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三角函数和平面向量中的类型题


三角函数、平面向量巩固提高练习(必修四)
【定义域及不等式】
1、函数 f ( x) =lg(2sinx+1)+ 2、函数 y ?

2cos x ? 1 的定义域是

.

1 的定义域是 . 1 ? tan x 3、观察正切曲线,满足条件 tan x ? 3 的 x 的取值集合是 4、函数 y ? 2 ? log 1 x ? tan x 的定义域为
2

. . )

5、设 a ? 0 且 a ? 1 .若 loga x ? sin 2 x 对 x ? (0, A. (0,

?
4

) 恒成立,则 a 的取值范围是(

?

4 4 6、不等式 tan x ? 1 的解集是 ( p p A. (2kp - , 2kp - ](k Z ) 2 4

)

B. (0,

?

]

C. (

?

,1) ? (1, ) 4 2

?

D. [

?
4

,1)

) B. [2k? ? D. [2k? ?

?
4

,2k? ?

C. (k? ?

?

, k? ? ] (k ? Z ) 2 4
? 6 ?x? 2? 3

?

?
2

,2k? ?

3? ] (k ? Z ) 4

3? ] (k ? Z ) 2

【值域与最值】
1、函数 y ? sin x(

) 的值域是

. )

2、函数 y = cos x ( A. [ ? ,

?
6

?x?

4? )的值域是( 3
C. [?1,

1 3 ] 2 2

B. [ ?

3、函数 y ? 2sin( x ? A.3

?
6

1 ,1] 2

) ? 1 , x ? [?
B .2

? ?

3 ] 2

D.[-1,1] ) D. ?

, ] 的最大值为( 2 2
C. 3

? ? 在区间 [0, 2 ] 上的最小值是 4? 2 2 A.-l B. C. ? D.0 2 2 ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? 5、已知 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x ) 在区间 ? , ? 有最小值,无 3? ?6 3? ? ?6? ?3?
4、函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

??

3 ?1 2

最大值,则 ? =__________.

1

6、已知 f ( x) ? sin ? ? x ?

最小值,则 ? =__________.

? ?

?? ? (? ? 0),f 3?

?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最大值,无 ?6 3? ?6? ?3?

【最小正周期、奇偶性】
x ? 1、函数 f ( x) ? 3 tan( ? ) , x ? R 的最小正周期为( ) 2 4 ? A. B. ? C. 2? D. 4? 2 π 2、周期在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?, 6? ?

π ④y=tan?2x- ?中,最小 4? ?

正周期为π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 13 3、对于函数 y=sin( π-x) ,下面说法中正确的是 ( ) 2 (A) 函数是周期为 π 的奇函数 (B) 函数是周期为 π 的偶函数 (C) 函数是周期为 2π 的奇函数 (D) 函数是周期为 2π 的偶函数 4、函数 y ? sin(x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? ? ( A 0 B )

5、若存在非零实数 a ,使函数 f ( x) 满足:对函数定义域内任意自变量 x , f ( x ? a) ? ? f ( x) 成立,则函数 f ( x) 为周期函数,周期为 . 6、若存在非零实数 a ,使函数 f ( x) 满足:对函数定义域内任意自变量 x , f ( x ? a) ? ? 成立,则函数 f ( x) 为周期函数,周期为 .

? 4

C

? 2

D

?

1 f ( x)

7、若函数函数 f ( x) 的图像同时关于直线 x ? a, x ? b(a ? b) 对称,则函数 f ( x) 为周期函数, 周期为 . 8、若函数函数 f ( x) 的图像同时关于点 (a,0), (b,0)(a ? b) 对称,则函数 f ( x) 为周期函数,周 期为 . 9、若函数函数 f ( x) 的图像同时关于点 (a,0), 及直线 x ? b(a ? b) 对称,则函数 f ( x) 为周期函 数,周期为 . 10、判断函数 f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) 的奇偶性为( A.非奇非偶函数 B.奇函数 C.偶函数 ) . D.既奇又偶函数

11、设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距 离的最小值 A.2π

? ,则 f ( x) 的最小正周期是( ) 4
B.π C.

? 2

D.

