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内蒙古包头一中2011年高考第一次模拟——数学(理)

内蒙古包头一中 2011 年高考第一次模拟考试

数 学 试 题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.若集合 A = x x ? x ? 2 < 0 , B = ? x
2

{

}

? 2x + 1 ? < 0 ? ,则 A I B 是 ? 3? x ?
B. x 2 < x < 3





A. ? x ? 1 < x < ? 或2 < x < 3?

? ?

1 2

? ?

{

}
1? 2?
( )

C. ? x ?

? ?

1 ? < x < 2? 2 ?

D. ? x ? 1 < x < ? ?

? ?

2.函数 f ( x ) = x | x | +2 x ( x < 0) 的反函数为 A. 1 ? 1 ? x ( x < 0) C. 1 + 1 + x ( x < 0) 3.已知 0 < a < 1 , x = log a 则 A. x > y > z B. 1 + 1 ? x ( x ≥ 0) D. 1 ? 1 + x ( x ≥ 0)

1 2 + log a 3 , y = log a 5 , z = log a 21 ? log a 3 , 2
( ) C. y > x > z D. z > x > y

B. z > y > x

? y + x ? 1 ≤ 0, ? 则 4.已知变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 3 x ? 1 ≤ 0, z = 2 x + y 的最大值为 ? y ? x + 1≥ 0, ?
A. 4 B. 2 C. 1 D. ?4 5.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 9 = 81 ,则 a 2 + a 5 + a8 = A.26 B.27 C.28 D.29









6.已知 a, b 是非零向量且满足 (3a ? b) ⊥ a, ( 4a ? b) ⊥ b ,则 a与b 的夹角是
1





A.

π
6

B.

π
3

C.

2π 3
0

D.

5π 6

BCA=90 ,点 D1 、 F1 分别是 A1B1 、 A1C1 的中 7.如图, A1 B1C1 ? ABC 是直三棱柱, ∠
点,若 BC = CA = CC1 ,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 ( )

A.

30 10

B.

1 2

C.

3 2

D.

15 10

8.为得到函数 y = cos(2 x +

π
3

) 的图像,只需将函数 y = sin 2 x 的图像
B.向左平移 D.向左平移 5π 个长度单位 6 5π 个长度单位 12





A.向右平移
C.向右平移

5π 个长度单位 6 5π 个长度单位 12

9.设地球是半径为 R 的球,地球上 A、B 两地都在北纬 45°的纬线上,A 在东经 20°、B 在东经 110°的经线上,则 A、B 两地的球面距离是 ( ) A.

4 πR 3

B.

2 πR 3

C.

1 πR 3

D.

5 πR 3

10 . y =

2 ? cos x 在点 ( sin x

π
3

, 3) 处的切线与直线

x + ay + 1 = 0 垂直 ,

2

则a为
A. 0 B. ?





3 8

C.

3 8

D. ?

8 3
0

11.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60 的菱形, 则该棱柱的体积等于 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2 ( )

12.已知双曲线

x2 y2 π ? 2 = 1 ( < θ < π ) 的右焦点为 F,P 是右支上任意一点,以 P 2 cos θ sin θ 2


为圆心,PF 长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于 PF ,则 θ 的值为 ( A.

π
6

B.

3π 4
2

C.

5π 6

D.

2π 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 且弦 AB 的长为 2 3 , 13. 设直线 a x-y+3=0 与圆 ( x ? 1 ) + ( y ? 2 ) = 4 相交于 A,B 两点,
2

则a= 14. 若x < 3,则



f (x) =

4 + x 的最大值是 x ?3



15.设等比数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ,若

S6 S = 3, 则 9 = S3 S6
o



16.过抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线,与抛物线分别交 A 、 B 两 点( A 在 y 轴左侧),则

AF FB

=



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 10 分) 求函数 y

= sin 4 x + 2 3 sin x cos x ? cos 4 x 的最小正周期和最小值;并写出该
3

函数在 [0, π ] 上的单调递增区间

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , a
2

+ c2 ? b2 =

1 ac . 2

A+C + cos 2 B 的值; 2 (2)若 b = 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.
(1)求 sin
2

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ⊥ 底面 BCDE ,

BC = 2 , CD = 2 , AB = AC .
(1)证明: AD ⊥ CE ;
4

(2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ,求二面角 C ? AD ? E 的大小.
o

A

B

E

C

D

20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n +1 = 4an + 2( n = 1, 2, 3,LL), a1 = 1. (1)设 bn = an +1 ? 2an ( n = 1, 2,LL), 求证:数列 {bn } 是等比数列; (2)设 cn =

an (n = 1, 2,LL), 求证:数列 {cn } 是等差数列; 2n

(3)求数列 {an } 的通项公式及其前 n 项和.

