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中档题训练一(理)

中档题专题训练一
1.已知 ? 为锐角,且 cos ? ?

3 . 5

(Ⅰ)求

5? cos 2 ? ? sin 2? ) 的值. 的值; (Ⅱ)求 tan(? ? 2 4 sin ? ? cos 2?
5 4 , cos C ? . 13 5

2.在 △ ABC 中, cos B ? ?

33 ,求 BC 的长. 2 1 1 1 3.已知甲、乙、丙三人独自射击命中目标的概率分别是 、 、 。 2 3 4
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? (1) 、若三人同时对同一目标进行射击,求目标被击中的概率; (2) 、若由甲、乙、丙三人轮流对目标进行射击(每人只有一发子弹) ,目标被击中则停止射击。请问三人 的射击顺序如何编排才最节省子弹?试用数学方法说明你的结论。 4.有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子,红色骰子有两个面是 8,四个面是 2,蓝色骰子有三个面是 7,三 个面是 1,两人各取一只骰子分别随机掷一次,所得点数较大者获胜. (1)分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望; (2)求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少?

BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30 ? , AE 垂直 5.如图,已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AB ? 2, AA 1 ? 1, 直线
A1

BD 于 E , F 为 A1B1 的中点.
(I)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值; (II)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角余弦值; (III)求点 A 到平面 BDF 的距离.
B

D1

F

B1

A

C1
E

D

C

6.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点,作

EF ? PB 交 PB 于点 F . (I)证明 PA ∥ 平面 EDB ; (II)证明 PB ? 平面 EFD ; (III)求二面角 C ? PB ? D 的大小.
7 . 已 知 二 次 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 经 过 坐 标 原 点 , 其 导 函 数 为 数 列

P

F

E

D B

C

f ' ( x) ? 6 x ? 2,

{an }





n







Sn





A

(n, S n )(n ? N*)均

在 y函 ? f (数 x)的

图 。 像



(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ?

3 m , Tn 是数列 {bn }的前n项和, 求出Tn ; 并 求 使 得 T n? 对所有 n ? N * 都成立的 m 的范围. an an?1 7

8.已知数列 f ? n? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n2 ? 2n . (Ⅰ)求数列 f ? n? 通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? f ?1? , an?1 ? f ? an ? ? n ? N *? ,求证数列 ? an ? 1 ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的前 n 项和

?

?

?

?

Tn .
9. 数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ? 1(n ? N , n ? 2), a3 ? 27. (1)求 a1 , a 2 的值; (2)记 bn ?

1 (a n ? t )( n ? N *) ,是否存在一个实数 t ,使数列 {bn } 为等差数列?若 2n

存在,求出实数 t ;若不存在,请说明理由; (3)求数列{ an }的前 n 项和 S n . 10.已知函数 f ?x? ? a ln x ? bx2 图象上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 . (Ⅰ)求 a , b 的 值; (Ⅱ) 若方程 f ?x ? ? m ? 0 在 [ , e ] 内有两个不等实根, 求 m 的取值范围 (其中 e 为自然对数的底,e? 2.7 ) ; (Ⅲ) 令 g ? x ? ? f ? x ? ? nx ,如果 g ?x ? 图象与 x 轴交于 A?x1 ,0?, B?x2 ,0??x1 ? x2 ? ,AB 中点为 C?x0 ,0? ,求证:

1 e

g? ? x0 ? ? 0 .
1.解: ? ? 为锐角,且 cos ? ?

3 5

4 4 ? sin ? ? , tan ? ? ……3 分 5 3
…….6 分

cos 2 ? ? sin 2? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? (Ⅰ) sin 2 ? ? cos 2? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ?
? 1 ? 2 tan ? ? 1 ? 2 ?

4 11 ? ………….7 分 3 3 5? tan ? ? tan 5? 4 )= (Ⅱ) tan(? ? ………. 10 分 5? 4 1 ? tan ? tan 4 4 ?1 1 …………..14 分 ? 3 ? 4 7 1 ? ?1 3 5 12 2.解: (Ⅰ)由 cos B ? ? ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 65 33 1 33 (Ⅱ)由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2

由(Ⅰ)知 sin A ?