? 4
2

12、已知函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移 ? 个单位( 0 ? ? ? 称中心是 ( A

?
2

)后的图象的一个对

?
3

,0) ,则 ? 等于(
B

) C

? 12

? 6

? 4
? 2

D

? 3


13、已知函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) 是奇函数,则 ? 的一个取值为( A 0 B

?

?
4

C

D

?

【函数单调性、单调区间】
1、将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

, ] 上单调递减 12 12

? 7?
? ?

B.在区间 [

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2 ? 7?
, ] 上单调递增 12 12



C.在区间 [ ?

, ] 上单调递减 6 3
B. ? , ? 4 4

D.在区间 [ ? )

? ?

, ] 上单调递增 6 3
D. [

2、函数 y=cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( A. ?-

? ? ?? , ? ? 4 ,4?
? ?

? ? 3? ? ? ?

C. ? 0, ? 2

? ?? ? ?

?
2

,? ]

3、函数 y ? tan? x ?

) ? 的单调区间是( 3? 5? ? ? ? ? ? 5? ? A. ? ? ? k? , B. ? ? ? k? ? ( k ? Z ) ? k? , ? k? ? ( k ? Z ) 6 6 ? 6 ? ? 6 ? 5? ? ? ? ? ? 5? ? C. ? ? ? 2k? , D. ? ? ? 2k? ? ( k ? Z ) ? 2k? , ? 2k? ? ( k ? Z ) 6 6 ? 6 ? ? 6 ? 4、在下列各区间上,函数 y ? cos 2 x 单调递减的区间是( ) ? ? ?? ? ? 3? ? ? ?? ?? ? A. ?? , ? B. ? , C. ?0, ? D. ? , ? ? ? ? 4 4? ?4 4 ? ? 2? ?2 ? ? 5、在下列各区间上,函数 y ? sin( x ? A.

??

4

) 的单调递增区间是(
C. ? ?? , 0? D.



?? ? ,? ? ?2 ? ?

B. 0,

? ?? ? ? 4? ?

?? ? ? , ? ?4 2? ?


?? ? ? 2 x ? ? 1 的单调递减区间为 ?4 ? ? 7、y= log 1 sin(2x + )的单调递减区间是( ) 4 2
6、函数 y ? 2 sin ?

3

? ,kπ ](k∈Z) 4 3? ? C.[kπ - ,kπ + ] (k∈Z) 8 8
A.[kπ -

? ? ,kπ + )(k∈Z) 8 8 ? 3? D. (kπ - , kπ + )(k∈Z) 8 8
B.(kπ - 3π ? D、? ? 2 ,2π?

8、函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( ) π π π 3π ? , ? C、?π,3π? - , ? A、? B 、 4 4 2? ? ? ?4 4 ? ? 9、函数 y ? ? cos(

x ? ? ) 的单调递增区间是 ( ) 2 3 4 2 ? 4 2 ? ? ? A. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) B. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? 3 3 ? ? ? 2 8 ? 2 8 ? ? ? C. ?2k? ? ? ,2k? ? ? ? (k ? Z ) D. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? 3 3 ? ? ?

10、函数 y=cos(

? -2x)的单调递增区间是 4




【象限角、比较大小】
1、下列不等式成立的是( A. sin ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? 18 ? ? 10 ? ? 33? ? ? 17? ? C. cos? ? ? ? cos? ? ? ? 5 ? ? 4 ?

B. sin 3 ? sin 2 D. cos

7? 16? ? cos 5 5

2、函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 . 3、 tan1, tan 2, tan3, tan 4 由小到大排列为 . 0 0 0 4、若 a=sin46 ,b=cos46 ,c=cos36 ,则 a、b、c 的大小关系是 ( ) A、 c> a > b B、 a > b> c C、a >c> b D、b> c> a θ? θ θ 5、已知角 θ 在第四象限,且? ) ?sin2?=-sin2,则2是( A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 6、 若α 是第二象限的角,则 2α 不可能在( ) Α .第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
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7、若 ? ? ? ? ? , 则(
4 2



A

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sin ? ? cos ? ? tan ?

B

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cos ? ? tan ? ? sin ?

C sin ? ? tan ? ? cos ? D tan ? ? sin ? ? cos ? 8、若 sin ? ? cos? , ? ? [0,2? ), 则 ? ?
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.

