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大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案


第一学期期末高等数学试卷
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题,总计 80 分) 1、(本小题 5 分)

求极限  lim
2、(本小题 5 分)

x 3 ? 12 x ? 16 x ?2 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12 x ? 4

求?

x dx. (1 ? x 2 ) 2
1 x

3、(本小题 5 分)

求极限 lim arctan x ? arcsin
x ??

4、(本小题 5 分)

求?


x d x. 1? x

5、(本小题 5 分)

6、(本小题 5 分)

d dx

?

x2

0

1 ? t 2 dt.

求 ? cot 6 x ? csc4 x d x.
7、(本小题 5 分)

求 ?1?
?

2

1 1 cos dx . 2 x x

8、(本小题 5 分)

? x ? e t cos t 2 dy ? 设? 确定了函数y ? y ( x ), 求 . 2t dx ? y ? e sin t ?
9、(本小题 5 分)

求? x 1 ? x dx.
0

3

10、(本小题 5 分)

求函数 y ? 4 ? 2 x ? x 2 的单调区间
11、(本小题 5 分)

Y

sin x dx . 0 8 ? sin 2 x 12、(本小题 5 分) 求? 2

?

设 x(t ) ? e ? kt (3 cos?t ? 4 sin ?t ),求dx.
13、(本小题 5 分)

设函数y ? y( x) 由方程y 2 ? ln y 2 ? x 6 所确定, 求
14、(本小题 5 分)

dy . dx

求函数y ? 2e x ? e ? x 的极值
15、(本小题 5 分)

求极限 lim

( x ? 1) 2 ? (2 x ? 1) 2 ? (3x ? 1) 2 ???(10 x ? 1) 2 x ?? (10 x ? 1)(11x ? 1)

16、(本小题 5 分)

第 1 页,共 9 页

求?

cos 2 x d x. 1 ? sin x cos x

二、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 14 分) 1、(本小题 7 分)

某农场需建一个面积为 平方米的矩形的晒谷场 一边可用原来的石条围沿, 512 , 另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时, 才能使材料最省 .
2、(本小题 7 分)

求由曲线y ?

三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

x2 x3 和y ? 所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积. 2 8

设f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3), 证明f ?( x) ? 0有且仅有三个实根.

一学期期末高数考试(答案)
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题,总计 77 分) 1、(本小题 3 分)

3x 2 ? 12 解: 原式 ? lim 2 x ? 2 6 x ? 18 x ? 12 6x     ? lim x ?2 12 x ? 18     ? 2
2、(本小题 3 分)

?

x dx (1 ? x 2 ) 2

1 ? 2

3、(本小题 3 分)

d(1 ? x 2 ) ? (1 ? x 2 ) 2 1 1 ?? ? c. 2 1? x2

因为 arctan x ?
x ??

?
2

而 lim arcsin
x ??

1 ?0 x

故 lim arctan x ? arcsin
4、(本小题 3 分)

1 ?0 x

1? x ?1 dx 1? x dx ? ?? d x ? ? 1? x ? ? x ? ln 1 ? x ? c. ? ??
5、(本小题 3 分)

? 1? x

x

dx

第 2 页,共 9 页



d dx

?

x2

0

1 ? t 2 dt.

原式 ? 2 x 1 ? x 4
6、(本小题 4 分)

? cot x ? csc x d x ? ? ? cot x(1 ? cot
6 4

6

2

x) d(cot x)

7、(本小题 4 分)

1 1 ? ? cot 7 x ? cot 9 x ? c. 7 9
求 ?1?
? 2

1 1 c o s dx . 2 x x
2

1 1 ? 原式 ? ? ?1 cos d ( ) x x ?
1 ? ?s i n x
8、(本小题 4 分)
2

?
1

?

? ?1

? x ? e t cos t 2 dy ? 设? 确定了函数y ? y ( x ), 求 . 2t dx ? y ? e sin t ? dy e 2 t (2 sin t ? cos t ) 解:   ? t dx e (cos t 2 ? 2t sin t 2 )

      ?
9、(本小题 4 分)
3

e t (2 sin t ? cos t ) (cos t 2 ? 2t sin t 2 )

求? x 1 ? x dx.
0

令  1? x ? u

原式 ? 2? (u 4 ? u 2 )du
1

2

10、(本小题 5 分)

u5 u 3 2 ? 2( ? ) 1 5 3 116 ? 15

求函数 y ? 4 ? 2 x ? x 2 的单调区间
解: 函数定义域(??,??)

y ? ? 2 ? 2 x ? 2(1 ? x) 当x ? 1,y ? ? 0 当x ? 1, y ? ? 0函数单调增区间为?? ?,1?

? 当x ? 1,y ? ? 0函数的单调减区间为1,?? ?
求? 2
0 ?

11、(本小题 5 分)

s in x dx . 2 8?s in x

第 3 页,共 9 页

原式 ? ? ? 2
0

?

d cos x 9 ? cos2 x
?

