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直线、平面垂直的判定与性质


第5讲

直线、平面垂直的判定与性质

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内, 且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若 α⊥β,因为 α∩β=m,b?β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质 ( ).

定理可得 b⊥α,又 a?α,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,且 a,m 共面,一定有 b⊥a,但不能保证 b⊥α,所以不能推出 α⊥β.故选 A. 答案 A

2.(2014· 绍兴调研)设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命 题正确的是 A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m?α,n?β,m⊥n,则 n⊥α C.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α D.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β 解析 与 α,β 两垂直平面的交线垂直的直线 m,可与 α 平行或相交,故 A ( ).

错;对 B,存在 n∥α 情况,故 B 错;对 D;存在 α∥β 情况,故 D 错;由 n ⊥α,n⊥β,可知 α∥β,又 m⊥β,所以 m⊥α,故 C 正确. 答案 C

3.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l

满足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则 A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 解析

(

).

假设 α∥β,由 m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 m∥n,这与已知 m,n 为异

面直线矛盾,那么 α 与 β 相交,设交线为 l1,则 l1⊥m,l1⊥n,在直线 m 上 任取一点作 n1 平行于 n,那么 l1 和 l 都垂直于直线 m 与 n1 所确定的平面,所 以 l1∥l. 答案 D

4.(2014· 深圳调研)如图,在四面体 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确的是 ( ).

A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,

于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 由于 AC?平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE,所以选 C. 答案 C

5. (2014· 郑州模拟)已知平面 α, β, γ 和直线 l, m, 且 l⊥m, α⊥γ,α∩γ=m, β∩γ =l,给出下列四个结论: ①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β. 其中正确的是 A.①④ C.②③ B.②④ D.③④ ( ).

解析

如图,由题意,β∩γ=l,∴l?γ,由 α⊥γ,α∩γ=m,且 l⊥m,∴l⊥

α,即②正确;由 β∩γ=l,∴l?β,由 l⊥α,得 α⊥β,即④正确;而①③条 件不充分,不能判断.

答案

B

二、填空题 6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个 你认为正确的条件即可).

解析

∵PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC, 且 AC⊥BD, ∴BD⊥PC.∴当 DM

⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC?平面 PCD, ∴平面 MBD ⊥平面 PCD. 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC)

π π 7.已知平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β,AB 与两平面 α,β 所成的角分别为4和6, 过 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′,B′,则 AB∶A′B′= ________. 解析 连接 AB′和 A′B,设 AB=a,可得 AB 与平面 α 所成的角为∠BAB′

π 2 =4,在 Rt△BAB′中,有 AB′= 2 a,同理可得 AB 与平面 β 所成的角为∠ π 1 ABA′ = 6 , 所 以 A′A = 2 a , 因 此 在 Rt △ AA′B′ 中 , A′B′ = 1 ? 2 ?2 ?1 ?2 1 ? a? -?2a? = a,所以 AB∶A′B′=a∶ a=2∶1. 2 ?2 ? ? ? 2 答案 2∶1

8.设 α,β 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线.从 “①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为 结论,写出你认为正确的一个命题:________(用代号表示). 解析 逐一判断.若①②③成立,则 m 与 α 的位置关系不确定,故①②③?

④错误;同理①②④?③也错误;①③④?②与②③④?①均正确. 答案 ①③④?②(或②③④?①)

三、解答题 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底 面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证:

(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明 (1)因为平面 PAD∩平面 ABCD=AD.

又平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD. 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD,且 CD?平面 PCD, 又 E,F 分别是 CD 和 CP 的中点,

所以 EF∥PD,故 CD⊥EF. 由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 10.(2013· 泉州模拟)如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC,DB ⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一点.

(1)求证:B1D1∥平面 A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. (1)证明 由直四棱柱,得 BB1∥DD1,

又∵BB1=DD1,∴BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD. 而 BD?平面 A1BD,B1D1?平面 A1BD, ∴B1D1∥平面 A1BD. (2)证明 ∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,

∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D. 而 MD?平面 BB1D,∴MD⊥AC.

