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三明市2018届高三5月质量检查(数学文)(WORD版)

准考证号_______________姓名______________ (在此卷上答题无效)

2018 年三明市普通高中毕业班质量检查测试

文 科 数 学
本试卷共 5 页.满分 150 分. 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是 否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡 上书写作答.在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束后,考生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若命题 p : ?x ? R , x ? 1 ? x ,则 ?p 为
3 2

A. ?x ? R , x3 ? 1 ? x2 C. ?x ? R , x3 ? 1 ? x 2

B. ?x ? R , x3≤ 1 ? x2 D. ?x ? R , x3≤ 1 ? x2

2.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | x2 ? 2 x ? 8 ? 0} ,则 A ? B ? A. ? B. (?1, 2) C. (2 , 3) D. (2 , 4)

3.若复数 z 满足 ? 3+4i ? z ? 1 ? i (i 是虚数单位 ) ,则复数 z 的共轭复数 z ?

1 7 A. ? ? i 5 5

1 7 B. ? ? i 5 5

C. ?

1 7 ? i 25 25

D. ?

1 7 ? i 25 25

4.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, t ) ,且 a//b ,则 | a ? b |? A.

2

B.

5

C.

10

D. 5

5. 《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨,邀请全国各 个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛.现组委会要从甲、乙等五位候 选参赛者中随机选取 2 人进行比拼,记“甲被选上且乙不被选上”为事件 A ,则事件 A 的 概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6

文科数学试题 第 1 页(共 5 页)

6.若 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? 2an ? 2 ,则 S8 等于 A. 255 B. 256 C. 510 D. 511 7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时,恒有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? ? 0,1? 时,

f ( x) ? e x ? 1 ,则 f (?2017) ? f (2018) ?
A.0 B. e C. e ? 1 D. 1 ? e

8.将函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,再将所得图象上每个点的 横坐标变为原来的 a 倍,纵坐标不变,得到 g ( x) ? 2cos2 x 的图象,则 ? , a 的可能取值为

π 1 ,a? 6 2 π C. ? ? , a ? 2 2
A. ? ?

π 1 ,a? 2 2 π D. ? ? , a ? 2 6
B. ? ?

开始 输入n,S S=S+ 1 (n+1)(n+2) 否 是 输出n 结束 n=n+1

9. 执行如图所示的程序框图,如果输入的是 n ? 0, S ? 0 , 输出的结果是 7,则判断框中“ A. S ? ”应填入

5 6 B. S ? 7 6 7 8 C. S ? D. S ? 8 9 10.已知某几何体的三视图如图所示,网格线上小正方形的边长为 1, 则该几何体的体积为
A. 9 C. 18
2

B.

32 3 3 64 3 D. 3

11.函数 f ? x ? ? ? log 2 x ? ? x 的零点个数为 A. 1
2 2

B. 2

C. 3

D. 4

12.已知双曲线 E :

x y ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左,右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2 的直线与 E 的 2 a b

右支交于 A, B 两点, M , N 分别是 AF2 , BF1 的中点, O 为坐标原点,若 △MON 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,则 E 的离心率是 A. 5 B. 5 C.

5 2

D.

10 2

文科数学试题 第 2 页(共 5 页)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

2 5 13.已知中心是坐标原点的椭圆 C 过点 (1, ) ,且它的一个焦点为 (2 , 0) ,则 C 的标准方 5
程为 .

14.在等差数列 {an } 中,若 a7 ?

π ,则 sin 2a1 ? cos a1 ? sin 2a13 ? cos a13 = 2



? ? x ? 0, ? ? ? ? 15.若直线 ax ? y ? 0 将平面区域 ? ? ?( x, y ) | ? x ? y ? 1, ? 划分为面积成1: 2 的两部分,则实 ? ?x ? y ? 1 ? ? ? ?
数 a 的值等于 .
D F C

16.如图,正方形 ABCD 的边长为 3 ,点 E , F 分别在边 AD , CD 上, 且 AE ? DF ? 2 .将此正方形沿 BE, BF , EF 切割得到四个三角 形,现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面,则该三棱锥的 内切球的体积为 .
A E

B

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题~第 21 题为 必考题,每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共 60 分 17. (12 分)

? π ,点 D 在 AC 边上,且 ?ADB ? . 6 3 (1)若 BD ? 4 ,求 tan ?ABC ;
在△ ABC 中, AB ? 2 7 , C ? (2)若 AD ? 3BC ,求△ ABC 的周长. 18. (12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB // CD , CD ? 2 AB , AC 与 BD 相交于点 M ,点 N 在线段

AP 上, AN ? ? AP (? ? 0) ,且 MN // 平面PCD .
(1)求实数 ? 的值;

DP ? 1, PA ? PB (2)若 AB ?AD ?
求点 N 到平面 PCD 的距离.