12、(本小题 6 分)

1 3 ? cos x 2 ? ? ln 6 3 ? cos x 0 1 ? ln 2 6

设 x(t ) ? e ? kt (3 cos?t ? 4 sin ?t ),求dx.

解: dx ? x ?(t )dt
  e ? kt ?(4? ? 3k ) cos?t ? (4k ? 3? ) sin ?t ?dt ?
13、(本小题 6 分)

设函数y ? y( x) 由方程y 2 ? ln y 2 ? x 6 所确定, 求

2 yy ? ?
y? ?

2y? ? 6x 5 y

dy . dx

3 yx 5 y2 ? 1

14、(本小题 6 分)

求函数y ? 2e x ? e ? x 的极值

解: 定义域(??, ? ?), 且连续
1 y ? ? 2e ? x ( e 2 x ? ) 2 1 1 驻点:x ? ln 2 2 由于y ?? ? 2e x ? e ? x ? 0 1 1 故函数有极小值, , y( ln ) ? 2 2 2 2
15、(本小题 8 分)

求极限 lim

16、(本小题 10 分)

( x ? 1) 2 ? (2 x ? 1) 2 ? (3x ? 1) 2 ???(10 x ? 1) 2 x ?? (10 x ? 1)(11x ? 1) 1 1 1 1 (1 ? ) 2 ? (2 ? ) 2 ? (3 ? ) 2 ???(10 ? ) 2 x x x x 原式 ? lim x ?? 1 1 (10 ? )(11 ? ) x x 10 ? 11 ? 21 ? 6 ? 10 ? 11 7 ? 2

解: ?

cos 2 x cos 2 x dx ? ? dx 1 ? sin x cos x 1 sin 2 x 1? 2

第 4 页,共 9 页

d ( 1 s i n x ? 1) 2 2 ?? 1? 1 s i n x 2 2 1 ? ln 1 ? sin 2x ? c 2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 13 分) 1、(本小题 5 分)

某农场需建一个面积为 平方米的矩形的晒谷场 一边可用原来的石条围沿, 512 , 另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时, 才能使材料最省 .
设晒谷场宽为x , 则长为 L ? 2x ? 512 米 , 新砌石条围沿的总长为 x

512    ( x ? 0) x 512 L ? ? 2 ? 2    唯一驻点 x ? 16 x 1024 L ?? ? 3 ? 0   即x ? 16为极小值点 x 512 故晒谷场宽为16米 , 长为 ? 32 米时 , 可使新砌石条围沿 16 所用材料最省
2、(本小题 8 分)

求由曲线y ?

x2 x3 和y ? 所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积. 2 8

解:  

x2 x3 ? ,8 x 2 ? 2 x 3  x1 ? 0, x1 ? 4. 2 8 2 4 4? x 4 x x3 2 ? x6 2 V x ? ? ? ?( ) ? ( ) ?d x ? ? ? ( ? )d x 0 0 8 ? 4 64 ? 2
1 1 1 1 7 ? ? ( ? x5 ? ? x ) 4 5 64 7 0 1 1 512 ? ?4 4 ( ? ) ? ? 5 7 35
4

三、解答下列各题 ( 本 大 题 10 分 )

设f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3), 证明f ?( x) ? 0有且仅有三个实根. 证明: f ( x) 在( ??,??) 连续, 可导, 从而在[0,3]; 连续, 可导. 又f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f ( x) 应用罗尔定理得, 至少存在

? 1 ? (0,1), ? 2 ? (1,2), ? 3 ? (2,3) 使f ?(? 1 ) ? f ?(? 2 ) ? f ?(? 3 ) ? 0 即f ?( x) ? 0至少有三个实根, 又f ?( x) ? 0, 是三次方程, 它至多有三个实根,
由上述f ?( x) 有且仅有三个实根

高等数学(上)试题及答案
第 5 页,共 9 页

一、 填空题(每小题 3 分,本题共 15 分)
2

1、 lim (1 ? 3x) x ? ______. 。
x ?0

2、当 k=1

时, f ( x ) ? ?

? x ?e ?x ? k ?
2

x?0 x?0

在 x ? 0 处连续.

3、设 y ? x ? ln x ,则

dx ? ______ dy

x/x+1
y=x+1

4、曲线 y ? e ? x 在点(0,1)处的切线方程是
x

5、若

? f ( x)dx ? sin 2 x ? C , C 为常数,则 f (x) ?
x x

2cos2x



二、 单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分) 1、若函数 f ( x) ? ,则 lim f ( x ) ? ( D )
x ?0

A、0

B、 ? 1

C、1

D、不存在 ) C. cosx ( x ? 0)

2、下列变量中,是无穷小量的为( A. ln

B

1 ( x ? 0? ) x

B. ln x( x ? 1)

D.

x?2 ( x ? 2) x2 ? 4

3、满足方程 f ?( x) ? 0 的 x 是函数 y ? f (x) 的( A.极大值点 B.极小值点

C

) . D.间断点

C.驻点

4、下列无穷积分收敛的是( B )

A、

?

??

0

sin xdx

B、

?

??

0

e ?2 x dx

C、

?

??

0

1 dx x

D、

?

