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2018届苏教版空间向量与立体几何单元测试1

1.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 1,设 =a, =b, =c,则 (1) (2) · · =________;cos〈 =________. , 〉=________; 2.设{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,a=3e1+2e2-e3,b=-2e1+4e2+2e3,则向 量 a,b 的坐标分别是________. 3.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2).若 a∥b.则 λ=________,μ=________. 4.在以下命题中,不正确的个数为________. ①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; ②对 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb; ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 四点共面; ④|(a· b)· c|=|a|· |b|· |c|. 5.若直线 l 的方向向量 a=(-2,3,1),平面 α 的一个法向量 n=(4,0,8),则直线 l 与平面 α 的 位置关系是________. 6. 已知空间向量 a ,b ,c 满足 a + b + c = 0 , |a|= 3 , |b|= 1 , |c|= 4 ,则 a·b +b·c +c·a 的值为 ________. 7.已知 e1,e2,e3 是不共面向量,若 a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+ 2e2+3e3,又 d=αa+βb+γc,则 α,β,γ 分别为________. =2 -2 - ,则 P,A,B,C 8.已知 a,b 是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= ,则 cos〈a,b〉=________. 9.三棱锥 P-ABC 中,∠ABC 为直角,PB⊥平面 ABC,AB=BC=PB=1,M 为 PC 的中点,N 为 AC 中点,以{ 10.已知|a|=1,|b|= , , }为基底,则 的坐标为________. ,且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为________. 11.判断下列说法是否正确。 若三条直线两两平行,则这三条直线必共面 12.在平面直角坐标系中,求与 A(1,1)关于原点对称的点的坐标。 13.如下图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,EF∥AB,AB=2EF,H 为 BC 的中 点.求证:FH∥平面 EDB. 14.在正棱锥 P—ABC 中,三条侧棱两两垂直,G 是△ PAB 的重心,E,F 分别为 BC,PB 上的点, 且 BE∶EC=PF∶FB=1∶2. 求证:(1)平面 GEF⊥平面 PBC; (2)EG⊥BC,PG⊥EG. 15.等边△ ABC 中,D,E 分别是 AC,AB 的中点,沿 DE 将△ ADE 折起,使平面 ADE⊥平面 BCDE(如下图所示). (1)求证:平面 ABC⊥平面 ABE; (2)求直线 AC 与平面 ABE 所成角的正弦值. 16.怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小? 17.正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长为 (1)设侧棱长为 1,求证:AB1⊥BC1; (2)设 AB1 与 BC1 的夹角为 ,求侧棱的长. . 18.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1. 19.如下图,在四棱锥 E-ABCD 中,AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE,AB=BC=CE=2CD= 2,∠BCE=120° . 求证:平面 ADE⊥平面 ABE. 20.如下图所示, 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为 AB 和 BC 的中点,试在棱 B1B 上找一点 M,使得 为平面 EFB1 的法向量. 答案解析 1.【答案】(1)1, 【解析】(1) | | · (2)1 (a-b+c)=a2+c2+2a· =(a+b+c)· c-b2=1, |= |= , , |2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a· b+2a· c+2b· c=3,∴| |2=(a-b+c)2=a2+b2+c2-2a· b+2a· c-2b· c=3,∴| , 〉= = , ∴cos〈 (2) · =(b+c-a)· b=|b|2+b· c-b· a=1. 2.【答案】a=(3,2,-1),b=(-2,4,2) 【解析】由向量坐标的定义可知 3.【答案】5, 【解析】由 2μ-1=0,得 μ= ;由 4.【答案】4 【解析】①|a|-|b|=|a+b|?a 与 b 的夹角为 π,故是充分不必要条件,故不正确;②b 需为非零向 量,故不正确;③因为 2-2-1≠1,由共面向量定理知,不正确;④由向量的数量积的性质知,不 正确. 5.【答案】l?α 或 l∥α 【解析】∵a· n=(-2)×4+3×0+8×1=0,∴a⊥n,∴l?α,或 l∥α. 6.【答案】-13 【解析】∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0, ∴a·b+b·c+c·a=- =-13. = ,得 λ=5. 7.【答案】 -1 - 【解析】d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β- γ)e2+(α-β+γ)e3,又因为 d=e1+2e2+3e3,e1,e2,e3 不共面, ∴ ,解得 . 8.【答案】 【解析】将|a-b|= 化为(a-b)2=7,求得 a· b= ,再由 a· b=|a||b|cos〈a,b〉求得 cos〈a, b〉= . 9.【答案】 【解析】 = - = ( + )- ( + )= - , 即 = . 10.【答案】45° 【解析】∵a-b 与 a 垂直,∴(a-b)· a=0,

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