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河北省衡水中学2012届高三第一次模拟考试数学文试题


2011—2012 学年度下学期第一次模拟考试高三数学(文 科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 共 120 分钟 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正 确答案的序号填涂在答题卡上) 2 1、设集合U ? {1,2,3,4} , M ? {x | x ? 5 x ? p ? 0} ,若 CU M ? {2,3} ,则实数 p 的值为( )
A. ? 6 B. ? 4 C. 4 D. 6 ) D.2

2、已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为( A. ?2 B. ?1
*

C.0

3、已知数列 {an } ,若点 (n, an )(n ? N ) 在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列 {an } 的前 9 项和

S 9 =(

) A.9 B.10 C.18 D.27

4、某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相 关人员中抽取若干人组成调查小组,相关数据见下表: 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 则调查小组的总人数为( A.84 C.81 35 a 28 ) B.12 D.14 ) B.44 D.46 是函数 f ( x) ? 抽取人数 b 3 4

5、某程序框图如右图所示,则输出的结果是( A.43 C.45 6、若 x ?

?
6

3 sin ? x ? cos ? x 图象的一条对称轴,
) B. f ( x) 在 ( ?

当 ? 取最小正数时( A. f ( x) 在 (0,

?
6

) 单调递增

?

, ? ) 单调递减 3 6

?

C. f ( x) 在 ( ? 7、函数 y ?

?

6 ln x

, 0) 单调递减
的图象大致是(

D. f ( x) 在 ( )

? ?

, ) 单调递增 6 3

x

8、已知函数 f ( x) ? log 2 x 与函数 g ( x) 的图像关于 y ? x 对称且有 g (a) g (b) ? 16 ,若

4 1 a ? 0, b ? 0 ,则 ? 的最小值为( a b 9 A.9 B. 4
9、 已知点 P 是双曲线

) C.4 D.5

x2 y2 右焦点, ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 右支上一点,F1 , F2 分别是双曲线的左、 a2 b2

I 为 ?PF1 F2 的内心,若 A.4 B.

S ?IPF1 ? S ?IPF 2 ?
5 2
C.2

1 S ?IF1F2 成立,则双曲线的离心率为( 2
D.



5 3

10、一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为 的体积是( A. 96 ? ) B. 16 ? C. 24 ? D. 48 ?

?? ? ,那么该三棱柱 ?

11、如下图,给定两个平面向量 OA和OB ,它们的夹角为 120? ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上, 且 OC ? xOA ? yOB (其中 x, y ? R ) ,则满足 x ? y ? A. 2 ? 1 C. B. D.

??? ??? ? ?

????

??? ?

??? ?

2 的概率为(



? 4

? 3
?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ? 2 ?1? | x ? 3 |, x ? [1, ??) ?
) D. 1 ? 2
?a

3 4

12、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 函数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) A. 2 ? 1
a

,则关于 x 的

的所有零点之和为( C. 2
?a

B. 1 ? 2

a

?1

第Ⅱ卷

非选择题 (共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
1 1 1 ? ? ??? ? a a2 an 13、已知正数数列 ?an ? ( n ? N ? )定义其“调和均数倒数” Vn ? 1 ( n ? N? ) ,那 n

么当 Vn ?

n ?1 时, a 2012 =_______________. 2

?x ? 1 ? 14、若变量 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 w ? log3 (2 x ? y) 的最大值是________ ?3 x ? 2 y ? 15 ?
15、一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视图都是半径为1 的圆,且这个几何 体是球体的一部分,则这个几何体的表面积为 .

16、以下正确命题的序号为__________ ①命题“存在 x0 ? R, 2 0 ? 0 ”的否定是: “不存在 x0 ? R, 2
x x0

? 0” ;

②函数 f ( x ) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;
x

1

1 4

1 1 4 3

③若函数 f ( x) 满足 f ( ) ? 且 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,则 f (1) ? f (2) ? … ? f (10) =1023; 1 1 ④函数 f ( x) ? e
?x

? e x 切线斜率的最大值是 2.