?

2 ,?BAD ? 600 ,

文科数学试题 第 3 页(共 5 页)

19. (12 分) 已知顶点是坐标原点的抛物线 ? 的焦点 F 在 y 轴正半轴上,圆心在直线 y ? 与 x 轴相切,且 E , F 关于点 M ? ?1,0 ? 对称. (1)求 E 和 Γ 的标准方程; (2)过点 M 的直线 l 与 E 交于 A, B ,与 ? 交于 C , D ,求证: CD ? 2 AB . 20. (12 分) 近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市 场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间” )进行统计,得到频率 分布直方图如图 1.

1 x 上的圆 E 2

图1

图2

(1)记“在 2017 年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在 (8 ,16] ”为事件 A , 试估计 A 的概率; (2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图 2,其中 x (单位:年)表示二手车的 使用时间, y (单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格. 由散点图看出,可采用 y ? e
a ?bx

作为二手车平均交易价格 y 关于其使用年限 x 的回归方

程,相关数据如下表(表中 Yi ? ln yi , Y ?

1 10 : ? Yi ) 10 i ?1

x

y

Y

?x y
i ?1 i

10

i

?xY
i ?1

10

i i

?x
i ?1

10

2

i

5.5 8.7 1.9 ① 根 据 及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;

301.4

79.75

385

回归方程类型

②该汽车交易市场对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格 4% 的佣金, 对使用时 间 8 年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格 10% 的佣金.在图 1 对使用时间的分组中, 以各 组的区间中点值代表该组的各个值.若以 2017 年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场 对成交的每辆车收取的平均佣金. 文科数学试题 第 4 页(共 5 页)

附注:①对于一组数据 ? u1 , v1 ? , ? u2 , v2 ? ,
n

?un , vn ? ,其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截
?u ; ? ?v ?? ,?

?? 距的最小二乘估计分别为 ?

? u v ? nu v
i ?1 n i i 2 i

?u
i ?1

? nu

2

②参考数据: e2.95 ? 19.1, e1.75 ? 5.75 , e0.55 ? 1.73 , e?0.65 ? 0.52 , e?1.85 ? 0.16 . 21. (12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ?

a 2 x ? x (a ? R) . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处切线的斜率为 ?1 ,求此切线方程; (2)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,求 a 的取值范围,并证明: x1 x2 ? x1 ? x2 . (二)选考题:共 10 分.请考生在(22) 、 (23)两题中任选一题作答.如果多做,则按所做 第一题计分. 22. [ 选修 4-4:坐标系与参数方程 ] (10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 3t , ? (t 为参数 ) .在以原点 O 为 ? ?y ?1? t

极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? . (1)求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设 l 与 C 交于 P , Q 两点,求 ?POQ . 23. [ 选修 4-5:不等式选讲 ] (10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a 2 ? x ? 2a ? 3 , g ( x) ? x 2 ? ax ? 4 , a ? R . (1)当 a ? 1 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 4 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都存在 x2 ? R ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值 范围.

文科数学试题 第 5 页(共 5 页)

2018 年三明市普通高中毕业班质量检查测试

文科数学参考答案和评分细则
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 9 C 10 C 11 C 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.

x2 ? y2 ? 1 5

14. 0

15.

1 1 或? 2 2

16.

4π 81

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解法一:如图,已知 ?ADB ? 所以 ?DBC ?

