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第5讲 椭0圆shiti



1.椭圆的概念



双基自测 1. 若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长的和为 18, 焦距为 6, 则椭圆的方程为( x2 y2 A. 9 +16=1 x2 y2 x2 y2 C.25+16=1 或16+25=1 x2 y2 B.25+16=1 D.以上都不对 ). ).

x2 y2 2. P 是椭圆25+16=1 上的点, F1、 2 是椭圆的两个焦点, 设 若 F 则|PF1|+|PF2|等于( A.4 B.5 C.8 D.10 ).

3. “-3<m<5”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件

x2 y2 + =1 表示椭圆”的 ( 5-m m+3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ). B.21 19 D.25或 21

x2 y2 4 4.椭圆 9 + =1 的离心率为5,则 k 的值为( 4+k A.-21 19 C.-25或 21

2 5.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 . 过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. 考向一 椭圆定义的应用 x2 y2 【例 1】?(2011· 青岛模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭 → → 圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. x2 2 【训练 1】 已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 3 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且 椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 C.4 3 考向二 B.6 D.12 求椭圆的标准方程 ).

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x2 y2 【例 2】?(1)求与椭圆 + =1 有相同的离心率且经过点(2,- 3)的椭圆方程. 4 3 (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P 到两焦点的距离分别为 5、3,过 P 且与 长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程.

【训练 2】 (1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程. x2 y2 (2)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点 M,N 与 F 构成正三角形,求椭圆的方程.

考向三

椭圆几何性质的应用

x2 【例 3】?(2011· 北京)已知椭圆 G:4 +y2=1.过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. .

【训练 3】 (2012· 武汉质检)在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过 A,B 两点, 它的一个焦点为点 C,另一个焦点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为________.

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考向四

椭圆中的定值问题

2 【例 4】?(2011· 重庆)如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= 2 , 一条准线的方程为 x =2 2.(1)求该椭圆的标准方程;

→ (2)设动点 P 满足:O→=OM +2O→,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率 P N
1 之积为-2 .问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标;若不存在,说明理由.

【训练 4】 (2010· 安徽)如图, 已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 1 在 x 轴上,离心率 e=2.(1)求椭圆 E 的方程;(2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程.

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怎样求解与弦有关的椭圆方程问题 x2 y2 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 天津)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、 F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, 两点, B 若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M, 5 N 两点,且|MN|=8|AB|,求椭圆的方程.

1 x2 y2 【试一试】 已知直线 y=-2x+2 和椭圆a2+b2=1(a>b>0)相交于 A、B 两点,M 为线段 1 AB 的中点,若|AB|=2 5,直线 OM 的斜率为2,求椭圆的方程.

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