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新编(人教A版)高中数学必修一-课件:第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数的单调性_图文

xiaycn 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.通过已学过的函数特别是二次函数, 理解函数的单调性及其几何意义. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的 性质. 3.能够熟练应用定义判断与证明函数在 某区间上的单调性. 重点:1.函数单调性的概念. 2.判断函数单调性的一般方法. 3.求函数的单调区间. 难点:1.用概念判断函数的单调性. 2.求函数的单调区间. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 一、定义域为 I 的函数 f(x)的增减性 二、函数单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是 增函数或是减函数 , 那么就说函数 y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫作 y=f(x)的 单调区间. [双基自测] 1.如果函数 f(x)在[a,b]上是增函数,那么对于任意的 x1,x2∈[a,b](x1≠x2), 下列结论中不正确的是( f?x1?-f?x2? A. >0 x1-x2 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) x2-x1 D. >0 f?x2?-f?x1? ) 答案:C 2.设 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是减函数,则有( 1 A.a≥ 2 1 C.a>- 2 答案:D ) 1 B.a≤ 2 1 D.a< 2 3.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)为增函数, 当 x∈(-∞,-2]时,函数 f(x)为减函数,则 m 等于( A.-4 C.8 B.-8 D.无法确定 ) 答案:B 4.函数 f(x)=|x-1|的单调递增区间是________,单调递减区间是________. 答案:[1,+∞) (-∞,1] 探究一 由函数图象求函数的单调区间 [典例 1] 作出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象并指出它的单调区间. [解析] 根据绝对值的意义,y=-x2+2|x|+3 2 ? ?-x +2x+3,x≥0 =? 2 ? - x -2x+3,x<0 ? 2 ? ?-?x-1? +4,x≥0 =? 2 ? - ? x + 1 ? +4,x<0 ? 作出函数图象如图所示, 根据图象可知,函数在区间(-∞,-1],[0,1]上是增函数;函数 在区间(-1,0),(1,+∞)上是减函数. 一般来说,求函数单调区间可以根据函数的图象.在某区间内,由左至右图象是 上升的,该区间就是函数的单调增区间;某区间内,由左到右图象是下降的,该 区间就是函数的单调减区间. ?1,x>0, ? 1 . (1) 设函数 f(x) = ?0,x=0, ?-1,x<0, ? ( ) B.[0,1) D.[-1,0] g(x) = x2f(x - 1) ,则函数 g(x) 的递减区间是 A.(-∞,0] C.[1,+∞) (2)求 f(x)=|x2+2x-3|的单调区间. 解析:(1) ?x2,x>1, ? g(x)=?0,x=1, ?-x2,x<1. ? 如图所示,其递减区间是[0,1). 故选 B. (2)令 g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出 g(x)的图象,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴上方就得到 f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示. 由图象易得:函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数的递减区间是 (-∞,-3],[-1,1]. 答案:(1)B 探究二 [典例 2] [证明] 函数单调性的证明或判断 4 证明函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数. 任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 4?x2-x1? =(x1-x2)+ x1x2 x1x2-4 =(x1-x2) . x1x2 ∵2<x1<x2, ∴x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 4 ∴函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数. 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法 (在解决选择或填空题时有时可用图 象法),利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是: x+2 2.利用单调性的定义,证明函数 y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+1 x1+2 证明: 设 x1, x2 是区间(-1, +∞)上任意两个实数且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= x1+1 x2+2 x2-x1 - = , x2+1 ?x1+1??x2+1? ∵-1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0. x2-x1 ∴ >0.即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). ?x1+1??x2+1? x+2 ∴ y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+1 探究三 抽象函数的单调性 [典例 3] 已知函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(x)<f(2x-3),求 x 的取值范围. [解析] ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且 f(x)<f(2x-3), 3 解得 <x<3. 2 ?x>0, ? ∴?2x-3>0, ?x>2x-3, ? (1)确定函数定义域; (2)根据单调性去符号“f”,如果函数 f(x)在给定区间内是增函数,则去掉符号“f” 后,不等式方向不变;如果函数 f(x)在给定区间内是减函数,则去掉符号“f”后, 不等式方向改变. 3.已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),则 x 的取值范 围为________. ? ?-1≤x-2≤1 解析:由题意,得? ? ?-1≤1-x≤1 ,解得 1≤x≤2 ①. 因为

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