【三角函数图象变换】
4

1、要得到函数 y ? tan 2 x 的图象,只须把 y ? tan? 2 x ? A.左移

? ? ? 个单位 B.右移 个单位 C.左移 个单位 3 3 6 π? ? ? π ? 2、函数 y ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( ) 3? ? ? 2 ?

? ?

??

? 的图象( 3?
D.右移



? 个单位 6

3、函 在 (?

数 f ( x) ? 2 x ? tan x

? ?

, ) 上的图象大致为( 2 2



A B 4、函数 f ( x) ? x cos x ? sin x 的图象大致为(

C )

D

5

5、函数

在一个周期内的图像是(



6、函数 y ? ? x cos x 的部分图象是(



y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D )

7、要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 8、要得到 y ? 3 sin(2 x ? A.向左平移

? ?

??

?

?? ? ? 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象( 3? 3? ? ? B.向右平移 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4


?
4

4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象(

个单位

B.向右平移

?
4

个单位

6

C.向左平移

?
8

个单位

D.向右平移

?
8

个单位

9、为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

?

? 个长度单位 4 ? C.向左平移 个长度单位 2 10、方程 sin x = lg x 的实根有(
A.1 个 B.3 个 11、方程 sin x = x 的实根有( A.0 个 B.1 个 12、有以下四种变换方式: ①向左平移

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像( 6 3 ? B.向右平移 个长度单位 4 ? D.向右平移 个长度单位 2
) C.2 个 ) C.2 个 D. 无穷多个 D. 无穷多个

?



1 1 ? ? ,再将横坐标变为原来的 ;②将横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; 2 2 4 8 1 1 ? ? ③将横坐标变为原来的 ,再向左平移 ;④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 。 2 2 4 8 ? 其中,能将正弦函数 y=sinx 的图象变为 y=sin(2x+ )的图象的是( ) 4
A.①② B.①③ C.②③ D.②④

13、函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 在同一个周期内,当 x ?

?
4

时 y 取最大值 1,当

7? 时, y 取最小值 ? 1 。 12 (1)求函数的解析式 y ? f ( x). (2)函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y ? f ( x) 的图象? x?

14、将函数 y=log2(2x)的图象 F,按 a =(2,-1)平移到 F′,则 F′的解析式为 A.y=log2[2(x-2)]-1 B.y=log2[2(x+2)]-1 C.y=log2[2(x+2)]+1 D.y=log2[2(x-2)]+1





【函数解析式】
? 1、函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0,

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ?,? 的值分别是

7

? A. 2,

? 3

? B. 2,

? 6

? C. ,

1 2

? 3

D. ,

2、函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 达式为( ) A. y ? 2 sin( C. y ? 2 sin(

?
2

1 ? 2 6

, x ? R) 的部分图象如图所示, ,则函数表

?
?
3
3

x?
x?

?
?
6
6

) ?1
) ?1

B. y ? 2sin( D. y ? 2 sin(

?
?
6
6

x?
x?

?
?
3
3

)
) ?1

y
3

1

?1

O

2

13 2

x

π π? ? 3 、将函数 f ( x) = sin(wx +j ) ?ω >0,- ≤φ < ?图像上每一点的横坐标缩短为原来的一 2 2? ? p π 半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y = sin x 的图像, f ( ) =________. 6 6 4、把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 所有点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象上 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( ) 2 ? x ? (A) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (B) y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? ) ,x?R (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? 3 3 ? ?x ?? 5、 将函数 f ? x ? ? 2sin ? + ? 的图象向左平移 个单位, 再向下平移 1 个单位, 得到函数 g 4 ?3 6?
( x)的图象,则 g( x)的解析式为( A. g ? x ? ? 2sin ? ) B. g ? x ? ? 2sin ?

?x ?? + ? ?1 ?3 4?

?x ?? ? ? ?1 ?3 4?
8

C. g ? x ? ? 2sin ?

?x ? ? ? ? ?1 ? 3 12 ?

D. g ? x ? ? 2sin ?

?x ? ? ? ? ?1 ? 3 12 ?
)

6、 已知函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? (A) ?
y 2

π 6

(B)

? 6

π ) 的部分图象如图所示, 则? ? ( 2 π π (C) ? (D) 3 3

O π π 12 3 -2

x

7、 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 向右平移

?
2

) 的部分图像如图示,则将 y ? f ( x) 的图像

? 个单位后,得到的图像解析式为( 6



A. y ? sin 2 x C. y ? sin( 2 x ?

B. y ? cos 2 x

2? ) 3
) .

