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新人教A版必修五山东省临清市高中数学教学案 2.2等差数列


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临清市第二中学 数学 编写人:李其智 审稿人:马英济 2.2.1 等差数列导学案 一、课前预习: 1、预习目标: ①通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式; ②能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; ③体会等差数列与一次函数的关系。 2、预习内容: (1) 、等差数列的定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的差等 于同一个 ,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的 , 通 常用字母 d 表示。 (2) 、等差中项:若三个数 a, A, b 组成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 即2A ? 或A? 。 时, 。 ,

(3) 、等差数列的单调性:等差数列的公差 时,数列为递增数列; 数列为递减数列; 时,数列为常数列;等差数列不可能是 (4) 、等差数列的通项公式:

an ?



二、课内探究学案 例 1、1、求等差数列 8、5、2… …的第 20 项 解:由 a1 ? 8

d ? 5 ? 8 ? ?3

n ? 20 得:

a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49
2、 ? 401 是不是等差数列 ? 5 、 ? 9 、 ? 13 … …的项?如果是,是第几项? 解:由 a1 ? ?5

d ? ?9 ? (?5) ? ?4 得 an ? ?5 ? 4(n ? 1) ? ?4n ? 1

由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得:

? 401 ? 4n ? 1 成立
解得: n ? 100 即 ? 401 是这个数列的第 100 项。 例 2、某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4km)计 费为 10 元, 如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地, 且一路畅通, 等候时间为 0, 需要支付多少车费? 分析:可以抽象为等差数列的数学模型。4km 处的车费记为: a1 ? 11.2 当出租车行至目的地即 14km 处时,n=11 求 a11 所以: a11 ? 11.2 ? (11? 1) ? 1.2 ? 23.2
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公差 d ? 1.2

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例 3:数列

an ? 3n ? 5 是等差数列吗? an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 为常数,这个数列是等

变式练习:已知数列{

差数列吗?若是,首项和公差分别是多少? (指定学生求解) 解:取数列{

an }中任意两项 an 和 a n?1 (n ? 2)

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? ? p(n ? 1) ? q? ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p
它是一个与 n 无关的常数,所以{ 并且: a1 ? p ? q 三、课后练习与提高 在等差数列

an }是等差数列?

d?p

?an ?中,

a 已知 a1 ? 2, d ? 3, n ? 10, 求 n =
已知 已知

a1 ? 3, an ? 21, d ? 2, 求 n ? a1 ? 12, a6 ? 27, 求 d ?

1 d ? ? , a 7 ? 8, 3 已知 求 a1 ?

a?
2、已知

1 3? 2

,b ?

1 3 ? 2 ,则 a , b 的等差中项为(


1
A 3 B 2 C

1
D

3

2

3、2000 是等差数列 4,6,8…的( ) A 第 998 项 B 第 999 项 C 第 1001 项 D 第 1000 项 4、在等差数列 40,37,34,…中第一个负数项是( ) A 第 13 项 B 第 14 项 C 第 15 项 D 第 16 项 5、在等差数列

?an ?中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于(



A 10 B 42 C43 D45 6、等差数列-3,1, 5…的第 15 项的值为

?a ? a1 ? 25 , d ? 0 且从第 10 项开始每项都大于 1,则此等差数列公差 d 7、等差数列 n 中,
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1

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的取值范围是 8、在等差数列

?an ?中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31, ,求首项 a1 与公差 d

9、在公差不为零的等差数列 公式。

?an ?中, a1 , a 2 为方程 x 2 ? a3 x ? a4 ? 0 的跟,求 ?an ?的通项

10、数列 判断数列 求数列

?an ?满足

a1 ? 4, a n ? 4 ?

4 a n ?1

(n ? 2),
,设

bn ?

1 an ? 2

?bn ?是等差数列吗?试证明。

?an ?的通项公式

11、数列

?an ?满足 an?1 ? 3an ? n(n ? N * ) ,问是否存在适当的 a1

,使是等差数列?

