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高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.2 导数的应用(1)_图文

高中数学 2.2 导数的应用(一) 考纲点击 1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的 单调性.会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三 次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用 导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三 次). 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1.函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下关 系: (1)如果①__________, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调 递增. (2)如果②__________, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调 递减. (3)如果③__________,那么 f(x)在这个区间内为常数. 2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在 x=a 附近其他 点的函数值都小, f′(a) = 0 ;而且在点 x =a 附近的左侧④ __________,右侧⑤__________,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极 小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的 其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点 x=b 附近的左侧 ⑥__________,右侧⑦________,则点 b 叫做函数 y=f(x)的极 大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点 统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. (3)求函数极值的步骤 第一步,求导数 f′(x); 第二步,求方程⑧__________的根; 第三步,检查 f′(x) 在方程根左右的值的符号,如果⑨ __________ , 那 么 f(x) 在 这 个 根 处 取 极 大 值 ; 如 果 ⑩ __________,那么 f(x)在这个根处取极小值. 答案: ① f′(x) > 0 <0 ② f′(x) < 0 ③ f′(x) = 0 ④ f′(x) ⑨ ⑤f′(x)>0 ⑥f′(x)>0 左正右负 ⑩左负右正 ⑦f′(x)<0 ⑧f′(x)=0 考点自测 1.函数 y=f(x)的图象过原点且它的导函数 g(x)=f′(x)的 图象是如图所示的一条直线,则 y=f(x)图象的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:设 g(x)=f′(x)=kx+b(k<0,b>0),则函数 y=f(x) =ax2+bx+c, ∵f(x)的图象过原点,∴c=0,则 f′(x)=2ax+b,由此可 -b 2 知 a<0,b>0,故 y=ax +bx+c 的顶点坐标 x= 2a >0, 4ac-b2 -b2 y= 4a = 4a >0,故 y=f(x)图象的顶点在第一象限. 答案:A 2.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( ) A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 解析:由题意知 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. 又∵x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0, ∴x>0 时,f(x),g(x)单调递增. ∴x<0 时,f(x),g(x)分别为单调递增,单调递减函数, ∴x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0. 答案:B 3. 设 a∈R, 若函数 y=eax+3x, x∈R 有大于零的极值点, 则( ) A.a>-3 B.a<-3 1 1 C.a>-3 D.a<-3 解析:f′(x)=3+aeax,若函数在 x∈R 上有大于零的极值 点,即 f′(x)=3+aeax=0 有正根.当有 f′(x)=3+aeax=0 成 1 ? 3? 立时,显然有 a<0,此时 x= ln?-a?.由 x>0 知参数 a 的取值 a ? ? 范围为 a<-3. 答案:B 4.函数 y=3x2-2lnx 的单调增区间为__________,单调 减区间为__________. 2 2 6x -2 解析:y′=6x- = , x x ∵函数的定义域 D 为(0,+∞), ? 3 ? 3 ? ∴由 y′>0,得 x> ,∴单调增区间为? ,+∞? ?. 3 3 ? ? ? 3 3? ? 由 y′<0 得 0<x< 3 ,∴单调减区间为?0, ? . ? 3? ? ? 3 ? ? 3? ? ? ? 答案:? ,+∞? ?0, ? 3? ? 3 ? ? ? 5.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 解析:由题意知 f ′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f ′(x)=0 得 x=0 或 x=2,由 f ′(x)>0 得 x<0 或 x>2,由 f′(x)<0 得 0<x<2.∴f(x)在 x=2 处取得极小值. 答案:2 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.导数与函数单调性的关系 (1)导函数 f′(x)>0(或<0)是函数 y=f(x)递增(或递减)的 充分不必要条件.如 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0(只在 x=0 处 f′(x)=0). (2)f(x)单调递增?f′(x)≥0(只在有限个点处 f′(x)=0). f(x)单调递减?f′(x)≤0(只在有限个点处 f′(x)=0). 2.可导函数的极值 (1)极值是一个局部性概念, 一个函数在其定义域内可以有 许多极大值和极小值, 在某一点的极小值也可能大于另一点的 极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系. (2)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内绝不是单 调函数,即在某区间上单调递增或递减的函数没有

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