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

8、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3)

? ...? f (2014 )?(

A. 2

B. 2 ?

2

C. 2 ? 2 2

D. ? 2 ? 2 2

9、同时具有以下性质: “① 最小正周期是 ? ;② 图象关于直线 x ? 函数”的一个函数是( ) .

?
3

对称;③ 在 [?

? ?

, ] 上是增 6 3

9

A. y ? sin( ?

x ? ) 2 6

B. y ? cos(2 x ?

?

) C. y ? sin(2 x ? ) 3 6

?

D. y ? cos(2 x ?

?
6

)

【对称轴对称中心】
1、将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) 图象上各点向右平移 ? (? ? 0) 个单位,得到函数 g ( x) 的图象。

(1)若 g ( x) 的图象与原图象重合,求 ? 的最小值; (2)若 g ( x) 的图象关于 y 轴对称,求 ? 的最小值; (3)若 g ( x) 的图象关于直线 x ?

?
6

对称,求 ? 的最小值;

,0) ,求 ? 的最小值; 12 (5)若 g ( x) 的图象关于原点对称,求 ? 的最小值; ? 1 (6)若 g ( x) 的图象经过点 M (? , ) ,求 ? 的最小值 4 2 2? ? ? ? 图像与 x 轴交点中,离原点最近的点是 2、函数 y ? 2 sin? 4 x ? 3 ? ?
(4)若 g ( x) 的图象一个对称中心为 ( ? 3、函数 y = sin2 x + a cos2 x 的图象关于直线 x =- A.1 4、函数 y ? 3 sin( 2 x ? (A) x ? 0 5、函数 f ( x) ?

?

; ( )

?

B.- 2

? 对称,则 a 的值为 8 C.-1 D. 2
) (D) x ?

6

) 图象的一条对称轴方程是( 2? 3
(C) x ? ?

(B) x ?

?
6

?
3


1 ? cos( 3x ? ) 的图象的对称轴方程是 2 3

6、函数 y ? 4 sin( 2 x ? (A) (

?

?
12

6

) 的图象的一个对称中心是(

) (D) (

,0 )

(B) (

?
3

,0 )

(C) (?

?
6

,0)

?
6

,0 )

7、设函数 f ( x) = sin(2 x ? ? ) ( ? ? ? ? ? 0 ) , f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? 的值。 8、若函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) 对任意的 x 都有 f ( A 3或0 B -3 或 0

?
8

,求 ?

?
3

? x) ? f (

?

? x) ,则 f ( ) ? ( 3 3
D -3 或 3

?



C 0

【三角函数及其简单应用】
10

1、 设 f ( x ) ? sin( x ? 则 x1 ? x 2 的值为( (A)

?
4

), 若在 x ? [0,2? ) 上关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不等的实根 x1 , x 2 ,
).

? 5? 或 2 2

(B)

? 3? 或 2 2

(C)

3? 2

(D)

2、 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? , ? ? (1)求 f ( x ) 函数解析式; (2)若 x ? [0,8] ,求 f ( x ) 的值域。

? ) , 在其图像上有一个最高点 P (2, 2) , 2

? 2

由此最高点到相邻的最低点间曲线与 x 轴交于点 Q (6,0) 。

?1? 3、函数 y ? cos ?x 的图象与函数 y ? ? ? ? 2?
A.4 4、已知函数 f(x)= B.6 C.8

| x ?1|

(?3 ? x ? 5) 的图象所有交点的横坐标之和等于
D.10 )

sin(2x+ ),其中 x∈R,则下列结论中正确的是(

(A)f(x)是最小正周期为π 的偶函数 (B)f(x)的一条对称轴是 x= (C)f(x)的最大值为 2 (D)将函数 y= sin2x 的图象左移 个单位得到函数 f(x)的图象 5、给出下列四个命题: ①函数 y ? tan x 的图象关于点 (k? ?