π π , ?C ? , 3 6

π ,则 BD ? CD .………………1 分 6 2 2 2 在△ BCD 中,根据余弦定理, BC ? BD ? CD ? 2BD ? CD cos120 ,
所以 BC ? 3CD . ........................................................................................................................ 2 分 (1)在△ ADB 中, AB ? 2 7 , BD ? 4 , ?ADB ?
2 2 2

π , 3

由余弦定理 AB ? AD ? BD ? 2 AD ? BD cos ?ADB , 所以 28 ? AD ? 16 ? 4 AD ,解得 AD ? 6 ,所以 AC ? 10 ,
2

在△ ABC 中,由正弦定理

AC AB ? , sin ?ABC sin ?ACB

所以

10 2 7 5 7 , sin ?ABC ? , .......................................................................... 4 分 ? 1 14 sin ?ABC 2
文科数学试题 第 6 页(共 5 页)

由 AC ? 10 , BC ? 4 3 , AB ? 2 7 ,在△ ADB 中,由 AD ? AB ,得

?ABD ? ?ADB ? 60? ,故 ?ABC ? ?ABD ? ?DBC ?
所以 cos ?ABC ? ? 1 ? sin ?ABC ? ?
2

π π π ? ? , ............................ 5 分 3 6 2

21 , 14

所以 tan ?ABC ?

sin ?ABC 5 3 ................................................................................... 7 分 ?? cos ?ABC 3

(2)设 CD ? x ,则 BC ? 3x ,从而 AD ? 3BC ? 3x , 故 AC ? AD ? DC ? 4 x . .......................................................................................................... 9 分 在△ ABC 中,由余弦定理得 AB2 ? BC 2 ? AC 2 ? 2BC ? AC cos30 , 因为 AB ? 2 7 ,所以 28 ?

? 3x ?

2

? ? 4x ? ? 2 3x ? 4 x ?
2

3 ,解得 x ? 2 . ............... 11 分 2

所以 AD ? 6 .故△ ABC 周长为 8 ? 2 3 ? 2 7 . ................................................................. 12 分 解法二:如图,已知 ?ADB ?

π π π , ?C ? ,所以 ?DBC ? ,则 BD ? CD . …… 1 分 3 6 6
2 2 2

在△ BCD 中,根据余弦定理, BC ? BD ? CD ? 2BD ? CD cos120 , 所以 BC ? 3CD . ........................................................................................................................ 2 分 (1)在△ ADB 中, AB ? 2 7 , BD ? 4 , ?ADB ?
2 2 2

π , 3

由余弦定理 AB ? AD ? BD ? 2 AD ? BD cos ?ADB , 所以 28 ? AD ? 16 ? 4 AD ,解得 AD ? 6 , ............................................................................ 3 分
2

由余弦定理 cos ?ABD ?

AB 2 ? BD 2 ? AD 2 7 , ? 2 AB ? AD 14

又因为 ?ABD ? (0 , π) ,所以 sin ?ABD ? 1 ? cos2 ?ABD ?

3 21 . 14

所以 tan ?ABD ? 3 3 , ............................................................................................................. 5 分
π? 所以 tan ?ABC ? tan ? ? ?ABD ? ? ? 6? ? 3 3 3 3? 3 ? 3 ? ? 5 3 . ......................... 7 分 3 3 3 1? tan ?ABD 1 ? ? (3 3) 3 3 tan ?ABD ?

(2)同解法一........................................................................................................................... 12 分

文科数学试题 第 7 页(共 5 页)

18 . 解 法 一 :( 1 ) 因 为 AB / /CD , 所 以

AM AB 1 AM 1 ? ? ,即 ? .………………………2 分 MC CD 2 AC 3
因为 MN // 平面PCD , MN ? 平面 PAC , 平面 PAC 平面 PCD ? PC , 所以 MN //PC . …………………………………………4 分 所以

AN AM 1 1 ? ? ,即 ?= . AP AC 3 3
0

…………5 分

(2) 因为 AB ? AD , ?BAD ? 60 ,所以 ?ABD 为等边三角形,所以 BD ? AD ? 1, 又因为 PD ? 1 , PA ? PB ?

2 ,所以 PB2 ? PD2 ? BD2 且 PA2 ? PD2 ? AD2 , ....... 7 分
DB ? D ,所以 PD ? 平面ABCD ........... 8 分

所以 PD ? BD 且 PD ? DA ,又因为 DA

因为 PD ? 平面 PCD ,所以平面 PCD ? 平面ABCD . 作 ME ? CD 于 E ,因为平面 PCD

平面ABCD=CD ,所以 ME ? 平面 PCD . ..... 9 分

又因为 MN / / 平面PCD ,所以 ME 即为 N 到平面 PCD 的距离. ............................. 10 分 在△ ABD 中,设 AB 边上的高为 h ,则 h ?

