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大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. 设f ( x) ? cos x( x ? sinx ),则在x ? 0处有( (A) f ?(0) ? 2 (B) f ?(0) ? 1 (C) f ?(0) ? 0 1? x 设? ( x ) ? ,? ( x ) ? 3 ? 33 x,则当x ? 1时(   ) 1 ? x 2. . (A) ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B) ? ( x)与? ( x) 是等价无穷小; (C) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小; (D) ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的 无穷小.   ). (D) f ( x ) 不可导. 3. 若 F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt 0 x , 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (?1,1) 二 阶 可 导 且 f ?( x ) ? 0 ,则( ). (A)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值; (B)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值; (C)函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点; (D) 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值, 点 (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。 4. 设f ( x )是连续函数,且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? ( 0 1 ) x2 (A) 2 x2 ?2 ( B) 2 (C) x ? 1 2 sin x (D) x ? 2 . 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 5. 6. 7. lim (1 ? 3 x ) x ?0 ? . 已知 cos x 是 f ( x ) 的一个原函数, x . 则? f ( x ) ? cos x dx ? x n ?? 1 2 lim ? n (cos 2 ? n ? cos 2 2? ? n ? cos 2 n ?1 ?) ? n . 8. . 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) x? y 9. 设函数 y ? y( x ) 由方程 e ? sin( xy ) ? 1确定,求 y?( x ) 以及 y ?(0) . 1 ? x7 求? dx . x(1 ? x 7 ) 10. 1 - 2 ? x 2 arcsi nx ? 1 1 ? x2 dx ? ?x ? 1 ? xe ,  x ? 0 设f ( x ) ? ?  求 ? f ( x )dx . ?3 2 ? 2 x ? x , 0 ? x ? 1 ? 11. 0 12. 设函数 f ( x ) 连续, , 且 x ?0 g?( x ) 并讨论 g?( x ) 在 x ? 0 处的连续性. g ( x ) ? ? f ( xt )dt 1 lim f ( x) ?A x ,A 为常数. 求 13. 求微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足 y (1) ? ? 1 9 的解. 四、 解答题(本大题 10 分) 14. 已知上半平面内一曲线 y ? y( x ) ( x ? 0) ,过点 (0,1) ,且曲线上任一点 M ( x0 , y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成 面积的 2 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题 10 分) 15. 过坐标原点作曲线 y ? l n x 的切线,该切线与曲线 y ? l n x 及 x 轴围 成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 16. 设 函 数 f ( x ) 在 ?0,1? 上 连 续 且 单 调 递 减 , 证 明 对 任 意 的 q ?[0, 1] , ? f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx 0 0 q 1 . ? 17. 设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ?上连续, 且0 F ( x) ? 示:设 ? f ( x) d x ? 0 ,0 ? ? f ( x ) cos x dx ? 0 . 证明: 在 ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ,使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0.(提 ? f ( x )dx 0 x ) 解答 一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) ? ? 1 cos x 2  ( ) ?c 6 e 3 2 . 8. 5. . 6. 2 x .7. 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) 9. 解:方程两边求导 ?? e x ? y ( 1? y? ? ) c oxy s ( xy) (y ? ) 0 . e x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 , y?(0) ? ?1 y?( x ) ? ? 7 7 x 6dx ? du 10. 解: u ? x    1 (1 ? u) 1 1 2 原式 ? ? du ? ? ( ? )du 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2 ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 7 11. 解: ?

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