?
2

, 0) , k ? Z 对称;

②函数 f ( x) ? sin | x | 是最小正周期为 ? 的周期函数; ③设 ? 为第二象限的角,则 tan

?
2

? cos

?
2

,且 sin

?
2

? cos

?
2



④函数 y ? cos2 x ? sin x 的最小值为 ?1 ,. 其中正确的命题是_____________________.

【向量的基本概念】
1、已知命题正确的个数是 则 a = c ;④a · 若 a 与 b 不共线,则 a 与 b 的夹角为锐角。 b =b · a; ⑤ A.1 B.2 C.3 D.4 2、下面几个有关向量数量积的关系式: ( )

b =0,则 a = 0 或 b = 0 ; ② c =a · c ) ; ③若 a · b =b · c (b≠0), ① 若a· (a · b)· (b ·

0 =0; ②| a · b |≤ a · b; ①0 ·

③a =| a |2 ; ④

2

a ×b a
2

=

2 2 ; b b )2= a · ; ⑤ (a · b ; a

11

⑥ ( a - b )2= a -2 a · b + b 。其中正确的个数是( A.2 B.3 C.4

2

2

) D.5

【三角形的四心】
1、若点 O 是 △ ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ ABC 的内角 C 为__ __;

1 2、若点 G 为 ?ABC 所在的平面内一点,满足 OG ? (OA ? OB ? OC ) ,则点 G 为 ?ABC 的 3
A.内心 B.外心 C.重心 3、若点 O 为 ?ABC 所在的平面内一点,满足 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 )

(OA ? OB) ? BA ? (OB ? OC) ? CB ? (OC ? OA) ? AC ,则点 O 为 ?ABC 的(
D.垂心 4、 已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一点, 动点 P 满足: AP ? ? ( 则动点 P 的轨迹经过 ?ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 5、已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一点,动点 P 满足

AB

| AB | | AC |

?

AC

), ? ? ?0,??? .

D.垂心

uu u r uuu r uu u r uur AB AC ) ? ? ? ? 0? ,则 P 点轨迹一定通过三角形 ABC 的 ? uuu OP ? OA ? ? ( uu u r r AB sin B AC sin C

A.内心 B.外心 C. 重心 D. 垂心 6、已知 O 是平面上的一个定点,A,B,C,是平面上不共线三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (

AB | AB | cos B

?

AC | AC | cos C
C. 重心

), ? ? (0,?? ) ,则动点 P 的轨迹一定通过
D. 垂心

△ABC 的 ( ) A.内心 B.外心

7、已知 O , N , P 在△ ABC 所在的平面内,且 | OA |?| OB |?| OC | , NA ? NB ? NC ? O ,

PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 O , N , P 依次是△ ABC 的
A.重心,外心,垂心 C.外心,重心,垂心 B. 重心,外心,内心 D. 外心,重心,内心

【向量坐标运算】
1、已知向量 a ? ? 2,4 ? , b ? ? ?1,1? ,则 2a ? b ? ( A. ? 5, 7 ? B. ? 5,9 ? ) D. ? 3,9 ? ) C. ? 3,7 ?

? 2、已知向量 a ? (1, 3), b ? (3, m) . 若向量 a, b 的夹角为 6 ,则实数 m ? ( (A) 2 3 (B) 3 (C) 0 (D) ? 3
3、已知向量 OA ? (3, ?4) , OB ? (6, ?3) , OC ? (5 ? m, ?(3 ? m)) , (1)若点 A 、 B 、 C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件;

12

(2)若 ?ABC 为直角三角形,且 ? A 为直角,求实数 m 的值.

→ 4、 .已知两点 A(2,3) ,B(-4,5) ,则与AB共线的单位向量是 ( ) A.e=(-6,2) B.e=(-6,2)或(6,-2) 3 10 10 3 10 10 3 10 10 C.e=(- , ) D.e=(- , )或( ,- ) 10 10 10 10 10 10

【向量的夹角问题】
1.平面向量 a, b ,满足 a ? 1, b ? 4 且满足 a.b ? 2 ,则 a与b 的夹角为 2.已知非零向量 a, b 满足 a ? b , ,则 a与b 的夹角为 b? (b ? 2a) 3.已知平面向量 a, b 满足 (a ? b) .(2a ? b) ? ?4且 a ? 2, b ? 4 且,则 a与b 的夹角为 4.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c ,则 ? a, b ?? 5.已知 a ? 2, b ? 3, a ? b ?