(3)解

当点 M 为棱 BB1 的中点时,

平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. 证明如下: 取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,如图所 示. ∵N 是 DC 的中点,BD=BC, ∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1, ∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1 的中点, ∴BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D. ∵OM?平面 DMC1,∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.如图, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° , BC1⊥AC, 则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( ).

A.直线 AB 上

B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 解析 由 BC1⊥AC,又 BA⊥AC,则 AC⊥平面 ABC1,因此平面 ABC⊥平面

ABC1,因此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上. 答案 A

2. (2014· 北京东城区期末)如图, 在四边形 ABCD 中, AB=AD=CD=1, BD= 2, BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD, 使平面 A′BD ⊥平面 BCD,则下列结论正确的是 ( ).

A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° 1 D.四面体 A′-BCD 的体积为3 解析 取 BD 的中点 O,连接 A′O,OC,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,

又平面 A′BD⊥平面 BCD.平面 A′BD∩平面 BCD=BD,∴A′O⊥平面 BCD, ∵CD⊥BD, ∴OC 不垂直于 BD.假设 A′C⊥BD, 又 A′C∩A′O=A′, ∴BD⊥平面 A′OC,∴BD⊥OC 与 OC 不垂直于 BD 矛盾,∴A′C 不垂直 于 BD,A 错误.∵CD⊥BD,平面 A′BD⊥平面 BCD,∴CD⊥平面 A′BD, ∴CD⊥A′D,∴A′C= 2,∵A′B=1,BC= BD2+CD2= 3,∴A′B2 +A′C2=BC2,A′B⊥A′C,B 正确.∠CA′D 为直线 CA′与平面 A′BD 1 1 所成的角,∠CA′D=45° ,C 错误.VA′-BCD=3S△A′BD· CD=6,D 错误,故 选 B. 答案 B

二、填空题 3.(2013· 河南师大附中二模)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,

PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45° .

其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥AE,又由正六边形的性质

得 AE⊥AB,PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB,∴AE⊥PB, ①正确;又平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错; 由正六边形的性质得 BC∥AD,又 AD?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直 线 BC∥平面 PAE 也不成立, ③错; 在 Rt△PAD 中, PA=AD=2AB, ∴∠PDA =45° ,∴④正确. 答案 ①④

三、解答题 4.(2014?成都检测)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SA⊥平 面 ABCD,二面角 S-CD-A 的平面角为 45° ,M 为 AB 的中点,N 为 SC 的 中点.

(1)证明:MN∥平面 SAD; (2)证明:平面 SMC⊥平面 SCD; CD (3)记 AD=λ,求实数 λ 的值,使得直线 SM 与平面 SCD 所成的角为 30° . (1)证明 1 如图,取 SD 的中点 E,连接 AE,NE,则 NE=2CD=AM,NE∥

CD∥AM,

∴四边形 AMNE 为平行四边形, ∴MN∥AE. ∵MN?平面 SAD,AE?平面 SAD,∴MN∥平面 SAD. (2)证明 ∵SA⊥平面 ABCD,

∴SA⊥CD. ∵底面 ABCD 为矩形, ∴AD⊥CD. 又 SA∩AD=A, ∴CD⊥平面 SAD, ∴CD⊥SD,∴∠SDA 即为二面角 S-CD-A 的平面角,即∠SDA=45° ,∴ △SAD 为等腰直角三角形,∴AE⊥SD. ∵CD⊥平面 SAD,∴CD⊥AE,又 SD∩CD=D,∴AE⊥平面 SCD. ∵MN∥AE,∴MN⊥平面 SCD,又 MN?平面 SMC, ∴平面 SMC⊥平面 SCD. (3)解 CD ∵ AD =λ,设 AD=SA=a,则 CD=λa.

由(2)知 MN⊥平面 SCD,∴SN 即为 SM 在平面 SCD 内的射影, ∴∠MSN 即为直线 SM 与平面 SCD 所成的角,即∠MSN=30° . 在 Rt△SAM 中,SM= 2 ?λa? a2+? 2 ?2,而 MN=AE= 2 a, ? ? 2 2a

MN 1 ∴在 Rt△SNM 中,由 sin∠MSN= SN 得2=

,解得 λ=2, ?λa?2 a +? 2 ? ? ?
2

∴当 λ=2 时,直线 SM 与平面 SCD 所成的角为 30° .


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