3 , 2

因为

2 3 3 MD MC 2 ,即 N 到平面 PCD 的距离为 . ....... 12 分 ? ? ,所以 ME ? h ? BD AC 3 3 3 3

解法二、 (1)同解法一. ........................................................................................... 5 分 (2)因为 AB ? AD , ?BAD ? 60 ,所以 ?ABD 为等边三角形,所以 BD ? AD ? 1,
0

又因为 PD ? 1 , PA ? PB ?

2 ,所以 PB2 ? PD2 ? BD2 且 PA2 ? PD2 ? AD2 , ....... 7 分
DB ? D ,所以 PD ? 平面ABCD ......... 8 分

所以 PD ? BD 且 PD ? DA ,又因为 DA 设点 N 到平面 PCD 的距离为 d ,由 AN ? 所以 VN ? PCD ? 即

1 2 AP 得 NP ? AP , 3 3

2 2 VA? PCD ? VP ? ACD , 3 3

2 1 PD ? S△ACD ? d ? S△PCD ..................................................................................... 10 分 9 3
文科数学试题 第 8 页(共 5 页)

1 3 1 , S△PCD ? PD ? CD ? 1 , PD ? 1 , AD ? DC ? sin ?ADC ? 2 2 2 2 3 1 3 3 所以 ? ,即 N 到平面 PCD 的距离为 . .......................... 12 分 ? d ,解得 d ? 9 2 3 3 3 ? p? 2 19.解: (1)设 ? 的标准方程为 x ? 2 py ,则 F ? 0, ? . ? 2?
因为 S△ACD ? 已知 E 在直线 y ?

1 x 上,故可设 E ? 2a, a ? . ......................................................................... 1 分 2

? 2a ? 0 ? 2 ? ?1, ? 因为 E , F 关于 M ? ?1, 0 ? 对称,所以 ? p ?2 ?a ? 0, ? ? 2
解得 ?

?a ? ?1, ? p ? 2.

………………3 分
2

所以 ? 的标准方程为 x ? 4 y . .................................................................................................. 4 分 因为 E 与 x 轴相切,故半径 r ? a ? 1 ,所以 E 的标准方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 . .... 5 分
2 2

(2)设 l 的斜率为 k ,那么其方程为 y ? k ? x ? 1? , .............................................................. 6 分 则 E ? ?2, ?1? 到 l 的距离 d ?

k ?1 k2 ?1

,所以 AB ? 2 1 ? d 2 ? 2

2k ............................. 7 分 k ?1
2

? x 2 ? 4 y, ? 2 由? 消去 y 并整理得: x ? 4kx ? 4k ? 0 . ? ? y ? k ? x ? 1?
设 C ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4k , 那么 CD ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ?

? x1 ? x2 ?
2

2

? 4 x1 x2 ? 4 k 2 ? 1 ? k 2 ? k . .................. 9 分
? 2k =2 . ............................................. 11 分 k

所以

CD AB

2 2

?

16 ? k 2 +1?? k 2 ? k ? 8k 2 k ?1
2

?

2 ? k 2 ? 1? ? k 2 ? k ? k

所以 CD ? 2 AB ,即 CD ? 2 AB . ............................................................................... 12 分

2

文科数学试题 第 9 页(共 5 页)

20.解: (1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在 ? 8,12? 的频率为 0.07 ? 4 ? 0.28 ,在 ?12,16? 的频率为 0.03 ? 4 ? 0.12 ..................................... 3 分 所以 P ? A? ? 0.28 ? 0.12 ? 0.40 . .............................................................................4 分 (2)①由 y ? e
10 i i

a ?bx

得 ln y ? a ? bx ,即 Y 关于 x 的线性回归方程为 Y ? a ? bx . ......5 分

因为 b ?

? x Y ? 10 x ? Y
i ?1 10

?x
i ?1

?