??

1 x

0

dx

5、设空间三点的坐标分别为 M(1,1,1) 、A(2,2,1) 、B(2,1,2) 。则 ?AMB = A、

A

? 3

B、

? 4

C、

? 2

D、 ?

三、 计算题(每小题 7 分,本题共 56 分) 1、求极限

lim

x ?0

4? x ?2 sin 2 x



第 6 页,共 9 页

2、求极限

1 1 lim ( ? x ) x ?0 x e ?1
cos x ?t ? e dt
2

3、求极限

lim

1

x ?0

x2
2

4、设 y ? e ? ln( x ? 1 ? x ) ,求 y ?
5

? x ? ln(1 ? t 2 ) d2y 5、设 f ? y(x) 由已知 ? ,求 dx 2 ? y ? arctan t
6、求不定积分 7、求不定积分

?x
?e

1
2
x

2 sin( ? 3)dx x
c o s dx x

? 1 ?1 ? e x ? 8、设 f ( x ) ? ? ? 1 ?1 ? x ?
四、 应用题(本题 7 分)

x?0
, 求

x?0

?

2

0

f ( x ? 1)dx

求曲线 y ? x 与 x ? y 所围成图形的面积 A 以及 A 饶 y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
2 2

五、 证明题(本题 7 分) 若 f (x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f (0) ? f (1) ? 0 , f ( ) ? 1 ,证明: 在(0,1)内至少有一点 ? ,使 f ?(? ) ? 1 。

1 2

参考答案
一。填空题(每小题 3 分,本题共 15 分) 1、 e
6

2、k =1 .

3、

x 1? x

4、 y ? 1

5、 f ( x) ? 2 cos 2 x

二.单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分) 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A

三.计算题(本题共 56 分,每小题 7 分) 1. 解 :

第 7 页,共 9 页

lim

x ?0

x 1 2x 1 4? x ?2 ? lim ? lim ? x ?0 x ?0 sin 2 x sin 2 x( 4 ? x ? 2) 2 sin 2 x( 4 ? x ? 2) 8
1 1 ex ?1? x ex ?1 ex 1 ? x ) ? lim ? lim x ? lim x ? x ?0 x (e x ? 1) x ?0 e ? 1 ? xe x x ?0 e ? e x ? xe x x e ?1 2
cos x

2.解 : lim (
x ?0

?e
1

?t 2

dt

3、解:

lim

x ?0

x

2

? sin xe ? cos ? lim x ?0 2x
(1 ? 1 1? x2

2

x

??

1 2e
1 1? x2

4、解:

y? ?

1 x ? 1? x2

)

?

1 dy 1 ? t 2 1 5、解: ? ? 2t dx 2t 2 1? t
d 2 y d dy ? ( ) dx 2 dt dx ? 1 2t 2 1? t2 4t 3

dx

dt

?

2t 1? t2

??

6、解:

?x

1
2

2 1 2 2 1 2 sin( ? 3)dx ? ? ? sin( ? 3)d ( ? 3) ? cos( ? 3) ? C x 2 x 3 2 x

7、 解:

?e

x

cos xdx ? ? cos xde x ? e x cos x ? ? e x sinxdx ? e x cos x ? ? sin xdex ? e x cos x ? e x sin x ? ? e x cos xdx

? e x (sin x ? cos x ) ? C
8、解:

?

2

0

f ( x ? 1)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx …
?1 ?1 0

1

0

1

??

1 dx dx ?? x ?1 1 ? e 0 1? x 0

? ? (1 ?
?1

0

ex 1 )dx ? ln(1 ? x ) 0 x 1? e
0 ?1

? 1 ? ln(1 ? e x )

? ln 2

第 8 页,共 9 页

? 1 ? ln(1 ? e ?1 ) ? ln(1 ? e)
四. 应用题(本题 7 分)
2 2

解:曲线 y ? x 与 x ? y 的交点为(1,1) , 于是曲线 y ? x 与 x ? y 所围成图形的面积 A 为
2 2
1 3

2 1 1 A ? ? ( x ? x )dx ? [ x 2 ? x 2 ]1 ? 0 3 3 3 0
2

A 绕 y 轴旋转所产生的旋转体的体积为:

? y2 y5 ? 3 V ? ? ? ( y ) ? y dy ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 0 10 ? 2 0
1 2 4

?

?

1

五、证明题(本题 7 分) 证明: 设 F ( x) ? f ( x) ? x ,

显然 F (x ) 在 [ ,1] 上连续,在 ( ,1) 内可导,

1 2

1 2



1 1 F ( ) ? ? 0 , F (1) ? ?1 ? 0 . 2 2
1 2

由零点定理知存在 x1 ? [ ,1] ,使 F ( x1 ) ? 0 . 由 F (0) ? 0 ,在 [0, x1 ] 上应用罗尔定理知,至少存在一点

? ? (0, x1 ) ? (0,1) ,使 F ?(? ) ? f ?(? ) ? 1 ? 0 ,即 f ?(? ) ? 1 …

第 9 页,共 9 页


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