33 , 65

故 AB ? AC ? 65 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 又 AC ?

AB ? sin B 20 20 13 AB ? sin A 11 ? AB ,故 AB 2 ? 65 , AB ? .所以 BC ? ? . sin C 13 13 2 sin C 2

3.解: (1)设甲命中目标为事件 A,乙命中目标为事件 B,丙命中目标为事件 C 三人同时对同一目标射击,目标被击中为事件 D …… 2 分 可知,三人同时对同一目标射击,目标不被击中为事件 D 有 P( D) ? 1 ? P( D)

P( D) ? [1 ? P( A)] ? [1 ? P( B)] ? [1 ? P( D)] 又由已知 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 3 4 4 1 3 ∴ P( D) ? 1 ? ? 4 4
答:三人同时对同一目标进行射击,目标被击中的概率为

…… 6 分

3 4

…… 8 分

(2)甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。 …… 10 分 甲、乙、丙由先而后进行射击时所用子弹的分布列为 ξ P 1 2 3

1 2

1 1 ? 2 3

1 2 1 ? ? 2 3 4
…… 11 分 …… 13 分

13 由此可求出此时所耗子弹数量的期望为: E (? ) ? 12

按其它顺序编排进行射击时,得出所耗子弹数量的期望值均高过此时, 因此甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。 …… 14 分 4.解: (1)设红色骰子投掷所得点数为 ? 1 ,其分布如下:

?1
P

8

2

1 2 ………………2 分 3 3 1 2 E? 1 ? 8 ? ? 2 ? ? 4 ;………………………………………………4 分 3 3
设蓝色骰子投掷所得点数 ? 2 ,其分布如下;

?2

7

1 ………………6 分

1 1 P 2 2 1 1 E? 2 ? 7 ? ? 1 ? ? 4. ………………………………8 分 2 2
红色骰子点数为 2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是

(2)∵投掷骰子点数较大者获胜,∴投掷蓝色骰子者若获胜,则投掷后蓝色骰子点数为 7,

3 4 1 2 1 ? ? ? ? …………12 分 6 6 2 3 3

5.解:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AD 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的直 线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 AB ? 2, AA 1 ? 1, 可得 A(0,0,0), B(2,0,0) , F (1,0,1)

BD 与 平 面 AA1B1B 所 成 的 角 为 ?DBA ? 30? , 又 AB ? 2 , AE ? BD , 又 AD ? 平 面 AA 1B 1B , 从 而

AE ? 1, AD ?

?1 3 ? ? 2 3 ? 2 3 从而易得 E ? , ? 2 2 ,0 ? ?, D? ? 0, 3 ,0 ? ? 3 ? ? ? ?

??? ? ??? ? ?1 ??? ? ? 1 3 ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 AE ? BF (I)因为 AE ? ? , ? ??? ? = 2 ?? ? 2 2 ,0 ? ? , BF ? ? ?1,0,1? 所以 cos AE , BF ? ??? 4 2 AE BF ? ?

?

?

易知异面直线 AE、BF 所成的角为 arccos

2 4

(II) 易知平面 AA1B 的一个法向量 m ? (0,1,0) 设 n ? ( x, y, z) 是平面 BDF 的一个法向量, BD ? (?2,

??

?

??? ?

2 3 ,0) 3

? ??? ? ? ??? ? ?? x ? z ? 0 ? ? ? ?x ? z ?n ? BF ?n ? BF ? 0 ? ?? 由 ? ? ??? ?? ? ? ? ? ??? ? 2 3 y?0 ? ? ? 3x ? y ?2 x ? ?n ? BD ? ?n ? BD ? 0 3 ? ?? ? ? ?? ? m?n 15 即 n ? 1, 3,1 所以 cos m, n ? ?? ? ? 即平面 B D F 与平面 AA 1 B 所成的二面角的大小(锐角)为 5 m n

?