2 i

? 10 x 2

79.75 ? 10 ? 5.5 ? 1.9 ? ?0.3 , 385 ? 10 ? 5.52

a ? Y ? b ? x ? 1.9 ? ? ?0.3? ? 5.5 ? 3.55
所以 Y 关于 x 的线性回归方程为 Y ? 3.55 ? 0.3x ,....................................................7 分 即 y 关于 x 的回归方程为 y ? e ②根据①中的回归方程 y ? e
3.55?0.3 x

.......................................................................8 分

3.55?0.3 x

和图 1,对成交的二手车可预测:

4? 的平均成交价格为 e3.55?0.3?2 ? e2.95 ? 19.1,对应的频率为 0.2 ; 使用时间在 ? 0, 8? 的平均成交价格为 e3.55?0.3?6 ? e1.75 ? 5.75 ,对应的频率为 0.36 ; 使用时间在 ? 4, 12? 的平均成交价格为 e3.55?0.3?10 ? e0.55 ? 1.73 ,对应的频率为 0.28 ; 使用时间在 ? 8,
16? 的平均成交价格为 e 使用时间在 ?12,
3.55?0.3?14

? e?0.65 ? 0.52 ,对应的频率为 0.12 ; ? e?1.85 ? 0.16 ,对应的频率为 0.04

20? 的平均成交价格为 e 使用时间在 ?16,

3.55?0.3?18

所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为

? 0.2 ?19.1 ? 0.36 ? 5.75? ? 4% ? ? 0.28 ?1.73 ? 0.12 ? 0.52 ? 0.04 ? 0.16? ?10%
? 0.29092 ? 0.29 万元
....................................................................................... 12 分

21.解: (1)∵ f ?( x) ? ln x ? ax ,∴ f ?(e) ? 1 ? ae ? ?1 ,解得 a ? ∴ f (e) ? ?e ,故切点为 (e, ?e) ,

2 , ......................... 2 分 e

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处的切线方程为 x ? y ? 0 . ......................................................... 4 分 文科数学试题 第 10 页(共 5 页)

(2) f ?( x) ? ln x ? ax ,令 f ?( x) ? 0 ,得 a ? 令 g ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,则 g ?( x) ? , x x2 且当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ; x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e , 且当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 . 1 故 g ( x) 在 (0, e) 递增,在 (e, ??) 递减,所以 g ? x ?max ? g (e) ? . .................................... 6 分 e 所以当 a ? 0 时, f ? x ? 有一个极值点; 0?a? 1 时, f ? x ? 有两个极值点; e

ln x . x

当 a≥ 时, f ? x ? 没有极值点. 综上, a 的取值范围是 ? 0, ? . ................................................................................................. 8 分 因为 x1 , x2 是 f ? x ? 的两个极值点,所以 ? 不妨设 x1 ? x2 ,则 1 ? x1 ? e , x2 ? e , 因为 g ( x) 在 (e, ??) 递减, 且 x1 ? x2 ? x2 , 所以 由①可得 ln x1 ? ln x2 ? a ? x1 ? x2 ? ,即 由①,②得

1 e

? ?

1? e?

? ln x1 ? ax1 ? 0, ? ln x1 ? ax1, 即? …① ................... 9 分 ?ln x2 ? ax2 ? 0, ?ln x2 ? ax2 .

ln( x1 ? x2 ) ln ? x1 x2 ? ,所以 x1 x2 ? x1 ? x2 . ................................................. 12 分 ? x1 ? x2 x1 ? x2
? x ? 1 ? 3t , ? 得 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 1 ? 3 , ? ? y ? 1 ? t,
1分

ln ? x1 x2 ? ? a, x1 ? x2

ln( x1 ? x2 ) ln x2 ln( x1 ? x2 ) , 即 ? a …②. ? x1 ? x2 x1 ? x2 x2

22. 解法一: (1)由 ?

又因为 ?

? x ? ? cos ? , , 所以 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? 3 sin ? ? 1 ? 3 . ................. 3 分 ? y ? ? sin ? ,

?

?

由 ? ? 2cos ? 得 ? ? 2? cos ? ,即 x ? y ? 2 x , ............................................................... 4 分
2 2 2

所以 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 0 ............................................................................. 5 分
2 2

(2)设 P, Q 的极坐标分别为 ? ?1 ,?1 ? , ? ?2 ,?2 ? ,则 ?POQ ?

?1 ? ?2 ................................ 6 分

文科数学试题 第 11 页(共 5 页)

由?

? ? ? cos ? ? 3 sin ? ? 1 ? 3, ? ? ? ? 2 cos ? ,

?

?

消去 ? 得 2cos ? cos ? ? 3 sin ? ? 1 ? 3 , ............. 7 分

?

?

化为 cos 2? ? 3 sin 2? ? 3 ,即 sin ? 2? ?

? ?

π? 3 , ....................................................... 8 分 ?? 6? 2

因为 ? ? ? 0, ? ,即 2? +

? ?

π? 2?