7 , 求a与b的夹角。

6.若非零向量 a, b 满足 a ? b , (2a ? b).b ? 0, 则 a与b 的夹角为 7、平面向量 a ? (1, 2) ,b ? (4, 2) ,c ? ma ? b( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 则 m? . 8、已知向量 a, b 满足: ? a, b ?? 60 ,且 a ? (?2, ?6), b ? 10, a ? b ? _________. 9、 已知 e1 , 的两个单位向量, 则 a =2 e1 + e2 ; ( b =-3 e1 +2 e2 的夹角是 e2 是夹角为 60° A.30° B.60° C.120° D.150° → → → → → → → → 10、已知OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,则OP2,OP3的夹角为_______. 11、已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______ → → → 12、等边△ ABC 的边长为 1,AB= a ,BC= b ,CA= c ,那么 a · b +b · c +c · a 等于
? ?
? ?



【向量共线问题】
1. 已知平面向量 a ? ,平面向量 b ? 若 a ∥ b ,则实数 x (? 2, ? 18 ), (2, 3x) 2. 设向量 a ? 若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, (2, 1 ), b? (2, 3) ? 7) 共线,则 ? ? 已知向量 a ? 若 a ? b与4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是( ) ( 1 , 1 ), b? (2,x) A.-2 B.0 C.1 D.2 4、已知向量OA ? (k ,12), OB ? (4, 5), OC ? (?k ,10),且A,B,C三点共线,k ? _____ 3.

1, 3),B( ? 2, ? 3), C(x, 7) 5.已知 A( ,设 AB ? a , BC ? b 且 a ∥ b ,则 x 的值为 (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18
13

6.已知 a =(1,2) , b =(-3,2)若 k a +2 b 与 2 a -4 b 共线,求实数 k 的值; 7.已知 a , c 是平面内的两个向量,其中 a =(1,2)若 c ? 2 5 ,且 a ∥ c ,求 c 的坐标 8. n 为何值时,向量 a ? 与 b ? (4, n) 共线且方向相同? (n, 1 )

9.已知 a ? 3, b ? (1,2),且 a ∥ b ,求 a 的坐标。 10.已知向量 a ? (2, ?1 ), b? (? 1 ,m) , c ? (?1,2) ,若( a ? b )∥ c ,则 m= 11.已知 a, b 不共线, c ? k a ? b, d ? a ? b ,如果 c ∥ d ,那么 k= 12. 已知向量 a ? ( 1 , 2), b? (? 2,m) , 且 a ∥ b ,则 2a ? 3b ? → → → 13、已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b) ,则 A.A、B、D 三点共线 B.A、B、C 三点共线 C.B、C、D 三点共线 D.A、C、D 三点共线 , c 与 d 的方向关系是





【向量的垂直问题】
1.已知向量 a ? (x, 1 ) , b ? (3,6)且a ? b ,则实数 x 的值为 2.已知向量 a ? ( 1,n), b? (? 1,n),若2a ? b与b垂直,则a ? 3.已知 a =(1,2) , b =(-3,2)若 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂直,求实数 k 的值 4.已知 a ? 2, b ? 4 ,且 a与b 的夹角为

? ,若 k a ? 2b与k a ? 2b垂直,求 k的值 。 3 5.已知 a ? (1,0), b ? (1,1), 求当 ? 为何值时, a ? ? b与a 垂直? ? ) ?m 6.已知单位向量 m和n的夹角为 ,求证:( 2n ? m 3 7.已知 a ? (4, 2) , 求与 a 垂直的单位向量的坐标。
8. 已知向量 a ? (? 3, 2) , b ? (?1,0)且向量? a ? b与a ? 2b垂直,则实数 ?的值为 9. a ? ( 3, 1 ) , b ? (1,3), c ? (k,2),若( a ?c ) ?b ,则k ? 10. a ? ∥b ,c ? (a ? b ),则c ? ___ ( 1 , 2) , b ? (2,?3),若向量 c满足于( c?a )

a ⊥b , 11、 若| a |=| b |=1, 且 2 a +3 b 与 k a -4 b 也互相垂直, 则 k 的值为 A.-6 B.6 C.3 D.-3





11. 若 a 与 b 、c 的夹角都是 60° , 而 b ⊥c , 且| a = b = c =1, 则 ( a -2 c )· ( b + c )=_____.