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b1 ?
(2)

1 1 1 1 n ? bn ? ? ?n ? 1? ? ? a1 ? 2 2 , 2 2 2
? an ? 2?n ? 1? n

?

n 1 ? 2 an ? 2

注:有学生在解本题第二问的时候,通过已知条件写出数列

?an ? 的前几项,然后猜想通项

公式,由于猜想的公式需要证明,所以这种解法在现阶段是有问题的。 11、解:假设存在这样的 a1 满足题目条件。

an?2 ? 3an?1 ? n ? 1(n ? N * )
由已知

? an?2 ? an?1 ? 2an?1 ? n ? 1

an?1 ? 3an ? n(n ? N * ) 可得 an?1 ? an ? 2an ? n


? an?2 ? an?1 ? an?1 ? an
? a n ?1 ? a n ? ?

2an?1 ? n ? 1 ? 2an ? n

1 2 ,满足等差数列的定义,故假设是正确的。即存在适当的 a1 的值使数列 1

?an ?为公差为 ? 2 的等差数列。
由已知条件

an?1 ? 3an ? n ,令 n ? 1
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? a2 ? 3a1 ? 1



a1 ?

1 3 ? 3a1 ? 1 a1 ? ? 2 4。 ,解得

2.2.2 等差数列的性质教案 临清市第二中学 数学 编写人:李其智 审稿人:马英济 一、教学目标: 知识与技能:明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通 过通项公式与图像认识等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法:通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差 数列通项公式的运用,渗透方程思想。 情感态度与价值观:通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系, 从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。 二、教学重点、难点: 重点:等差数列的性质及推导。 难点:等差数列的性质及应用。 三、新课讲解: 等差数列的常见性质:若数列 ①

?an ?为等差数列,且公差为 d ,则此数列具有以下性质:

an ? am ? ?n ? m?d ;
d? a n ? a1 a n ? a m ? n ?1 n?m ;



* a ? an ? a p ? aq ③若 m ? n ? p ? q ( m, n, p, q ? N ) ,则 m ;



2an ? an?m ? an?m 。

证明: ①左边=

an ? a1 ? ?n ? 1?d ,右边= a1 ? ?m ? 1?d ? ?n ? m?d ? a1 ? ?n ? 1?d ? 左边
d? a n ? a1 a ? am d? n ? ? a ? a ? n ? m d m n ? 1 ;由 n n?m 可得

a ? a1 ? ?n ? 1?d 可得 ②由 n

③左边 ? a1 ? ?m ? 1?d ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2a1 ? ?m ? n ? 2?d 右边 ? a1 ? ? p ? 1?d ? a1 ? ?q ? 1?d ? 2a1 ? ? p ? q ? 2?d 又因为 m ? n ? p ? q ,所以左边=右边,故得证。 ④左边 ? 2?a1 ? ?n ? 1?d ? 右边 ? a1 ? ?n ? m ? 1?d ? a1 ? ?n ? m ? 1?d ? 2a1 ? ?2n ? 2?d ? 2?a1 ? ?n ? 1?d ? =左边 等差数列的其它性质:
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① 即

?an ?为有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? ai ?1 ? an?i ? ? 。

②下标成等差数列且公差为 m 的项 数列。 ③若数列

ak , ak ?m , ak ?2m ,? k , m ? N * 组成公差为 md 的等差

?

?

?an ?和 ?bn ?均为等差数列,则 ?an ? bn ?, ?kan ? b?( k , b 为非零常数)也为等差数

列。 ④ m 个等差数列,它们的各对应项之和构成一个新的等差数列,且公差为原来 m 个等差数 列的公差之和。 四、例题讲解: 例 1、已知

?an ?是等差数列, a2 ? 5, a8 ? 17 ,求数列的公差及通项公式。

Key :d=2,an=2n+1

【变式】已知 (1)已知: (2)已知:

?an ?是等差数列,

a15 ? 8, a60 ? 20,求 a75 a15 ? 33, a45 ? 153,求 a61 。

Key(1)

a75 =24(2) a61 =185

例 2、已知

?an ?是等差数列,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450,求 a2 ? a8 。

Key:

a 2 ? a8 =180

【变式 1】在等差数列 A. 40 Key :B B. 42

?an ?中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于
C. 43 D. 45





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a1 ? , a2 ? a5 ? 4, an ? 33, 则n ?a ? 3 【变式 2】等差数列 n 中,已知 为(
A. 48 Key :C 【变式 3】已知等差数列 A.15 Key :A B.30 B. 49 C. 50 D. 51