三.解答题 17、 (满分 12 分)阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②

由①+② 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ------③

A? B A? B ,? ? 2 2 A? B A? B 代入③得 sin A ? sin B ? 2sin . cos 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B ? ?2sin

A? B A? B ; sin 2 2

(Ⅱ)若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cos 2A ? cos 2 ? 1 cos C ,试判断 ?ABC 的形 B ? 2 状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

P

18、 (满分 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°, ∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中 点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V;
A F D E

(Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF;
B C

19、 (满分 12 分)某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异,从 2011 级的年龄在 18?19 岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各 10 名,测量他们的身高,量出的 身高如下: (单位:cm) 南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163; 北方:183,173,169,163,179,171,157,175,178,166; (Ⅰ)根据抽测结果,画出茎叶图,并根据你画的茎叶图,对来自南方和北方的大学生的身高 作比较,写出两个统计结论; (Ⅱ)若将样本频率视为总体的概率,现从来自南方的身高不低于 170 的大学生中随机抽取 3

名同学,求其中恰有两名同学的身高低于 175 的概率。

20、 (满分 12 分)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

3 1 x2 y 2 ,且过点 ( 3, ) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 2 a b 2

(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,若以 AB 为直径的圆 D 经过坐标原点. 证明:圆 D 的半径为定值.

21、 (满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+lnx,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (Ⅰ) 当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (Ⅱ) 若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (Ⅲ) 当 a=-1 时,试推断方程 f ( x) =

ln x 1 ? 是否有实数解. x 2

选做题(本题满分 10 分,请考生在第 22、23、24 三题中任选择一题作答,如果多做,则按所做 的第一题记分) 22、选修 4-1:几何证明选讲 如图, ? O1与 ? O2 相交于 A、B 两点,AB 是 ? O2 的直径,过 A 点作 ? O1 的切线交 ? O2 于点 E, 并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与 ? O1 、 ? O2 交于 C,D 两点。 求证:(Ⅰ)PA·PD=PE·PC; (Ⅱ)AD=AE。

23、选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 L : ? sin 2 ? ? 2 cos ? ,过点 A(5,α ) (α 为锐角且 tan ? ?

??

?
4

3 )作平行于 4

( ? ? R) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点。

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写 出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)求|BC|的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 1|? log 2 a (其中 a ? 0 ) 。 (Ⅰ)当 a=4 时,求不等式的解集; (Ⅱ)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。

第一次模拟考试文科数学答案: CDDAC 13、 CABCB BB 14、2 15. 4? 16、②③

1 2012

17、解法一:(Ⅰ)证明:因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ?sin ? sin ? ,------①

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,------②???????????1 分
①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? .------③????????????2 分

A? B A? B , ,? ? 2 2 A? B A? B 代入③得 cos A ? cos B ? ?2sin .???????????????5 sin 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? 分 (Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2B ? 1 ? cos 2C 可化为

1 ? 2sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 B ? 1 ?1 ? 2sin 2 C ,?????????????????8 分
所以 sin A ? sin C ? sin B .?????????????????9 分
2 2 2

设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 由正弦定理可得 a ? c ? b .????????????????11 分
2 2 2

根据勾股定理的逆定理知 ?ABC 为直角三角形.?????????????????12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2B ? 1 ? cos 2C 可化为

?2sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 C ,?????????????????8
分 因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , 所以 ? sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? ? sin
2

? A ? B? .

又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 sin ? A ? B ? ? 0 , 所以 sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? ? 0 . 从而 2sin A cos B ? 0 .?????????????????9 分 又 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,故 ?B ?

?
2

.?????????????????11 分

所以 ?ABC 为直角三角形. ?????????????????12 分 18、 (Ⅰ)在 Rt△ABC 中,AB=1, ∠BAC=60°,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2 3 ,AD=4. 1 1 ∴SABCD= AB ? BC ? AC ? CD 2 2 1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 .?????? 3 分 2 2 2

1 5 5 则 V= ? ?????? 5 分 3?2 ? 3. 3 2 3 (Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ?????? 7 分 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ??? 11 分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF.?? 12 分 19、解:(1)茎叶图如下:

P

E F A M B C D

南方

北方

3 0 18 1 3 5 8 9 6 5 1 0 17 3分 9 6 3 2 16 3 6 9 7 8 15 统计结论: (给出下列四个供参考,考生只要答对其中两个即给满分,给出其他合进的答案也 给分) ? 北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高; ?南方大学生的身高比北方大学的身高更整齐; ?南方大学生的身高的中位数为 169.5cm,北方大学生的身高的中位数为 172cm;?南方大学 生的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,北方大学生的高度分布较为分散. 6分 (2) 南方大学生身高不低于 170 的有 170, 180,175,171,176,从中抽取 3 个相当于从中抽取 2 个,共有 10 种抽法,低于 175 的只有 2 个,所以共有 3 种,概率为

3 10
?????2 分

20、解:(Ⅰ)?

c 3 3 1 ? ,? c 2 ? a 2 , 又 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ,? b 2 ? a 2 a 2 4 4

x2 y2 1? ? ? ? 1, 代点? 3, ?得a 2 ? 4 2 1 2 2? a ? a 4 x2 ? b 2 ? 1, 所以椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 4 ? 方程为
(Ⅱ)证明:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?

