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2015年高考数学江苏卷 文档


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 I 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题)、解答题(第 15 题——第 20 题)。 本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 参考公式:圆锥体的体积公式: V 锥体=

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是高。 3

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应横 线上。) 1.已知集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2, 4,5? ,则集合 A ∪ B 中的元素个数为______▲_____. 2.已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数是______▲_____. 3.设复数 z 满足 z ? 3 ? 4i ( i 是虚数单位),则 z 的模是______▲_____.
2

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的 S 值为______▲_____. 5.袋中有形状、大小相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次性摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 ______▲_____. 6.已知 a ? (2,1), b ? (1, ?2) ,若 ma ? nb ? (9, ?8)(m, n ? R), 则

S ?1 I ?1 While I ? 8 S ?S ?2 I ? I ?3 End While Print S

m ? n 的值为______▲_____.
7.不等式 2
x2 - x

? 4 的解集为______▲_____.
1 , 则 tan ? 的值为______▲_____. 7

8.已知 tan ? ? ?2, tan(? ? ?) ?

S 数学 I 试卷 第 1 页 (共 4 页)

9.现有橡皮泥制作底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2,高为 8 的圆柱各一个。若 将它们重新制成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个, 则新的底 面半径为______▲_____. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为______▲_____. 11.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1(n ? N * ) ,则数列 ? ______▲_____. 12.在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点,若点 P 到直线
2 2

?1? ? 的前 10 项和为 a ? n?

x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为______▲_____.
13. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ? 为______▲_____. 14.设向量 ak ? (cos _____.
12 k? k? k? ,sin ? cos )(k ? 0,1, 2...,12) ,则 ? (ak .ak ?1 ) 的值为______▲ 6 6 6 k ?1

? ?0 , 0 ? x ? 1 则方程 f ( x) ? g ( x) ? 1的实根个数 2 x ? 4 ? 2, x ? 1 ? ?

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域作答,作答时应写出相应 的证明过程,文字说明或演算步骤。) 15.(本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60 . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值.

S 数学 I 试卷 第 2 页 (共 4 页)

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,已知 AC ? BC , BC ? CC1 ,设 AB1 的中点为 D ,

B1C ? BC1 ? E .
求证:(1) DE ? ? 平面 AAC 1 1C (2) BC1 ? AB1 .

(第 16 题)

S 数学 I 试卷 第 3 页 (共 4 页)

17.(本小题满分 14 分) 某山区外围有两条互相垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一条连 接两条公路和山区边界的直线型公路。记两条互相垂直的公路为 l1 , l2 ,山区边界曲线为 C , 计划修建的公路为 l 如图所示, M , N 为曲线 C 两个端点,测得点 M 到 l1 , l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1 , l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l1 , l2 所在的直线分别为

x, y 轴,建立平面直角坐标系 xOy ,假设曲线 C 符合函数 y ?
模型. (1)求 a , b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点, P 的横坐标为 t . ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f (t ) ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

a (其中 a , b 为常数) x ?b
2

S 数学 I 试卷 第 4 页 (共 4 页)

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy ,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b?? ?) 的离 a 2 b2

心率为

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的垂直 平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C ,若 PC ? 2 AB ,求 直线 AB 的方程.

S 数学 I 试卷 第 5 页 (共 4 页)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R). (1)试讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取值 范围恰好是 ( ??, ?3) ? (1, ) ? ( , ??) ,求 c 的值.

3 2

3 2

S 数学 I 试卷 第 6 页 (共 4 页)

20.(本小题满分 16 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是公差为 d ( d ? 0 )的等差数列. (1)求证 2
a1

, 2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列;

(2)是否存在 a1 , d 使得 a12 , a22 , a32 , a42 依次构成等比数列?并说明理由; (3)是否存在 a1 , d 及整数 n , k ,使得 a1 由.
n

, a2n?k , a3n?2k , a4n?3k 依次构成等比数列?并说明理

S 数学 I 试卷 第 7 页 (共 4 页)


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