π ? π 7π ? π π π 2π ? ? , ? ,所以 2? ? ? ,或 2? ? ? , ................ 9 分 6 ?6 6 ? 6 3 6 3

π π ? ? ?1 ? , ??1 ? , ? π ? ? 12 4 即? 或? 所以 ?POQ ? ?1 ? ? 2 = . ........................................................ 10 分 6 ?? ? π , ?? ? π , 2 2 ? ? ? 4 ? 12
解法 2: (1)同解法一 ............................................................................................................. 5 分 (2)曲线 C 的方程可化为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,表示圆心为 C ?1, 0 ? 且半径为 1 的圆. ........ 6 分
2 2

? 3 x ? 1? t ?, ? ? 2 将 l 的参数方程化为标准形式 ? ( 其中 t ? 为参数 ) ,代入 C 的直角坐标方程为 1 ? y ? 1 ? t? ? ? 2
2 ? ? 3 ? ? 1 ? 3 ? ? ? ?1 ? t ? ? ? 2 ?1 ? t? ? ? 0 , x ? y ? 2 x ? 0 得, ? ?1 ? 2 t ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2

2

2

整理得, t ? ? t ? ? 0 ,解得 t ? ? 0 或 t ? ? ?1 . ........................................................................... 8 分
2

设 P, Q 对应的参数分别为 t1? , t2? ,则 PQ ? t1? ? t2? ? 1 .所以 ?PCQ ? 60? , .............. 9 分 又因为 O 是圆 C 上的点,所以 ?POQ ?

?PCQ ? 30? ........................................................ 10 分 2

解法 3: (1)同解法一 ............................................................................................................. 5 分 (2)曲线 C 的方程可化为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,表示圆心为 C ?1, 0 ? 且半径为 1 的圆. ........ 6 分
2 2

又由①得 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 1 ? 3 ? 0 , .................................................................. 7 分 则点 C 到直线 l 的距离为 d ?
2

?

?

3 , .......................................................................................... 8 分 2

所以 PQ ? 2 1 ? d ? 1 ,所以 △PCQ 是等边三角形,所以 ?PCQ ? 60? , .................. 9 分 文科数学试题 第 12 页(共 5 页)

又因为 O 是圆 C 上的点,所以 ?POQ ?

?PCQ ? 30? ........................................................ 10 分 2
2分

??2 x , x ? ?1, ? 23.解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 ,则 f ? x ? ? ?2, ? 1≤x ? 1, ?2 x, x≥1. ?
当 x ? ?1时,由 f ? x ?≤4 得, ?2 x≤4 ,解得 ?2≤x ? ?1; 当 ?1 ≤x ? 1 时, f ? x ?≤4 恒成立;

当 x≥ 1 时,由 f ? x ?≤4 得, 2 x≤4 ,解得 1≤x≤2 . .......................................................... 4 分 所以 f ? x ?≤4 的解集为 x ?2≤x≤2 . ............................................................................... 5 分 (2)因为对任意 x1 ? R ,都存在 x2 ? R ,使得不等式 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立, 所以 f ? x ?min ? g ? x ?min . ........................................................................................................... 6 分 因为 a ? 2a ? 3 ? ? a ? 1? ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2a ? 3 ,
2 2

?

?

2

且 x ? a 2 ? x ? 2a ? 3 ≥ x ? a 2 ? ? x ? 2a ? 3? ? a 2 ? 2a ? 3 ? a 2 ? 2a ? 3 ,…① 当 2a ? 3≤x≤a 2 时,①式等号成立,即 f ? x ?min ? a ? 2a ? 3 . ........................................ 7 分
2

?

?

a? a2 a2 ? 又因为 x ? ax ? 4 ? ? x ? ? ? 4 ? ≥4 ? ,…② 2? 4 4 ?
2

2

a2 a 当 x ? ? 时,②式等号成立,即 g ? x ?min ? 4 ? . ............................................................ 8 分 4 2
所以 a ? 2a ? 3 ? 4 ?
2

a2 2 ,整理得, 5a ? 8a ? 4 ? 0 , ........................................................ 9 分 4

解得 a ? ?

2? 2 ? 或 a ? 2 ,即 a 的取值范围为 ? ??, ? ? 5? 5 ?

? 2, ?? ? ....................................... 10 分

文科数学试题 第 13 页(共 5 页)

文科数学试题 第 14 页(共 5 页)


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