【投影问题】
1. 已知 a ? 5, b ? 4, , a与b 的夹角 ? ? 2. 在 Rt △ ABC 中, ?C ?

?
2

2? ,则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 3

, AC ? 4, 则 AB. AC ?

3.关于 a.b ? a.c 且 a ? 0 ,有下列几种说法:
14

① a ? (b ? c) ; ② b ? c ;③ a.(b ? c) ? 0

④ b 在 a 方向上的投影等于 c 在 a )

方向上的投影 ;⑤ b ? ? a ;⑥ b ? c 。其中正确的个数是 ( (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个

【向量的模的问题】
1. 已知零向量 a ? (2, 1 ) , a.b ? 10, a ? b ? 5 2,则b ? 2. 已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2, a ? b ? 2,则 a ? b ? 3. 已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?2,0),则 a ? b ? 4.已知向量 a 5. 设 点
2

? (1, sin ? ), b ? (1, cos? ),则 a ? b 的最大值为
M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 ,

BC

? 16, AB ? AC ? AB ? AC , 则 AM ? (
(B) 4 (C) 2


(D) 1

(A) 8

6. 设向量 a , b 满足 a ? b ? 1 及 4a ? 3b ? 3 ,求 3a ? 5b 的值 7. 已知向量 a, b 满足 a

? 2, b ? 5, a.b ? ?3, 求 a ? b 和a ? b

8. 设向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 2, a ? (a ? 2b),则 2a ? b 的值为

? ? ? ? ? ? ? ? a , b | a ? b | ? 10 | a 9、设向量 满足 , ? b |? 6 ,则 a ? b ? (
A.1 B. 2 C. 3 D. 5 10、已知单位向量 e1, e2 的夹角为 ? ,且 cos ? ?



1 , 若 a ? 3e1 ? e2 , 则 a =_______. 3

→ → → → → → 11、若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,则|AB|=________. 12、已知 | p |? 2 2 ,| q |? 3 , p, q 的夹角为 为 BC 的中点,则 | AD | 为( ) .

? ,如图,若 AB ? 5 p ? 2q , AC ? p ? 3q , D 4

A.

15 2

B.

15 2

C.7 D.相等

D.18 ( )

13、当|a|=|b|≠0 且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直

【平面向量基本定理的应用问题】
1.若 a =(1,1) , b =(1,-1) , c =(-1,-2) ,则 c 等于 ( )
15

1 3 a? b 2 2 3 1 (C) a ? b 2 2
(A)

?

1 3 a? b 2 2 3 1 (D) ? a ? b 2 2
(B) ?

2.已知 a ? ( 1 , 0), b? ( 1 , 1 ), c? (? 1 , 0),求?和?的值,使 c ? ? a ? ?b

3.设

e ,e
1

是平面向量的一组基底,则当

2

? ? _____,?
1
2

2

? _____时, ?1 e ? ? 2 e ? 0
1 2

4.下列各组向量中,可以作为基底的是( ) (A) ? (0,0), ? (1,?2) (B) e e e ? (?1,2),e ? (5,7)
1 2 1

(C)

e

1

? (3,5), e ? (6,10)
2

(D)

e

1

? ( 2,?3), e ? (
2

1 3 ,? ) 2 4

5. a ? ( 1 , 1 ), b? (? 1 , 1 ), c? (4, 2),则c ? () (A) 3a ? b (B) 3a ? b (C) ? a ? 3b (D) a ? 3b

【综合运算】
→ 1 → 1、在△ ABC 中,AD= AB,DE∥ BC,与边 AC 相交于点 E,△ ABC 的中线 AM 与 DE 相交于 4 → → → 点 N,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示DN.

2、对于两个向量 a 和 b ,求证:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

3、已知 a 和 b 的夹角为 60° ,| a |=10,| b |=8,求: (1)| a + b |; (2) a + b 与 a 的夹角 θ 的余弦值.

6. 已知 a = 3, b = 2, a 与 b 的夹角为

p , d = ma - 6( b m R) , c = a + 2b 。 3

(1)当 m 为何值时, c ^ d ? (2)当 c 与 d 平行时,求 c + d 。

16


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