??????????5 分

(1)当AB的斜率不存在时, 则由椭圆的对称性知x1 ? x2 , y1 ? ? y 2
?以AB为直径的圆经过原点, OA ? OB ? 0, 即x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ?
? x12 ? y12 ? 0代入椭圆标准方程中得 x1 ?
2 5 5

2 5 , 5
??????????????9 分

此时 0 到 AB 的距离为

(2)当AB的斜率为零时, 则由椭圆的对称性知x1 ? ? x2 , y1 ? y 2
同理可求得 y1 ?

2 5 5
2 5 5
????????????12 分

综上所述,圆 D 的半径为定值

21、 【答案】解:(1) 当 a=-1 时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+

1 1? x ? x x

当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数 f ( x) max =f(1)=-1?????????3 分 (2) ∵f′(x)=a+

1 1 ?1 ? ,x∈(0,e] , ∈ ? , ?? ? x x ?e ? 1 ① 若 a≥ ? ,则 f′(x)≥0,从而 f(x)在(0,e]上增函数 e ∴ f ( x) max =f(e)=ae+1≥0.不合题意?????????????4 分 1 1 1 ② 若 a< ? ,则由 f′(x)>0 ? a ? >0,即 0<x< ? e x a 1 1 由 f(x)<0 ? a ? <0,即 ? <x≤e. x a 1? ? ? 1 ? 从而 f(x)在 ? 0, ? ? 上增函数,在 ? ? , e ? 为减函数 a? ? ? a ? ? 1? ? 1? ∴ f ( x) max =f ? ? ? =-1+ln ? ? ? ???????????????6 分 ? a? ? a? ? 1? ? 1? 令-1+ln ? ? ? =-3,则 ln ? ? ? =-2 ? a? ? a? 1 1 ∴ ? = e ?2 ,即 a= ?e ?2 . ∵ ?e ?2 < ? ,∴a= ?e 2 为所求?????7 分 a e (3) 由(Ⅰ)知当 a=-1 时 f ( x) max =f(1)=-1,
∴|f(x)|≥1???????????????????????9 分 又令 g(x)=

ln x 1 1 ? ln x ,令 g′(x)=0,得 x=e, ? ,g′(x)= x 2 x2

当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x) 在(0,e)单调递增; 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递减 ∴ g ( x) max =g(e)= 分 ∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>

1 1 ? <1, ∴g(x)<1 ??????????????10 e 2

ln x 1 ? x 2 ln x 1 ∴方程|f(x)|= ? 没有实数解.?????????????12 分 x 2
① (2 分)

22、 【答案】 (Ⅰ)? PE、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE ? PD ? PB

又? PA、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA ? PC ? PB
2



(4 分) (5 分)

由①,②得 PA ? PD ? PE ? PC
E A O2 P

F
C D O1 B

(Ⅱ)连结 AC 、 ED 设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径 ∴ ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线. (6 分) 由(Ⅰ)知

PA PC ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ?CAD ? ?ADE ? PE PD

(8 分)

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ ?AED ? ?ADE ∴ AD ? AE 23、 (Ⅰ)由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3? 曲线 L 的普通方程为: y ? 2 x
2

(10 分)

(1 分) (3 分) (5 分)

直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 )C( x 2 , y 2 )

? y 2 ? 2x ? ?y ? x ?1

联立得 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1
2 由弦长公式得 BC ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 2 6

(7 分) (10 分)

【解析】略 24、 (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? 2 ,

1 1 x ? ? 时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ? 2 2 1 1 2 ? ? x ? 1 时, 3x ? 2 ,得 ? ? x ? 2 2 3 x ? 1时, x ? 0 ,此时 x 不存在
∴不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ?

(1 分) (2 分) (3 分) (5 分)

? ?

2? ? 3?

? ?? x ? 2, ? ? (Ⅱ)∵设 f (x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?3 x, ? ? x ? 2, ? ?
故 f (x) ? ??

x?? ?

1 2

1 ? x ?1 2 x ?1

3 ? 3 ? ,?? ? ,即 f (x) 的最小值为 ? 2 ? 2 ?


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