、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为 S1、S2、S3,

两弯新月面积为

S,则

S1

?

1 ?AC 2 , 8

S2

?

1 ?BC 2 , 8

S3

?

1 ?AB 2 , 由 8

AC2+BC2=AB2 可知

S1+S2=S3,∴S1+S2-S=S3-S△

ABC

,故

S=S△ABC

所以两弯新月的面积

S= 1 ?12 2

3 ? 36 ? 216

3 (平方米)由 ? 4 3

3(x ? 9) ? 108 3 ? 1 ? 216 3 , 3

即 (x ? 9)2 ? 27 ,解得 x ? 9 ? 3 3 ,符合题意,所以当 x ? 9 ? 3 3 米时,矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的 1 . 3

考点:考查了解直角三角形,二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。

点评:本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型,并综合应用其相关

性质加以解答.

5、(河北)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩.Q = W + 100,而 W 的大小与运

输次数 n 及平均速度 x(km/h)有关(不考虑其他因素),W 由两部分的和组成:一部分与 x 的平方成正比,另一部

分与 x 的 n 倍成正比.试行中得到了表中的数据.

(1)用含 x 和 n 的式子表示 Q;

(2)当 x = 70,Q = 450 时,求 n 的值;

(3)若 n = 3,要使 Q 最大,确定 x 的值;

(4)设 n = 2,x = 40,能否在 n 增加 m%(m>0)

同时 x 减少 m%的情况下,而 Q 的值仍为 420,若能,求出 m 的值;若不能,

请说明理由.

次数 n

2

1

参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-2ba,4ac4-a b2) 解析:

速度 x 40 60 指数 Q 420 100

(1)设W ? k1x2 ? k2nx ,∴ Q ? k1x2 ? k2nx ?100

由表中数据,得

??420 ? ??100

? ?

402 k1 602 k1

? 2? 40k2 ?100 ?1? 60k2 ?100

,解得

???k1 ?? k2

? ?

? 6

1 10

∴ Q ? ? 1 x2 ? 6nx ?100 (2)由题意,得 450 ? ? 1 ? 702 ? 6? 70n ?100

10

10

∴n=2 (3)当 n=3 时, Q ? ? 1 x2 ?18x ?100 由 a ? ? 1 ? 0 可知,要使 Q 最大, x ? ? 18 =90 9 分

10

10

2?(? 1 )

10

(4)由题意,得 420 ? ? 1 [40(1? m%)]2 ? 6? 2(1? m%) ? 40(1? m%) ?100 10 分 10

即 2(m%)2 ? m% ? 0 ,解得 m% ? 1 ,或 m% =0(舍去)∴m=50 ·· 12 分 2

为整数时,每个月的利润不低于 2200 元(或当售价分别为 51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 元时,每个月

的利润

6.(贵州省黔东南州)凯里市某大型酒店有包房 100 间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费 100 元时,包房

便可全部租出;若每间包房收费提高 20 元,则减少 10 间包房租出,若每间包房收费再提高 20 元,则再减少 10

间包房租出,以每次提高 20 元的这种方法变化下去。

(1)设每间包房收费提高 x(元),则每间包房的收入为 y1(元),但会减少 y2 间包房租出,请分别写出 y1、y2

与 x 之间的函数关系式。

(2)为了投资少而利润大,每间包房提高 x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y(元),请写出 y 与 x

之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由。

【关键词】确定一次函数解析式

【 答 案 】 解 : ( 1 ) y1 ? 100 ? x

y2

?

1 2

x

(2)

y

? (100 ?

x) ? (100 ? 1 2

x)

即:

y ? ? 1 (x ? 50)2 ? 11250 因为提价前包房费总收入为 100×100=10000。 2

当 x=50 时,可获最大包房收入 11250 元,因为 11250>10000。又因为每次提价为 20 元,所以每间包房晚餐应提

高 40 元或 60 元。

7. (湖北鄂州)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益

为:每投入 x 万元,可获得利润 P ? ? 1 ? x ? 60?2 ? 41 (万元).当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特
100

产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资,在实施规划 5 年的前两年

中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后

的 3 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入 x 万元,可获利润

Q ? ? 99 ?10 ? x?2 ? 294 ?100 ? x? ?160 (万元)

100

5

⑴若不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是多少?