1



?an ?中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1,则 a12 的值为
D.64





C.31

五、小结: 本节课的主要内容是等差数列的性质, 对这些性质我们应当熟练掌握, 并能够在解题过程中 灵活的运用,以便简化解题过程。 2.2.2 等差数列的性质导学案 临清市第二中学 数学 编写人:李其智 审稿人:马英济 一、课前预习: 等差数列的常见性质:若数列 ①

?an ?为等差数列,且公差为 d ,则此数列具有以下性质:

an ? am ? ?n ? m?d ;
d? a n ? a1 a n ? a m ? n ?1 n?m ;



* a ? an ? a p ? aq ③若 m ? n ? p ? q ( m, n, p, q ? N ) ,则 m ;



2an ? an?m ? an?m

用等差数列的定义证明:

二 、课内探究: 1、等差数列的其它性质: ① 即

?an ?为有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? ai ?1 ? an?i ? ? 。

②下标成等差数列且公差为 m 的项 数列。 ③若数列 列。

ak , ak ?m , ak ?2m ,? k , m ? N * 组成公差为 md 的等差

?

?

?an ?和 ?bn ?均为等差数列,则 ?an ? bn ?, ?kan ? b?( k , b 为非零常数)也为等差数

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④ m 个等差数列,它们的各对应项之和构成一个新的等差数列,且公差为原来 m 个等差数 列的公差之和。

2、典例分析: 例 1、已知

?an ?是等差数列, a2 ? 5, a8 ? 17 ,求数列的公差及通项公式。

Key :d=2,an=2n+1

【变式】已知 (1)已知: (2)已知:

?an ?是等差数列,

a15 ? 8, a60 ? 20,求 a75 a15 ? 33, a45 ? 153,求 a61 。

Key(1)

a75 =24(2) a61 =185

例 2、已知

?an ?是等差数列,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450,求 a2 ? a8 。

Key:

a 2 ? a8 =180

【变式 1】在等差数列 A. 40 Key :B B. 42

?an ?中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于
C. 43 D. 45





1 a1 ? , a2 ? a5 ? 4, an ? 33, 则n ?a ? 3 【变式 2】等差数列 n 中,已知 为(
A. 48 Key :C B. 49 C. 50 D. 51



【变式 3】已知等差数列 A.15 Key :A B.30

?an ?中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1,则 a12 的值为
D.64





C.31

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三、课后提高: 1、 已知等差数列

?b ? ?an ? 中,a2 ? 6 ,a5 ? 15 , b ? a2n , 若 n 则数列 n 的前 5 项和等于 (



A.30 B.45 C.90 D.186 2、已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = ____________ 3、三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数. .

4、已知 a、b、c 成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b 也成等差数列. 答案

?a2 ? a1 ? d ? 6 ?a ? 3 ?? 1 ? a ? a1 ? 4d ? 15 ?d ? 3 ? an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n, bn ? a2n ? 6n, 1、 【解析】由 ? 5 ,
S5 ? 6 ? 30 ? 5 ? 90. 2 【答案】 C

所以

2、 【标准答案】 :15 【试题解析】 :由于

?an ? 为等差数列,故 a3 ? a8 ? a5 ? a6 ∴ a5 ? a3 ? a8 ? a6 ? 22 ? 7 ? 15

3、解 设三个数分别为 x-d,x,x+d.

?(x-d) +x+ (x+d) = 15 则? 2 2 2 ?(x-d) +x + (x+d) = 83
解得 x=5,d=±2 ∴ 所求三个数为 3、5、7 或 7、5、3 说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法 4、证 ∵a、b、c 成等差数列 ∴2b=a+c ∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c =a+(a+c)+c =2(a+c) ∴b+c、c+a、a+b 成等差数列. 说明 如果 a、b、c 成等差数列,常化成 2b=a+c 的形式去运用;反之,如果求证 a、b、 c 成等差数列,常改证 2b=a+c.

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