?

arccos

15 5
??? ?

(III)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值,

?

??? ? ? ??? ? ??? ? ? AB ? n 2 5 2 5 所以距离 d ? AB ? cos AB, n = 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 ? ? 5 5 n
6.如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点。设 DC ? a. (I)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G。连结 EG。 依题意得 A(a, 0, 0), P (0, 0, a ), E (0,
z P

a a , ) 2 2

? 底面 ABCD 是正方形, ? ? G 是此正方形的中心, a a ? 故点 G 的坐标为 ( , , 0) 且 2 2 ??? ? ??? ? a a PA ? (a, 0, ?a), EG ? ( , 0, ? ). 2 2

F

E

D G A x B

C

y

??? ? ??? ? ? PA ? 2EG 。这表明 PA∥EG 。
而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,? PA∥ 平面 EDB。 (II)证明:依题意得 B(a, a,0), PB ? (a, a, ?a) 。又 DE ? (0,

??? ?

????

a a , ), 故 2 2

??? ? ???? a2 a2 PB.DE ? 0 ? ? ? 0 ? PB ? DE 2 2
由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E, 所以 PB ? 平面 EFD。 (III)解:设点 F 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ), PF ? ? PB, 则 ( x0 , y0 , z0 ? a) ? ? (a, a, ?a)

??? ?

??? ?

??? ? a a 1 1 x0 ? ?a, y0 ? ?a, z0 ? (1 ? ? )a. 所以 FE ? (? x0 , ? y0 , ? z0 ) ? (?? a, ( ? ? )a, (? ? ) a). 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 2 1 2 2 由条件 EF ? PB 知, FE.PB ? 0, 即 ?? a ? ( ? ? )a ? (? ? )a ? 0, 解得 ? ? 。 2 2 3 a a 2a ? 点 F 的坐标为 ( , , ), 且 3 3 3 ??? ? ??? ? a a a a a 2a FE ? (? , , ? ), FD ? (? , ? , ? ). 3 6 6 3 3 3
从而

??? ? ??? ? a 2 a 2 2a 2 ? PB.FD ? ? ? ? ? 0. 即 PB ? FD ,故 ?EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平面角。 3 3 3 ??? ? ??? ? a2 a2 a2 a2 ? FE.FD ? ? ? ? ,且 9 18 9 6

??? ? a2 a2 a2 6 | FE |? ? ? ? a, 9 36 36 6 ??? ? a 2 a 2 4a 2 6 | FD |? ? ? ? a, 9 9 9 3
??? ? ??? ? FE.FD ? ??? ? ? ? cos EFD ? ??? | FE || FD | a2 6 6 6 a. a 6 3 1 ? . 2

??EFD ?

?
3

所以,二面角 C ? PB ? D 的大小为
2

? . 3

7.解:设二次函数 f ( x) ? ax ? bx. f ' ( x) ? 2ax ? b

? 2a ? 6

b ? ?2.

? f ( x) ? 3x 2 ? 2 x (n, S n )在y ? 3 x 2 ? 2 x上, 则S n ? 3n 2 ? 2n.
又 n ? 2时an ? S n ? S n?1

? 3n 2 ? 2n ? 3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 6n ? 5

又n ? 1时a1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 ?1 ? 5 符合
? an ? 6n ? 5
(2) bn ?