⑵若按规划实施,求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?

⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值?

【答案】解:⑴当 x=60 时,P 最大且为 41,故五年获利最大值是 41×5=205 万元. ⑵前两年:0≤x≤50,此时因为 P 随 x 增大而增大,所以 x=50 时,P 值最大且为 40 万元,所以这两年获利最大为 40×2=80 万元.后三年:设每年获利为 y,设当地投资额为 x,则外地投资额为 100-x,所以 y=P+Q

=

????

1 100

?

x

?

60?2

?

41???

+

????

99 100

x2

?

294 5

x

?

160???

=

?x2

?

60x

?165

=

?

?

x

?

30?2

?1065

,表明

x=30

时,y

最大

且为 1065,那么三年获利最大为 1065×3=3495 万元,故五年获利最大值为 80+3495-50×2=3475 万元.

⑶有极大的实施价值.

8. (山东潍坊)2011 年上半年,某种农产品受不良炒作的影响,价格一路上扬,8 月初国家实施调控措施后,该 农产品的价格开始回落.其中,1 月份至 7 月份,该农产品的月平均价格 y 元/千克与月份 x 呈一次函数关系;7 月份至 12 月份,月平均价格元/千克与月份 x 呈二次函数关系.已知 1 月、7 月、9 月和 12 月这四个月的月平均价格分别为 8 元/千克、26 元/千克、14 元/千克、11 元/千克.

(1)分别求出当 1≤x≤7 和 7≤x≤12 时,y 关于 x 的函数关系式; (2)2011 年的 12 个月中,这种农产品的月平均价格哪个月最低?最低为多少? (3)若以 12 个月份的月平均价格的平均数为年平均价格,月平均价格高于年平均价格的月份有哪些?
【解】(1)当1≤x≤7 时,设 y ? kx ? m ,将点(1,8)、(7,26)分别代入 y ? kx ? m ,得

???7kk??mm??8,26.解之,得

?m ? 5, ??k ? 3.

∴函数解析式为

y

?

3x

?

5

.当

7≤x≤12 时,设

y

?

ax2

?

bx

?

c



?49a ? 7b ? c ? 26,

?a ? 1,

将(7,26)、(9,14)、(12,11)分别代入 y ? ax2 ? bx ? c ,得: ??81a ? 9b ? c ? 14, 解之,得 ??b ? ?22,

??144a ?12b ? c ? 11.

??c ? 131.

∴函数解析式为 y ? x2 ? 22x ?131.(2)当1≤x≤7 时,函数 y ? 3x ? 5 中 y 随 x 的增大而增大,

∴当 x最小值 ? 1时, y最小值 ? 3?1? 5 ? 8 .当 7≤x≤12时, y ? x2 ? 22x ?131 ? ? x ?11?2 ?10 ,

∴当 x ?11时, y最小值 ? 10 .所以,该农产品平均价格最低的是 1 月,最低为 8 元/千克.

(3)∵1 至 7 月份的月平均价格呈一次函数,∴ x ? 4 时的月平均价格 17 是前 7 个月的平均值.

将 x ? 8 , x ?10 和 x ?11分别代入 y ? x2 ? 22x ?131,得 y ? 19 , y ? 11和 y ? 10 .

∴后 5 个月的月平均价格分别为 19,14,11,10,11.

∴年平均价格为 y ? 17? 7 ?19 ?14 ?11?10 ?11 ? 46 ? 15.3 (元/千克).当 x ? 3 时, y ? 14 ? 15.3,

12

3

∴4,5,6,7,8 这五个月的月平均价格高于年平均价格.

9 (四川广安)广安市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房

者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售。

(1)求平均每次下调的百分率。

(2)某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打 9.8 折销售;

②不打折,一次性送装修费每平方米 80 元,试问哪种方案更优惠?

【答案】解:(1)设平均每次下调的百分率 x,则 6000(1-x)2=4860

解得:x1=0.1

去)∴平均每次下调的百分率 10%

(2)方案①可优惠:4860×100×(1-0.98)=9720 元

x2=1.9(舍 方案

②可优惠:100×80=8000 元∴方案①更优惠


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