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2019届高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第六节数学归纳法理


第 六 节 数学归纳法 课前·双基落实 知识回扣,小题热身,基稳才能楼高 课堂·考点突破 练透基点,研通难点,备考不留死角 课后·三维演练 分层训练,梯度设计,及时查漏补缺 课 前 双 基落实 知识回扣,小题热身,基稳才能楼高 过 基 础 知 识 1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: * 第一个值 n ( n ∈ N ) 时命题成立; 0 0 (1)(归纳奠基)证明当 n 取___________________ (2)( 归纳递推 ) 假设 n = k(k≥n0 , k ∈ N*) 时命题成立,证明当 n= k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正 整数 n 都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 2.两个步骤的作用和关系 步骤(1)是命题论证的基础,步骤 (2)是判断命题的正确性能 否递推下去的保证. 这两个步骤缺一不可,如果只有步骤 (1)缺少步骤(2),无法 对 n 取 n0 后的数时结论是否正确作出判断;如果只有步骤 (2)缺少步骤 (1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤 (2)就没有意义了. 过 基 础 小 题 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n= 1 时结论 成立. ( ) (2)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题, 但并不 是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明. ( ) (3)证明当 n=k+1 时命题成立用到归纳假设,即 n=k(k≥n0, k∈N*)时命题成立. ( ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n=k+1 时,项数都增加了一项. ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× 1 2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时, 2 第一步检验 n 等于 A.1 C.3 B. 2 D.4 ( ) 解析:三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验 n=3. 答案:C 3.用数学归纳法证明:首项是 a1,公差是 d 的等差数列的前 n n?n-1? 项和公式是 Sn=na1+ d 时, 假设当 n=k 时, 公式成立, 2 则 Sk= A.a1+(k-1)d k?k-1? C.ka1+ d 2 k?a1+ak? B. 2 k?k+1? D.(k+1)a1+ d 2 ( ) 解析:假设当 n=k 时,公式成立,只需把公式中的 n 换成 k k?k-1? 即可,即 Sk=ka1+ d. 2 答案:C 1 1 1 1 4.已知 f(n)=n+ + +…+ 2,则 n n + 1 n+ 2 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 2 ( ) 1 1 1 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 解析:由 f(n)可知,共有 n2-n+1 项,且 n=2 时,f(2) 2 1 1 1 = + + . 2 3 4 答案:D 4 2 n + n 5.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2= 时,当 n=k+1 2 时左端应在 n=k 的基础上加上_______

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