3 3 1 1 1 ? ? ( ? ) a n a n?1 (6n ? 5)(a n ? 1) 2 6n ? 5 6n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 7 7 13 13 19 6n ? 5 6n ? 1 1 1 ? (1 ? ) 2 6n ? 1 3n ? 6n ? 1 ?
m 恒成立, 则m ? 7Tn 恒成立.? m ? (7Tn ) max 7 Tn ?1 ? Tn ? bn ?1 ? 0 ?Tn随n增大而增大 Tn ? 1 1 7 又Tn ? ? m ? 7 ? ? 2 2 2
8.解: (Ⅰ)n≥2 时, f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 . n=1 时, f (1) ? S1 ? 3 ,适合上式, ∴ f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ? n ? N *? . (Ⅱ) a1 ? f ?1? ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ? n ? N *? . 即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . ∴数列 ? an ? 1 ? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列. ………………… 10 分 ………………… 5 分 ………………… 8 分 ………………… 4 分

an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ?1 ? n ? N *? .……………… 12 分
Tn= (22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? n = 2n ? 2 ? 4 ? n . 9. 解: (1)由 a 3 ? 27,27 ? 2a 2 ?23 ? 1 ………………… 14 分

?a 2 ? 9

? 9 ? 2a1 ?2 2 ?1

?a 1 ? 2 ……………4 分

(2)假设存在实数 t,使得 {bn } 为等差数列。则 2b n ?b n?1 ?b n?1

?2?

1 1 1 (a n ?t ) ? n ?1 (a n ?1 ?t ) ? n ?1 (a n ?1 ?t ) n 2 2 2

? 4a n ? 4a n?1 ?a n?1 ?t
? 4a n ? 4 ?
?t ? 1

a n ?2 n ? 1 ? 2a n ?2 n?1 ? t ? 1 2

? 存在 t=1,使得数列 {b n } 为等差数列。…………………………9 分
(3)由(1) 、 (2)知: b1 ? 又 {b n } 为等差数列。

3 5 ,b 2 ? 2 2

bn ? n ?

1 2

1 ?a n ? (n ? ) ? 2 n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? 1………………11 分 2

?S n ? 3 ? 20 ? 1 ? 5 ? 21 ? 1 ? 7 ? 22 ? 1 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 1

? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? n
? 2S n ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2n ??S n? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ? n
? 1? 2? 1 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2 n ? n ? (1 ? 2n) ? 2 n ? n ? 1 1? 2

?S n ? (2n ? 1) ? 2n ? n ? 1 …………………………14 分
10.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ∴
a a ? 2bx , f ? ? 2? ? ? 4b , f ? 2? ? a ln 2 ? 4b . x 2

a ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 . 2

…………………… 2 分 …………………… 4 分

解得 a=2,b=1.

(Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x2 ,令 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x2 ? m ,
2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去) . x x 1 1 在 [ , e] 内,当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是增函数; e e

则 h? ? x ? ?

当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是减函数.

…………………… 7 分

? 1 ? h( e ) ≤ 0, 1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 ? ……10 分 ? ? h(1) ? 0, e ? h(e) ≤ 0. ? ? ?

即 1 ? m≤ e 2 ? 2 . (Ⅲ) g ? x ? ? 2ln x ? x ? nx , g ? ? x ? ?
2

…………………… 12 分

2 ? 2x ? n . x
① ② ③ ④

?2ln x1 ? x12 ? nx1 ? 0, ? 2 ?2ln x2 ? x2 ? nx2 ? 0, ? 假设结论成立,则有 ? x ? x ? 2 x , 1 2 0 ? ? 2 ? 2 x ? n ? 0. 0 ? ? x0

①-②,得 2 ln

x1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? n( x1 ? x2 ) ? 0 . x2

x1 x2 ∴n ?2 ? 2 x0 . x1 ? x2 2 由④得 n ? ? 2 x0 , x0 ln x x1 ln 1 x2 2 x2 1 ∴ . ? ? .即 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0
ln
x1 ?2 x x 即 ln 1 ? 2 .⑤ x1 x2 ?1 x2 2

…………………… 14 分

令t ?

x1 2t ? 2 , u(t ) ? ln t ? (0<t<1), x2 t ?1

则 u ?(t ) ?

(t ? 1)2 >0.∴ u (t ) 在 0<t<1 上增函数. t (t ? 1)2

u (t ) ? u (1) ? 0 ,∴⑤式不成立,与假设矛盾.

∴ g ? ? x0 ? ? 0 .

………………………………… 16 分


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