21.(本小题满分 12 分)

x2 y2 已知方向向量为 v = 1, 3 的直线l过点 0,?2 3 和椭圆C : 2 + 2 = 1 a b

(

)

(

)

(a > b > 0) 的右焦点,且椭圆的离心率为
5

6 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若已知点 D(3,0),点 M,N 是椭圆 C 上不重合的两点,且 DM = λ DN ,求实数 λ 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) =

1 + ln x x
1 ) 上存在极值,求正实数 a 的取值范围; 2
f ( x) ≥ k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x +1

(1)若函数在区间 (a, a +

时,有不等式 (2)当 x ≥ 1
(3)求证:

[(n +1)!]2 > (n +1)en?2 (n ∈ N * )

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 D 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 D 8 C 9 10 A 11 B 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
6

13 0 . 14 -1 15 7/3 . 16 1/3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17.(本小题 10 分)

. .

解 : y = sin 4 x + 2 3 sin x cos x ? cos 4 x = (sin 2 x + cos 2 x)(sin 2 x ? cos 2 x) + 3 sin 2 x = 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin(2 x ? ). 6
1 3 5 6

π

故该函数的最小正周期是 π ;最小值是-2; 单增区间是 [0, π ], [ π , π ] 18.(本小题 12 分)解:(Ⅰ)由余弦定理: cos B =

1 4

sin 2

A+C π B + cos 2 B = sin 2 ( ? ) + 2 cos 2 B ? 1 2 2 2 B = cos 2 + 2 cos 2 B ? 1 2 1 + cos B = + 2 cos 2 B ? 1 2 1 =? 4

( Ⅱ ) 由 cos B =

1 15 , 得 sin B = . w. w. ^w. k . s. 5*u . c . ∵ b = 2 , 、 4 4

a 2 + c2 ? b2 =
∴ a2 + c2 = 故 S ?ABC =

1 ac 2

8 1 1 ac + b 2 = ac + 4 ≥ 2ac ,从而 ac ≤ 2 2 3

1 15 ac sin B ≤ (当且仅当 a = c 时取等号)w.w.^w.k.s.5* 2 3

19.(本小题 12 分)解:(1)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , Q AB = AC ,∴ AF ⊥ BC , 又面 ABC ⊥ 面 BCDE ,∴ AF ⊥ 面 BCDE , ∴ AF ⊥ CE .

tan ∠CED = tan ∠FDC =

2 , 2
7

∴ ∠OED + ∠ODE = 90o ,∴∠DOE = 90o ,即 CE ⊥ DF ,
∴ CE ⊥ 面 ADF ,∴ CE ⊥ AD . (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G . Q CG ⊥ AD , CE ⊥ AD ,∴ AD ⊥ 面 CEG ,∴ EG ⊥ AD , 则 ∠CGE 即为所求二面角的平面角.

CG =

AC CD 2 3 6 30 2 2 = , DG = , EG = DE ? DG = , AD 3 3 3

CE = 6 ,则 cos ∠CGE =

CG 2 + GE 2 ? CE 2 10 =? , 2CG GE 10

? 10 ? ? 10 ? ∴∠CGE = π ? arccos ? ? ,即二面角 C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? ? 10 ? ? 10 ? ? ? ? ? ?
法二:向量法 20.(本小题 12 分)

an = (3n ?1) ? 2n?2
21.(本小题 12 分)

sn = (3n ? 4) ? 2n?1 + 2

A

x y + =1 6 2

2

2

λ ∈ 5 ? 2 6,1 U 1,5 + 2 6

(

) (

)
C

B F O

G

E D

22.(本小题 12 分)

?1 ? a ∈ ? ,1? ?2 ?

k≤2

19 题图

8


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